高中数学网二项式定理
2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.
3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项式的特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的变化及系数与组合数的联系.
1.二项式定理
二项展开式:$(a+b)^{n}=C_{n}^{0} a n+C_{n}^{1} a n-1 b+\cdots \\ +C_{n}^{k} a n-k b k +\cdots+C_{n}^{n} b n\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
叫做二项式定理,其中各项的系数$C_{n}^{k}(k \in\{0,1,2, \ldots, n\})$叫做二项式系数.归纳总结
二项式$(a+b)^{n}$的展开式有$(n+1)$项,是和的形式,各项的幂指数的规律是:
(1)各项的次数都等于二项式的幂指数$n$.
(2)字母$a$按降幂排列,从第一项起,次数由$n$逐项减1直到0;字母$b$按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到$n$.
【做一做1】 写出$(a+2 b)^{6}$的展开式.
解:$(a+2 b)^{6}=C_{6}^{0} a^{6}+C_{6}^{1} a^{5}(2 b)+C_{6}^{2} a^{4}(2 b)^{2} \\ +C_{6}^{3} a^{3}(2 b)^{3}+C_{6}^{4} a^{2}(2 b)^{4}+C_{6}^{5}$
$a(2 b)^{5}+C_{6}^{6}(2 b)^{6}=a^{6}+12 a^{5} b+60 a^{4} b^{2} \\ +160 a^{3} b^{3}+240 a^{2} b^{4}+192 a b^{5}+64 b^{6}$.
2.二项展开式的通项
$(a+b)^{n}$的二项展开式中的第$k+1$项$C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$叫做二项展开式的通项,用$T_{k+1}$表示,即$T_{k+1}=C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$ (其中$0 \leq k \leq n, k \in \mathbf{N}, n \in \mathbf{N}^{*}$).
名师点拨1.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项(或系数).如常数项、有理项等.
2.$(a+b)^{n}$与$(b+a)^{n}$的值相同,但展开式的第$k$项却不一定相同.
【做一做2】$(x-y)^{8}$的二项展开式中,第4项的系数为______.(用数字回答)
解析:由已知$T_{4}=C_{8}^{3} x^{5}(-y)^{3}=-56 x^{5} y^{3}$,则第4项系数为-56.
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念.$C_{n}^{r}(r=0,1,2, \ldots, n)$叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如$(1+2 x)^{7}$的二项展开式的第4项的二项式系数为$C_{7}^{3}=35$,而其第4项的系数为$C_{7}^{3} \cdot 2^{3}=280$.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
剖析由于
,将(a+b)看作是含有红球(a)、白球(b)的盒子,则$(a+b)^{n}$的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系数则是这种结果的方法数,如$a^{n-r} b^{r}$是从这n个盒子中取出r个白球(b)、(n-r)个红球(a)的情况,其方法数为$C_{\mathrm{n}}^{\mathrm{r}}$,因此有$(a+b)^{n}=C_{\mathrm{n}}^{0} a^{n}+C_{\mathrm{n}}^{1} a^{n-1} b+\ldots+C_{\mathrm{n}}^{\mathrm{r}} a^{n-r} b^{r} \\ +\ldots+C_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}} b^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.
题型一、二项式定理的正用与逆用
【例1】
(1)求$\left(2 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{4}$的展开式;
(2)化简$(x-1)^{5}+5(x-1)^{4}+10(x-1)^{3} \\ +10(x-1)^{2}+5(x-1)$.
反思
1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式$(a+b)^{n}$的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,那么是$(a-b)^{n}$的形式.
【变式训练1】
(1)求$\left(2 x-\frac{3}{2 x^{2}}\right)^{5}$的展开式;
(2)化简:$C_{n}^{0}(x+1)^{n}-C_{n}^{1}(x+1)^{n-1}+\ldots \\ +(-1)^{r} C_{n}^{r}(x+1)^{n-r}+\ldots+(-1)^{n} C_{n}^{n}$;
(3)化简:$C_{n}^{1}+3 C_{n}^{2}+9 C_{n}^{3}+\ldots+3^{n-1} C_{n}^{n}$.
题型二、利用通项求二项展开式中的特定项
【例2】 已知在$\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{2 \sqrt[3]{x}}\right)^{n}$的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含$x^{2}$的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
反思1.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施:
(1)求第k项.$T_{k}=C_{n}^{k-1} a^{n-k+1} b^{k-1}$.
(2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(3)求有理项.对于有理数,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
(4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
提醒:在实际求解时,若通项中含有根式,宜把根式化为分数指数幂,以减少计算中的错误.
2.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为整数),求某一项.注意某项的系数与某项的二项式系数的区别.
【变式训练2】
(1)$\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{8}$的展开式中的常数项是________;
(2)若$\left(x-\frac{a}{x}\right)^{9}$的展开式中x3的系数是-84,则a的值为________;
(3)$(\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt[3]{x})^{9}$展开式中含x的有理项共有______项.
题型三、利用二项式定理解整除问题及求余数问题
【例3】 (1)用二项式定理证明$11^{10}-1$能被100整除;
(2)求$91^{92}$被100除所得的余数.
分析利用二项式定理证明整除问题的关键是判断所证式子与除数之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用$11^{10}=(10+1)^{10}$的展开式进行证明,第(2)小题则可利用$91^{92}=(100-9)^{92}$的展开式,或利用$(90+1)^{92}$的展开式进行求解.
反思
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.
【变式训练3】 (1)试求$2020^{60}$除以7所得的余数;
(2)求证:$3^{2 n+2}-8 n-9\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$能被64整除.
题型四、易错辨析
易错点:混淆项的系数和二项式系数而致错
【例4】$(\sqrt{2} x-1)^{5}$的展开式中第4项的系数是( )
A.10 B.-10 C.20 D.-20
