高中数学网组合
2.掌握组合数的计算公式、组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系,并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题.
3.合理进行分类、分步,综合应用排列组合知识解决实际问题.
1.组合的相关概念
(1)定义:一般地,从n个不同元素中取出$m(m \leq n)$个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)相同组合:只要两个组合的元素完全相同,不论元素的顺序如何,都是相同组合.
名师点拨1.组合的定义包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“合成一组”.“合成一组”表示与元素的顺序无关.
2.组合与排列的异同:组合与排列都是“从n个元素中任意取出$m(m \leq n)$个元素”,不同的是,组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”,因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看取出的元素有无顺序.
【做一做1】 下列问题:
①从a,b,c,d四名学生中选出2名学生,有多少种不同的选法?
②从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法?
③a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场?
④a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?
其中是组合问题的有 ,是排列问题的有 .(填序号)
解析:①无顺序,是组合问题;②2名学生完成两件不同的工作是排列问题;③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题;④争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题.
答案:①③ ②④
2.组合数与组合数公式
(1)组合数定义:从n个不同元素中取出$m(m \leqslant n)$个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号$C_{n}^{m}$表示.
(2)组合数公式:$C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)}{m !}=\frac{n !}{m !(n-m) !}$.
规定$C_{n}^{0}=1$.
名师点拨1.组合与组合数是两个不同概念,如从3个不同元素a,b,c中取出2个元素的组合为ab,bc,ac,其中每一种叫做一个组合,即组合不是数,是完成一件事的一种方法,而该问题的组合数是3.
2.组合数公式推导的思路是依据分步乘法计数原理,遵循从特殊到一般的原则,将求从4个不同元素中任取3个的排列数分成先“求组合数”,后求“全排列数”两步来完成,这样就清楚地揭示出组合与排列的对应关系,从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式.
【做一做2】 从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,不同选法的种数为( )
A.504 B.729
C.84 D.27
解析:只需从9名学生中选出3名即可,从而有$C_{9}^{3}=\frac{A_{9}^{3}}{A_{3}^{3}}=84$种选法.
答案:C
3.组合数的性质
(1)性质1:$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$;
(2)性质2:$C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}$.
归纳总结
1.性质1反映了组合数的对称性.当$m>\frac{n}{2}$时,通常不直接计算$C_{n}^{m}$,而改为计算$C_{n}^{n-m}$.
2.要注意性质$C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}$的顺用、逆用、变形应用,顺用是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,变形用如$C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^{m}-C_{n}^{m}$等.
【做一做3】 计算:
(1)$C_{20}^{18}=$_______;
(2)$\mathrm{C}_{99}^{3}+\mathrm{C}_{99}^{2}=$_______.
解析:(1)$C_{20}^{18}=C_{20}^{2}=\frac{A_{20}^{2}}{A_{2}^{2}} \\ =\frac{20 \times 19}{2}=190$.
(2)$\mathrm{C}_{99}^{3}+\mathrm{C}_{99}^{2}=C_{100}^{3} \\ =\frac{\mathrm{A}_{100}^{3}}{\mathrm{A}_{3}^{3}} \\ =\frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1}=161700$.
答案:(1)190 (2)161 700
对组合的定义理解要注意哪些问题
剖析(1)如果两个组合中的元素完全相同,那么不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),就是不同的组合.
例如,从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个,它们分别是ab,ac,bc.ba,ab是相同的组合,而ab,ac是不同的组合.
(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素是否与顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题.
例如,在数的运算当中,加法运算和乘法运算就是组合问题,除法运算则是排列问题;“寄信”是排列问题,“握手”是组合问题等.
题型一、组合的概念及其简单应用
【例1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?
(2)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,然后把这3个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?
(3)从a,b,c,d这4名学生中选2名学生,去完成同一件工作有多少种不同的选法?
(4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话?
(5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
反思
区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题.因此,排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.由此可知,定序问题属于组合,即排列时,如果限定某些元素保持规定的顺序,那么定序的这n个元素属于组合问题.
【变式训练1】
(1)从1,3,5,7中任取两个数相除,可以得到多少个不同的商?
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘,可以得到多少个不同的积?
(3)请指出问题(1)和问题(2)的不同之处.
题型二、组合数的计算、化简与证明
【例2】 填空:
(1)$C_{3 n}^{38-n}+C_{21+n}^{3 n}=$_______;
(2)$C_{13+n}^{3 n}+C_{12+n}^{3 n-1}+C_{11+n}^{3 n-2}+\cdots+C_{2 n}^{17-n}=$______;
(3)$\mathrm{C}_{3}^{3}+\mathrm{C}_{4}^{3}+\mathrm{C}_{5}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{10}^{3}=$______.
反思
组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系,在计算具体的组合数时会经常用到.组合数公式的阶乘形式主要作用是对含有字母的组合数的式子变形或证明.
组合数的性质1可以用来进行转化,减少计算量;组合数的性质2主要用于计算或化简多个组合数连加,此时往往需要先用性质1进行适当的转化,使得有两个组合数为下标相同,上标差1的形式,再反复运用性质2即可化成最简形式.
【变式训练2】
求证:(1)$C_{n}^{m+1}+C_{n}^{m-1}+2 C_{n}^{m}=C_{n+2}^{m+1}$;
(2)$m !+\frac{(m+1) !}{1 !}+\frac{(m+2) !}{2 !}+\cdots+\frac{(m+n) !}{n !} \\ =m ! C_{m+n+1}^{n}$.
题型三、有限制条件的组合问题
【例3】 (1)某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运动员作为最佳运动员,不同的选法种数为( )
A.12 B.30 C.15 D.24
(2)从(1)中的4名男运动员、6名女运动员中选出3人参加某公益活动,则至多有2名男运动员的选法有_____种.
反思
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,应坚持“特
殊元素优先选取”的原则,即优先安排特殊元素,再安排其他元素.而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.
【变式训练3】 车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外2名老师傅既能当车工又能当钳工.现在要在这11名工人中选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法?
题型四、易错辨析
易错点:曲解题意而致错
【例4】 有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球,要求把小球全部放入盒子中.问:
(1)共有多少种放法?
(2)恰有1个空盒,有多少种放法?
