平行线分线段成比例定理
2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题
1.平行线分线段成比例定理
文字
语言
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
符号
语言
$a / / b / / c$,直线$m$分别与$a, b, c$相交于点$A,B,C$,直线n分别与$a,b,c$相交于点$D,E,F$,则$\frac{A B}{B C}=\frac{D E}{E F}$
图形
语言
作用
证明分别在两条直线上的线段成比例
名师点拨1.定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需要$a,b,c$互相平行,构成一组平行线,$m$与$n$可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线$a,b,c$相交,即被平行线$a,b,c$所截.平行线的条数还可以更多.
2.定理的结论还有$\frac{A B}{A C}=\frac{D E}{D F}, \frac{C B}{C A}=\frac{F E}{F D}$等.
3.当截得的对应线段成比例,且比值为1时,则截得的线段相等,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例;平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的依据.
【做一做1】 如图,$a / / b / / c, A B=2, B C=3$,则$\frac{A_{1} B_{1}}{B_{1} C_{1}}$等于()
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{2}{3}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{2}{5}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{3}{5}}\end{array}$
解析:$\because a / / b / / c$
$\therefore \frac{A_{1} B_{1}}{B_{1} C_{1}}=\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$
答案:$B$
2.推论
文字
语言
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
符号
语言
直线DE分别与$\Delta A B C$的两边$AB,AC$所在直线交于点$D,E,$且$D E / / B C$,则$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$
图形
语言
作用
证明三角形中的线段成比例
【做一做2-1】 如图,在$\triangle A B C$中,$D E / / B C$,若$A D=3, B D=1$,则$\frac{A E}{A C}$等于( )
$\begin{array}{lll}{\text { A.1 }} & {\text { B.3 }} & {\text { C. } \frac{4}{3} \mathrm{D} \cdot \frac{3}{4}}\end{array}$
解析:$\because D E / / B C$
答案:D
【做一做2-2】 如图,$A B / / C D, A C, B D$相交于O点,若$B O=7, D O=3, A C=25$,则AO的长为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } 10} & {\text { B. } 12.5} \\ {\text { C.15 }} & {\text { D. } 17.5}\end{array}$
解析:$\because A B / / C D$
$\therefore \frac{A O}{O C}=\frac{B O}{O D}=\frac{7}{3}, \therefore \frac{A O}{A C}=\frac{7}{10}$
$\therefore A O=\frac{7}{10} A C=\frac{7}{10} \times 25=\frac{35}{2}=17.5$
答案:D
比例的有关概念及性质
剖析:(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度比叫做这两条线段的比.
(2)比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
(3)比例的有关概念:已知四条线段$a,b,c,d$,如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 或$a : b=c \therefore d$,那么线段$a,d$叫做比例外项,线段$b,c$叫做比例内项,线段d叫做线段$a,b,c$的第四比例项.若$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$或$b^{2}=a c$,那么线段$b$叫做线段$a,c$的比例中项.
(4)比例的性质:
①基本性质:$a : b=c \therefore d \Leftrightarrow a d=b c$.
②合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
③等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}$(其中$b+d+\ldots+n \neq 0$),那么 $\frac{a+c+\ldots+m}{b+d+\ldots+n}=\frac{a}{b}$.
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序性,$a∶b$与$b∶a$通常是不相等的;比例线段也有顺序性,如线段$a,b,c,d$成比例与线段$a,c,b,d$成比例不同.
题型一 证明线段成比例
【例1】 如图,$AD$为$\triangle A B C$的中线,在$AB$上取点$E, A C$上取点$F$,使$AE=AF$.
求证:$\frac{E P}{F P}=\frac{A C}{A B}$
分析:这道题目要证的比例中的线段都没有直接的联系,可以考虑把比例转移,过点$C$作$CM∥EF$,交$AB$于点$M$,交$AD$于点$N$,且$BC$的中点为$D$,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
反思
1.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段的产生.
2.利用平行线产生比例或转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的.
【变式训练1】 如图,在$\triangle A B C(A B>A C)$的边$A B$上取一点$D$,在边$AC$上取一点$E$,使$AD=AE$,直线$DE$和$BC$的延长线交于点$P$.
求证:$B P : C P=B D : C E$
题型二 证明线段相等
【例2】 如图,在$\Delta A B C$中,$E$为中线$AD$上的一点;$\frac{D E}{A E}=\frac{1}{2}$连接$BE$并延长,交$AC$于点$F$.
求证:$AF=CF$.
分析:关键是条件$\frac{D E}{A E}=\frac{1}{2}$的应用,通过作平行线,证明$\frac{x}{A F}=\frac{x}{F C}$,其中$\mathcal{X}$是某条线段.
反思
在利用平行线证明或计算时,常常根据已知条件将复杂的图形进行分解,从中找出基本图形,“借图解题”.
【变式训练2】 如图,在梯形$A B C D$中,$A D / / B C, F$为对角线$AC$上一点,$FE∥BC$交$AB$于点$E,DF$的延长线交$BC$于点$H,DE$的延长线交$CB$的延长线于点$G$.
求证:$BC=GH$.
题型三 证明线段倒数和的等式
【例3】 如图,$A B \perp B D$于点$B, C D \perp B D$于点$D$,连接$AD,BC$交于点$E, F \perp B D$于点F.求证:$\frac{1}{A B}+\frac{1}{C D}=\frac{1}{E F}$.
分析:转化为证明$\frac{E F}{A B}+\frac{E F}{C D}=1$.由于$A B / / E F / / C D$,因此将 $\frac{E F}{A B}$ 与 $\frac{E F}{C D}$化归为同一直线$BD$上的线段比就可得证.
反思
证明有关线段倒数和的等式时,常用的方法是首先将其变形为线段比的和为定值的形式,然后化归为同一直线上的线段比.
【变式训练3】 如图,在梯形$A B C D$中,$A D / / B C, E F$经过梯形对角线的交点$O$,且$E F / / A D$.
(1)求证:$O E=O F$;
(2)求证:$\frac{1}{4 D}+\frac{1}{B C}=\frac{1}{O E}$;
题型四 计算线段长度的比值
【例4】 如图,$M$是$\square A B C D$的边$AB$的中点,直线$l$过点$M$分别交$AD,AC$于点$E,F$,交$CB$的延长线于点$N$,若$AE=2$,$AD=6$.
求$AF∶AC$的值.
分析:$A D / / B C, A M=M B \Rightarrow A E \\ =B N \Rightarrow A F : A C$
的值反思
运用平行线分线段成比例定理及推论来计算比值,应分清相关三角形中的平行线段及所截的边,并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等.
【变式训练4】 如图,已知$\square A B C D$,延长$AB$到$E$,使$B E=\frac{1}{2} A B$,连接$ED$,分别交$BC,AC$于点$F,G$.求$E F : F G : G D$的值.