复数代数形式的乘除运算

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.掌握复数代数形式的乘除运算.
2.了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念.
知识点
  • 1.复数代数形式的乘法及其运算律

    (1)复数代数形式的乘法运算法则.

    设$z_{1}=a+b \mathrm{i}, z_{2}=c+d \mathrm{i}$是任意两个复数,那么它们的积$(a+b i)(c+d i)=a c+b c i+a d i+b d i^{2} \\ =(a c-b d)+(a d+b c) i(a, b, c, d \in \mathbf{R})$.

    (2)复数乘法的运算律.

    对于任意$z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathrm{C}$,有

    交换律

    $z_{1 Z 2}=z_{2 Z 1}$

    结合律

    $\left(z_{1} z_{2}\right) z_{3}=z_{1}\left(z_{2} z_{3}\right)$

    乘法对加法的分配律

    $z_{1}\left(z_{2}+z_{3}\right)=z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3}$

    【做一做1-1】 已知i是虚数单位,则$\mathrm{i}(1+\mathrm{i})$等于(  )                

    A. $1+\mathrm{i} \mathrm{B} \cdot-1-\mathrm{i}$

    $\mathrm{C} .1-\mathrm{i} \quad \mathrm{D} .-1+\mathrm{i}$

    解析:$\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=\dot{\mathrm{i}}+\mathrm{i}^{2}=-1+\mathrm{i}$.

    答案:D

    【做一做1-2】 已知复数$i_{1}=2+\mathrm{i}, z_{2}=1-\mathrm{i}$,则$z=z_{1} \cdot z_{2}$在复平面内对应的点位于(  )

    A.第一象限  B.第二象限

    C.第三象限  D.第四象限

    解析:因为$z=z_{1} \cdot z_{2}=(2+i)(1-i)=3-i$,

    所以它所对应的点位于第四象限.

    答案:D

  • 2.共轭复数的概念

    一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数为?( z),虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

    【做一做2】 若$x-2+y i$和$3 x-i$互为共轭复数,其中$x, y \in \mathbf{R}$,则x=_______,y=_______. 

    解析:$x-2+y i=\overline{3 x-i}=3 x+i$,

    则$\left\{\begin{array}{c}{x-2=3 x} \\ {y=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{c}{x=-1} \\ {y=1}\end{array}\right.$

    答案:-1 1

  • 3.复数代数形式的除法运算法则

    复数的除法法则是:

    $(a+b i) \cdot(c+d i)=\frac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}+\frac{b c-a d}{c^{2}+d^{2}} \mathrm{i}(c+d \mathrm{i} \neq 0)$

    归纳总结复数的运算包括四种运算:加、减、乘、除.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中,把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.在进行复数除法运算时,通常先把$(a+b i) \div(c+d i)$写成$\frac{a+b i}{c+d i}$的形式,再给分子与分母都乘以复数$c-d i$,并化简成$\frac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}+\frac{b c-a d}{c^{2}+d^{2}} \mathrm{i}$的形式,两个复数乘、除的结果仍是复数.复数除法实际上是一个分母实数化的过程.

    【做一做3】 在复平面内,复数$z=\frac{1}{2+\mathrm{i}}$对应的点位于(  )

    A.第一象限 B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    解析:$z=\frac{1}{2+\mathrm{i}}=\frac{2-\mathrm{i}}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=\frac{2-\mathrm{i}}{2^{2}-\mathrm{i}^{2}}=\frac{2-\mathrm{i}}{5}=\frac{2}{5}-\frac{1}{5} \mathrm{j}$,故复数$z$对应的点为$\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{5}\right)$,它位于第四象限,故选$D$.

    答案:D

重难点
  • 1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?

    剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除法法则一致.

    (2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数集中仍成立.

    (3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.

    (4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.

    温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在复数集中不一定成立.如:

    (1)当$z \in \mathbf{R}$时,$|z|^{2}=z^{2}$;当$z \in \mathbf{C}$时,$|z|^{2} \in \mathbf{R}$而$z^{2} \in \mathbf{C}$,所以$|z|^{2}=z^{2}$不一定成立,

    但是$|z|^{2}=z \cdot \overline{z}$.

    (2)当$z_{1, Z_{2}} \in \mathbf{R}$时,$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0 \Leftrightarrow z_{1}=0$,且$z_{2}=0$;

    当$z_{1}, z_{2} \in \mathrm{C}$时,$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0 \not \gg z_{1}=0$且$z_{2}=0$,但$z_{1}=0, z_{2}=0 \Rightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0$.

