独立重复试验与二项分布

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.掌握独立重复试验的概念及意义,理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式.
2.理解n次独立重复试验的模型,并能用于解一些简单的实际问题.
3.了解二项分布与超几何分布的关系.
知识点
  • 1.独立重复试验

    一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

    知识拓展
    独立重复试验的特征:

    (1)每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变;

    (2)各次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立;

    (3)每次试验只有两个可能的结果:事件发生或者不发生.

    【做一做1】 独立重复试验应满足的条件是(  )

    ①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结果;③每次试验中,事件发生的机会是均等的;④每次试验发生的事件是互斥的.

    A.①②  B.②③ 

    C.①②③  D.①②④

    解析:由独立重复试验的定义知①②③正确.

    答案:C

  • 2.二项分布

    一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为$P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, k=0,1,2, \ldots, n$此时称随机变量X服从二项分布,简记为$X \sim B(n, p)$,并称p为成功概率.

    知识拓展

    1.在n次试验中,有些试验结果为A,有些试验结果为$\overline{A}$,所以总结果是几个A同几个$\overline{A}$的一种搭配,要求总结果中事件A恰好发生k次,就是k个A同n-k个$\overline{A}$的一种搭配,搭配种类为$C_{n}^{k}$;其次,每一种搭配发生的概率为$p^{k} \cdot(1-p)^{n \cdot k}$,所以$P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$.

    2.$P(X=k)$是$(q+p)^{n}$的展开式的第k+1项(其中$q=1-p$),也正是基于该原因,称X服从二项分布,简记为$X \sim B(n, p)$.

    3.两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列,试验次数为n(每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不发生),试验结果有n+1种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.从而二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.

    【做一做2】 若$\xi \sim B\left(5, \frac{1}{2}\right)$,则$P(\xi=2)=$(  )

    A.$\frac{1}{32}$    B.$\frac{1}{4}$    C.$\frac{5}{16}$    D.$\frac{5}{8}$

    解析:$P(\xi=2)=C_{5}^{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=10 \times \frac{1}{32}=\frac{5}{16}$.

    答案:C 

重难点
  • 如何理解二项分布与超几何分布的关系

    剖析由古典概型得出超几何分布,由独立重复试验得出二项分布,这两个分布的关系是:在产品抽样检验中,如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布,如果采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布.在实际工作中,抽样一般都采用不放回方式,因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布,但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值,计算相对复杂,而二项分布的计算可以查专门的数表,所以,当产品总数很大而抽样数不太大时,不放回抽样可以认为是有放回抽样,计算超几何分布可以用计算二项分布来代替.

    【示例1】 (1)在产品抽样检验中,从含有5件次品的100件产品中,不放回地任取3件,则其中恰好有2件次品的概率为________.(用式子表示即可) 

    (2)在产品抽样检验中,从含有5件次品的100件产品中,有放回地任取3件,则其中恰好有2件次品的概率为________.(用式子表示即可) 

    解析:

    (1)中的抽取为不放回抽取,符合超几何分布,故该空填$\frac{C_{5}^{2} C_{95}^{1}}{C_{100}^{3}}$.

    (2)中的抽取为有放回抽取,符合独立重复试验的条件,可用二项分布,故该空填$C_{3}^{2}\left(\frac{1}{20}\right)^{2}\left(\frac{19}{20}\right)^{1}$.

    答案:(1)$\frac{C_{5}^{2} C_{95}^{1}}{C_{100}^{3}}$ (2)$C_{3}^{2}\left(\frac{1}{20}\right)^{2}\left(\frac{19}{20}\right)^{1}$

    【示例2】 某厂生产的电子元件,其次品率为5%,现从一批产品中任意连续地抽取2件,其中次品数ξ的概率分布列为

    1558425430127561.png

    请完成此表。

    解析:由于本题中工厂生产的电子元件数量很大,从中抽取2件时,抽样数不大,则可用二项分布来解.

    $P(\xi=0)=C_{2}^{0} \times(0.05)^{0} \times(0.95)^{2}=0.9025$;

    $P(\xi=1)=C_{2}^{1}(0.05)^{1} \times(0.95)^{1}=0.095$;

    $P(\xi=2)=C_{2}^{2}(0.05)^{2} \times(0.95)^{0}=0.0025$,所以$\xi$的分布列为:

    1558425558631338.png

    答案:0.902 5 0.095 0.002 5

例题解析
  • 题型一、独立重复试验概率的求法

    【例1】 某人射击5次,每次中靶的概率均为0.9,且每次射击是否击中目标相互之间没有影响.求他至少有2次中靶的概率.

    反思

    解答这类概率问题,首先要理解题意,建立相应的概率模型,然后用其对应的概率公式求解.如果是相互独立事件的概率模型,公式为$p^{k}(1-p)^{n-k}$;如果是n次独立重复试验概率模型,其公式为$C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}(k=0,1,2, \ldots, n)$.

    【变式训练1】 一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:

    ①3位病人都被治愈的概率为$0.9^{3}$;

    ②3人中的甲被治愈的概率为0.9;

    ③3人中恰好有2人被治愈的概率是$2 \times 0.9^{2} \times 0.1$;

    ④3人中恰好有2人未被治愈的概率是$3 \times 0.9 \times 0.1^{2}$;

    ⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是$0.9^{2} \times 0.1$.

    其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上) 

  • 题型二、二项分布及其应用

    【例2】 在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为$\frac{1}{2}$

    (1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率;

    (2)设这4名考生中选做第15题的考生数为$\xi$个,求$\xi$的分布列.

    反思

    本题考查了互斥事件至少有一个发生的概率,相互独立事件的概率以及二项分布的有关知识.解答此类题目的关键在于分清各知识点的内在区别与联系.

    【变式训练2】 某公司安装了3台报警器,它们彼此独立工作,且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时,下列事件的概率:

    (1)3台都未报警;(2)恰有1台报警;(3)恰有2台报警;(4)3台都报警;(5)至少有2台报警;(6)至少有1台报警.

  • 题型三、独立重复试验的综合应用

    【例3】 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是$\frac{1}{3}$,遇到红灯时停留的时间都是2 min.

    (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;

    (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率.

    反思

    在解含有相互独立事件的概率题时,首先要把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次要将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积.这两个步骤做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了.如果某些相互独立事件符合独立重复试验模型,就可将这部分用独立重复试验的概率计算公式解答.这就是解决含有相互独立事件的概率题的基本思路.

    【变式训练3】 甲、乙两队参加世博会知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错或不答得零分.假设甲队中每人答对的概率均为$\frac{2}{3}$,乙队中3人答对的概率分别为$\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$,且各人答对正确与否相互之间没有影响.用$\xi$表示甲队的总得分.

    (1)求随机变量$\xi$的分布列;

    (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).

  • 题型四、易错辨析

    易错点:对对立事件理解不当致错

    【例4】 9粒种子分种在3个花盆内,每个花盆放3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个花盆内至少有1粒种子发芽,则这个花盆不需要补种;若一个花盆内的种子都没发芽,则这个花盆需要补种.假定每个花盆至多补种一次,求需要补种的花盆数目的分布列.

    反思

    有些问题从表面看不是n次独立重复试验问题,但经过转化后可看作n次独立重复试验问题,从而将问题简化.由此可看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要作用.

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