平行线分线段成比例定理

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.
2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题
知识点
  • 1.平行线分线段成比例定理

    文字

    语言

    三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

    符号

    语言

    $a / / b / / c$,直线$m$分别与$a, b, c$相交于点$A,B,C$,直线n分别与$a,b,c$相交于点$D,E,F$,则$\frac{A B}{B C}=\frac{D E}{E F}$

    图形

    语言

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    作用

    证明分别在两条直线上的线段成比例

    名师点拨

    1.定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需要$a,b,c$互相平行,构成一组平行线,$m$与$n$可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线$a,b,c$相交,即被平行线$a,b,c$所截.平行线的条数还可以更多.

    2.定理的结论还有$\frac{A B}{A C}=\frac{D E}{D F}, \frac{C B}{C A}=\frac{F E}{F D}$等.

    3.当截得的对应线段成比例,且比值为1时,则截得的线段相等,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例;平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的依据.

    【做一做1】 如图,$a / / b / / c, A B=2, B C=3$,则$\frac{A_{1} B_{1}}{B_{1} C_{1}}$等于()

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    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{2}{3}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{2}{5}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{3}{5}}\end{array}$

    解析:$\because a / / b / / c$

    $\therefore \frac{A_{1} B_{1}}{B_{1} C_{1}}=\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$

    答案:$B$

  • 2.推论

    文字

    语言

    平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例

    符号

    语言

    直线DE分别与$\Delta A B C$的两边$AB,AC$所在直线交于点$D,E,$且$D E / / B C$,则$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$

    图形

    语言

    blob.png

    作用

    证明三角形中的线段成比例

    【做一做2-1】 如图,在$\triangle A B C$中,$D E / / B C$,若$A D=3, B D=1$,则$\frac{A E}{A C}$等于( )

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    $\begin{array}{lll}{\text { A.1 }} & {\text { B.3 }} & {\text { C. } \frac{4}{3} \mathrm{D} \cdot \frac{3}{4}}\end{array}$

    解析:$\because D E / / B C$

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    答案:D

    【做一做2-2】 如图,$A B / / C D, A C, B D$相交于O点,若$B O=7, D O=3, A C=25$,则AO的长为(  )

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    $\begin{array}{ll}{\text { A. } 10} & {\text { B. } 12.5} \\ {\text { C.15 }} & {\text { D. } 17.5}\end{array}$

    解析:$\because A B / / C D$

    $\therefore \frac{A O}{O C}=\frac{B O}{O D}=\frac{7}{3}, \therefore \frac{A O}{A C}=\frac{7}{10}$

    $\therefore A O=\frac{7}{10} A C=\frac{7}{10} \times 25=\frac{35}{2}=17.5$

    答案:D

重难点
  • 比例的有关概念及性质

    剖析:(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度比叫做这两条线段的比.

    (2)比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.

    (3)比例的有关概念:已知四条线段$a,b,c,d$,如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 或$a : b=c \therefore d$,那么线段$a,d$叫做比例外项,线段$b,c$叫做比例内项,线段d叫做线段$a,b,c$的第四比例项.若$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$或$b^{2}=a c$,那么线段$b$叫做线段$a,c$的比例中项.

    (4)比例的性质:

    ①基本性质:$a : b=c \therefore d \Leftrightarrow a d=b c$.

    ②合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.

    ③等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}$(其中$b+d+\ldots+n \neq 0$),那么 $\frac{a+c+\ldots+m}{b+d+\ldots+n}=\frac{a}{b}$.

    (5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序性,$a∶b$与$b∶a$通常是不相等的;比例线段也有顺序性,如线段$a,b,c,d$成比例与线段$a,c,b,d$成比例不同.

例题解析
  • 题型一 证明线段成比例

    【例1】 如图,$AD$为$\triangle A B C$的中线,在$AB$上取点$E, A C$上取点$F$,使$AE=AF$.

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    求证:$\frac{E P}{F P}=\frac{A C}{A B}$

    分析:这道题目要证的比例中的线段都没有直接的联系,可以考虑把比例转移,过点$C$作$CM∥EF$,交$AB$于点$M$,交$AD$于点$N$,且$BC$的中点为$D$,可以考虑补出一个平行四边形来证明.

    反思

    1.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段的产生.

    2.利用平行线产生比例或转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的.

    【变式训练1】 如图,在$\triangle A B C(A B>A C)$的边$A B$上取一点$D$,在边$AC$上取一点$E$,使$AD=AE$,直线$DE$和$BC$的延长线交于点$P$.

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    求证:$B P : C P=B D : C E$

  • 题型二 证明线段相等

    【例2】 如图,在$\Delta A B C$中,$E$为中线$AD$上的一点;$\frac{D E}{A E}=\frac{1}{2}$连接$BE$并延长,交$AC$于点$F$.

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    求证:$AF=CF$.

    分析:关键是条件$\frac{D E}{A E}=\frac{1}{2}$的应用,通过作平行线,证明$\frac{x}{A F}=\frac{x}{F C}$,其中$\mathcal{X}$是某条线段.

    反思

    在利用平行线证明或计算时,常常根据已知条件将复杂的图形进行分解,从中找出基本图形,“借图解题”.

    【变式训练2】 如图,在梯形$A B C D$中,$A D / / B C, F$为对角线$AC$上一点,$FE∥BC$交$AB$于点$E,DF$的延长线交$BC$于点$H,DE$的延长线交$CB$的延长线于点$G$.

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    求证:$BC=GH$.

  • 题型三 证明线段倒数和的等式

    【例3】 如图,$A B \perp B D$于点$B, C D \perp B D$于点$D$,连接$AD,BC$交于点$E, F \perp B D$于点F.求证:$\frac{1}{A B}+\frac{1}{C D}=\frac{1}{E F}$.

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    分析:转化为证明$\frac{E F}{A B}+\frac{E F}{C D}=1$.由于$A B / / E F / / C D$,因此将 $\frac{E F}{A B}$ 与 $\frac{E F}{C D}$化归为同一直线$BD$上的线段比就可得证.

    反思

    证明有关线段倒数和的等式时,常用的方法是首先将其变形为线段比的和为定值的形式,然后化归为同一直线上的线段比.

    【变式训练3】 如图,在梯形$A B C D$中,$A D / / B C, E F$经过梯形对角线的交点$O$,且$E F / / A D$.

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    (1)求证:$O E=O F$;

    (2)求证:$\frac{1}{4 D}+\frac{1}{B C}=\frac{1}{O E}$;

  • 题型四 计算线段长度的比值

    【例4】 如图,$M$是$\square A B C D$的边$AB$的中点,直线$l$过点$M$分别交$AD,AC$于点$E,F$,交$CB$的延长线于点$N$,若$AE=2$,$AD=6$.

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    求$AF∶AC$的值.

    分析:$A D / / B C, A M=M B \Rightarrow A E \\ =B N \Rightarrow A F : A C$
    的值

    反思

    运用平行线分线段成比例定理及推论来计算比值,应分清相关三角形中的平行线段及所截的边,并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等.

    【变式训练4】 如图,已知$\square A B C D$,延长$AB$到$E$,使$B E=\frac{1}{2} A B$,连接$ED$,分别交$BC,AC$于点$F,G$.求$E F : F G : G D$的值.

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