  • 2.如何理解共轭复数?

    剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实数的一个法则.

    (2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;

    代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.

    (3)一个重要性质.

    两个共轭复数$z, \overline{Z}$的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即$z \cdot \overline{Z}=|z|^{2}=|\overline{Z}|^{2}$,通常也写成$|z|=|\overline{Z}|=\sqrt{Z \cdot \overline{Z}}$.

    知识拓展共轭复数的性质:设$z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$,则

    $(1) z+\overline{z}=2 a, z-\overline{z}=2 b \mathbf{i} ;(2) z=z ;(3) z=$

    $\overline{z} \Leftrightarrow z \in \mathbf{R} ; \\ (4) \overline{z_{1} \pm z_{2}}=\overline{z}_{1} \pm \overline{z}_{2}, \overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z}_{1} \cdot \overline{z}_{2}, \\  \left(\frac{\overline{z_{1}}}{z_{2}}\right)=\frac{\overline{z}_{1}}{\overline{z}_{2}}$

例题解析
  • 复数代数形式的乘除运算

    【例1】 (1)复数$z=\frac{-1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}-1$在复平面内对应的点在 (  )

    A.第一象限 B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    (2)计算:①$(1-i)^{2}$;

    ②$\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)(1+\mathrm{i})$.

    分析:(1)把$z$化为$a+b i(a, b \in \mathbf{R})$的形式再判断.

    (2)利用复数代数形式的乘法法则进行计算.

    反思

    1.对复数的乘法运算法则的记忆.

    复数的乘法运算可以把$i$看作字母,类比多项式的乘法进行,注意要把$i^{2}$化为-1,进行最后结果的化简.

    2.对复数的除法运算法则的记忆.

    复数除法一般先写成分式形式,再把分母实数化,即分子分母同乘分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需同乘$i$.

    【变式训练1】 计算下列各题:

    $(1)(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})+(-1+\mathrm{i})$

    $(2)(2-\mathrm{i})(-1+5 \mathrm{i})(3-4 \mathrm{i})+2 \mathrm{i}$

    (3) $\frac{(1-4 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})+2+4 \mathrm{i}}{3+4 \mathrm{i}}$

    (4) $\frac{(\mathrm{i}-2)(\mathrm{i}-1)}{(1+\mathrm{i})(\mathrm{i}-1)+\mathrm{i}}$

    (5) $\frac{(-1+\sqrt{3} \mathrm{i})^{3}}{(1+\mathrm{i})^{6}}-\frac{-2+\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}$

  • 共轭复数的概念

    【例2】 设$z_{1, z_{2}} \in \mathbf{C}, A=z_{1} \cdot \overline{z}_{2}+z 2 \cdot \overline{z}_{1}, \\  B=z 1 \cdot \overline{z}_{1}+z 2 \cdot \overline{z}_{2}$,问$A$与$B$是否可以比较大小?为什么?

    分析:blob.png

    反思1.共轭复数是复数除法运算的基础.

    2.$z \cdot \overline{z}=|z|^{2}=|\overline{z}|^{2}$是共轭复数的常用性质.

    3.实数的共轭复数是它本身,即$z \in \mathbf{R} \Leftrightarrow z=\overline{z}$,利用此性质可以证明一个复数是实数.

    4.若$z \neq 0$,且$z+\overline{Z}=0$,则$z$为纯虚数,利用此性质可以证明一个复数是纯虚数.

    【变式训练2】 已知复数$z=1+i$,求实数$a,b$,使$a z+2 b \overline{z}=(a+2 z) 2$

  • 虚数单位i的幂的周期性

    【例3】 计算:blob.png

    分析:可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简.


    反思1.虚数单位i的幂的周期性.

    $(1) i^{4 n+1}=i, i^{4 n+2}=-1, i^{4 n+3}=-i, \\ i^{4 n}=1\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right), n$
    也可以推广到整数集.

    $(2) \dot{\mathbf{i}}^{n+}+\mathbf{i}^{n+1}+\dot{\mathbf{i}}^{n+2} \\ +\dot{\mathbf{i}}^{n+3}=0\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.

    2.记住以下结果,可提高运算速度.

    $(1)(1+\mathrm{i})^{2}=2 \mathrm{i},(1-\mathrm{i})^{2}=-2 \mathrm{i}$

    (2) $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} =-\mathrm{i}, \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$

    (3) $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$

    【变式训练3】 复数blob.png__________________. 

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