正态分布

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解正态分布的意义.
2.借助正态曲线理解正态分布的性质.
3.了解正态曲线的意义和性质.
4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.
知识点
  • 1.正态曲线

    (1)若$\varphi_{\mu, \sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, x \in(-\infty,+\infty)$,其中实数$\mu$和$\sigma(\sigma>0)$为参数,我们称$\varphi_{\mu, \sigma}(x)$的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

    (2)随机变量落在区间(a,b]的概率为$P(a < X \leq b) \approx \int_{a}^{b} \varphi \mu, \sigma(x) \mathrm{d} x$.

  • 2.正态分布

    一般地,如果对于任何实数a,b(a < b),随机变量X满足

    $P(a < X \leq b)=\int_{a}^{b} \varphi \mu,_{\sigma}(x) \mathrm{d} x$,则称随机变量X服从正态分布.

    正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作$N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$.

    知识拓展1.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把$\mu=0, \sigma=1$的正态分布叫做标准正态分布.

    2.正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布.如长度测量误差,正常生产条件下各种产品的质量指标等.

    【做一做1】 设有一正态总体,它的正态分布密度曲线是函数f(x)的图象,且$f(x)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi}} e^{-\frac{(x-10)^{2}}{8}}$,则这个正态总体的平均数与标准差分别是(  )

    A.10与8     B.10与2

    C.8与10     D.2与10

    解析:由$\frac{1}{\sqrt{8 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{(x-10)^{2}}{8}}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$,可知$\sigma=2, \mu=10$.(μ为平均数,σ为标准差)

    答案:B 

  • 3.正态曲线的特点

    (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交.

    (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.

    (3)曲线在x=μ处达到峰值$\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$.

    (4)曲线与x轴之间的面积为1.

    (5)当σ一定时,曲线位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.

    (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

    知识拓展

    曲线特点

    概率体现

    曲线在x轴上方

    P(X)>0

    曲线关于直线

    $x=\mu$对称

    $P(X>\mu)=P(X<\mu)=\frac{1}{2}$,

    ②$P\left(\mu_{-\mathcal{E}} < X<\mu\right) \\ =P(\mu < X<\mu+\varepsilon)$
    (其中$\varepsilon>0$)

    曲线在$x=\mu$处达到峰值$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$

    $0<\varphi_{\mu, \sigma}(x) \leq \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$

    曲线与x轴围成的

    面积为1

    $P(-\infty < x<+\infty)=1$

    【做一做2】 设随机变量$\xi \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$,且$P(\xi < c)=p(\xi>C)$,则C等于(  )

    A.0  B.σ

    C.-μ  D.μ

    解析:正态分布在$x=\mu$对称的区间上概率相等,则$C=\mu$。

    答案:D

  • 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率

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    $P(\mu-\sigma < X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827$

    $P(\mu-2 \sigma < X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$

    $P(\mu-3 \sigma < X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973$

    知识拓展

    正态总体几乎总取值于区间$(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$之内.而在此区间以外取值的概率只有0.002 7,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.

重难点
  • 1.如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率

    剖析首先找出随机变量X服从正态分布时μ,σ的值,再利用3σ原则求随机变量X在某一个区间上取值的概率,最后利用随机变量X在关于X=μ对称的区间上取值的概率相等求得结果.

  • 2.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略

    剖析(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

    (2)熟记$P(\mu-\sigma < X \leq \mu+\sigma)$,
    $P(\mu-2 \sigma < X \leq \mu+2 \sigma), \\ P(\mu-3 \sigma < X \leq \mu+3 \sigma)$的值.

    (3)注意概率值的求解转化:

    ①$P(X < a)=1-P(X \geq a)$;

    ②$P(X<\mu-a)=P(X \geq \mu+a)$;

    ③若$b<\mu$,则$P(X < b)=\frac{1-P(\mu-b < X<\mu+b)}{2}$.

例题解析
  • 题型一、正态曲线的应用

    【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.

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    反思

    1.要特别注意方差是标准差的平方.

    2.用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式,关键是确定参数μ与σ的值.

    3.当$x=\mu$时,正态分布密度曲线的函数取得最大值,即$f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$,

    注意该式在解题中的运用.

    【变式训练1】 关于正态曲线特点的描述:

    ①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方;

    ②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当$x \in(-3 \sigma, 3 \sigma)$时才在x轴上方;

    ③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数;

    ④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;

    ⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;

    ⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”.

    说法正确的是(  )

    A.①④⑤⑥  B.②④⑤  C.③④⑤⑥  D.①⑤⑥

  • 题型二、正态分布下的概率计算

    【例2】 设$\xi \sim N(1,4)$,试求:

    (1)$P(-1<\xi \leq 3)$;

    (2)$P(3<\xi \leq 5)$;

    (3)$P(\xi \geq 5)$.

    反思

    求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据.

    【变式训练2】 设X~N(10,1).

    (1)求证:P(1 < X < 2)=P(18 < X < 19);

    (2)若P(X≤2)=a,求P(10 < X < 18).

  • 题型三、正态分布的应用

    【例3】 某厂生产的fun88网上娱乐柱形零件的外径$X \sim N(4,0.25)$.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?

    反思

    在试验应用中,通常认为服从正态分布$N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$的随机变量X只取$(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$之间的值,并简称为3σ原则.如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,就说明出现了意外情况.

    【变式训练3】 一建筑工地所需要的钢筋的长度服从正态分布,其中μ=8,σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度小于2 m.这时,他让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋,还是让钢筋工停止生产,检修钢筋切割机?

  • 题型四、易错辨析

    易错点:混淆密度函数中μ,σ意义而致错

    【例4】 把一条正态曲线$C_{1}$沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线$C_{2}$,下列说法不正确的是(  )

    A.曲线$C_{2}$仍是正态曲线

    B.曲线$C_{1}$,$C_{2}$的最高点的纵坐标相等

    C.以曲线$C_{2}$为正态曲线的总体的方差比以曲线$C_{1}$为正态曲线的总体的方差大2

    D.以曲线$C_{2}$为正态曲线的总体的均值比以曲线$C_{1}$为正态曲线的总体的均值大2

    反思

    正态曲线的左右平移只改变其均值的大小,不改变方差的大小.也就是平移变换不改变随机变量的方差,只有沿y轴方向的伸缩变换才改变其方差.

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