正态分布
2.借助正态曲线理解正态分布的性质.
3.了解正态曲线的意义和性质.
4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.
1.正态曲线
(1)若$\varphi_{\mu, \sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, x \in(-\infty,+\infty)$,其中实数$\mu$和$\sigma(\sigma>0)$为参数,我们称$\varphi_{\mu, \sigma}(x)$的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)随机变量落在区间(a,b]的概率为$P(a < X \leq b) \approx \int_{a}^{b} \varphi \mu, \sigma(x) \mathrm{d} x$.
2.正态分布
一般地,如果对于任何实数a,b(a < b),随机变量X满足
$P(a < X \leq b)=\int_{a}^{b} \varphi \mu,_{\sigma}(x) \mathrm{d} x$,则称随机变量X服从正态分布.
正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作$N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$.
知识拓展1.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把$\mu=0, \sigma=1$的正态分布叫做标准正态分布.
2.正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布.如长度测量误差,正常生产条件下各种产品的质量指标等.
【做一做1】 设有一正态总体,它的正态分布密度曲线是函数f(x)的图象,且$f(x)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi}} e^{-\frac{(x-10)^{2}}{8}}$,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
解析:由$\frac{1}{\sqrt{8 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{(x-10)^{2}}{8}}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$,可知$\sigma=2, \mu=10$.(μ为平均数,σ为标准差)
答案:B
3.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
(3)曲线在x=μ处达到峰值$\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$.
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时,曲线位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
知识拓展
曲线特点
概率体现
曲线在x轴上方
P(X)>0
曲线关于直线
$x=\mu$对称
①$P(X>\mu)=P(X<\mu)=\frac{1}{2}$,
②$P\left(\mu_{-\mathcal{E}} < X<\mu\right) \\ =P(\mu < X<\mu+\varepsilon)$
(其中$\varepsilon>0$)曲线在$x=\mu$处达到峰值$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$
$0<\varphi_{\mu, \sigma}(x) \leq \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$
曲线与x轴围成的
面积为1
$P(-\infty < x<+\infty)=1$
【做一做2】 设随机变量$\xi \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$,且$P(\xi < c)=p(\xi>C)$,则C等于( )
A.0 B.σ
C.-μ D.μ
解析:正态分布在$x=\mu$对称的区间上概率相等,则$C=\mu$。
答案:D
4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率
$P(\mu-\sigma < X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827$
$P(\mu-2 \sigma < X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$
$P(\mu-3 \sigma < X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973$
知识拓展
正态总体几乎总取值于区间$(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$之内.而在此区间以外取值的概率只有0.002 7,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
1.如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率
剖析首先找出随机变量X服从正态分布时μ,σ的值,再利用3σ原则求随机变量X在某一个区间上取值的概率,最后利用随机变量X在关于X=μ对称的区间上取值的概率相等求得结果.
2.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
剖析(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)熟记$P(\mu-\sigma < X \leq \mu+\sigma)$,
$P(\mu-2 \sigma < X \leq \mu+2 \sigma), \\ P(\mu-3 \sigma < X \leq \mu+3 \sigma)$的值.(3)注意概率值的求解转化:
①$P(X < a)=1-P(X \geq a)$;
②$P(X<\mu-a)=P(X \geq \mu+a)$;
③若$b<\mu$,则$P(X < b)=\frac{1-P(\mu-b < X<\mu+b)}{2}$.
题型一、正态曲线的应用
【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.
反思
1.要特别注意方差是标准差的平方.
2.用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式,关键是确定参数μ与σ的值.
3.当$x=\mu$时,正态分布密度曲线的函数取得最大值,即$f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$,
注意该式在解题中的运用.
【变式训练1】 关于正态曲线特点的描述:
①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方;
②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当$x \in(-3 \sigma, 3 \sigma)$时才在x轴上方;
③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数;
④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;
⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”.
说法正确的是( )
A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥
题型二、正态分布下的概率计算
【例2】 设$\xi \sim N(1,4)$,试求:
(1)$P(-1<\xi \leq 3)$;
(2)$P(3<\xi \leq 5)$;
(3)$P(\xi \geq 5)$.
反思
求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据.
【变式训练2】 设X~N(10,1).
(1)求证:P(1 < X < 2)=P(18 < X < 19);
(2)若P(X≤2)=a,求P(10 < X < 18).
题型三、正态分布的应用
【例3】 某厂生产的fun88网上娱乐柱形零件的外径$X \sim N(4,0.25)$.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?
反思
在试验应用中,通常认为服从正态分布$N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$的随机变量X只取$(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$之间的值,并简称为3σ原则.如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,就说明出现了意外情况.
【变式训练3】 一建筑工地所需要的钢筋的长度服从正态分布,其中μ=8,σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度小于2 m.这时,他让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋,还是让钢筋工停止生产,检修钢筋切割机?
题型四、易错辨析
易错点:混淆密度函数中μ,σ意义而致错
【例4】 把一条正态曲线$C_{1}$沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线$C_{2}$,下列说法不正确的是( )
A.曲线$C_{2}$仍是正态曲线
B.曲线$C_{1}$,$C_{2}$的最高点的纵坐标相等
C.以曲线$C_{2}$为正态曲线的总体的方差比以曲线$C_{1}$为正态曲线的总体的方差大2
D.以曲线$C_{2}$为正态曲线的总体的均值比以曲线$C_{1}$为正态曲线的总体的均值大2
反思
正态曲线的左右平移只改变其均值的大小,不改变方差的大小.也就是平移变换不改变随机变量的方差,只有沿y轴方向的伸缩变换才改变其方差.