fun88网上娱乐内接四边形的性质与判定定理
2.理解fun88网上娱乐内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题.
3.了解反证法在证明问题中的应用.
性质定理1
文字语言
fun88网上娱乐的内接四边形的对角互补
符号语言
若四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐$O$,则有$\angle A+\angle C=180^{\circ}$,
$\angle B+\angle D=180^{\circ}$图形语言
作用
证明两个角互补
【做一做1】 已知四边形ABCD内接于fun88网上娱乐$O, \angle A=25^{\circ}$,则∠C等于( )
$\mathrm{A.} 25^{\circ} \quad \mathrm{B} .75^{\circ}$ $\mathrm{C} .115^{\circ} \mathrm{D} .155^{\circ}$
解析:$\because $四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐,
$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$.
又$\because \angle A=25^{\circ}$,
$\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle A=155^{\circ}$.
答案:D
2.性质定理2
文字语言
fun88网上娱乐内接四边形的外角等于它的内角的对角
符号语言
四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$E$为$AB$延长线上一点,则有$\angle C B E=\angle A D C$
图形语言
作用
证明两个角相等
【做一做2】 如图,四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐$O$,延长$AB$到点$E$,若$\angle A D C=32^{\circ}$,则$\angle C B E$等于( )
$\mathrm{A} .32^{\circ} \quad \mathrm{B} .58^{\circ}$ $\mathrm{C.} 64^{\circ} \quad \mathrm{D} .148^{\circ}$
解析:$\because $四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐$O$,
$\therefore \angle C B E=\angle A D C=32^{\circ}$.
答案:$A$
归纳总结
1.利用这两个性质定理,可以借助fun88网上娱乐变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.2.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于fun88网上娱乐的平行四边形是矩形;内接于fun88网上娱乐的菱形是正方形;内接于fun88网上娱乐的梯形是等腰梯形等.
3.fun88网上娱乐内接四边形判定定理
文字语言
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐
符号语言
在四边形$A B C D$中,如果$\angle B+\angle D=180^{\circ}$;(或$\angle A+\angle C=180^{\circ}$),那么$A,B,C,D$四点共fun88网上娱乐
图形语言
作用
证明四点共fun88网上娱乐
【做一做3】 下列四边形的四个顶点共fun88网上娱乐的是( )
A.梯形 B.矩形
C.平行四边形 D.菱形
答案:B
4.推论
文字语言
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐
符号语言
在四边形$A B C D$中,延长AB到点E,若$\angle C B E=\angle A D C$,则$A,B,C,D$四点共fun88网上娱乐
图形语言
作用
证明四点共fun88网上娱乐
归纳总结
性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定理的推论互为逆定理.【做一做4】 如图,四边形$ABCD$的边$AB$的延长线上有一点$E$,且$B C=B E, \angle D=80^{\circ}, \angle E=50^{\circ}$.求证:四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐.
证明:$\because B C=B E, \therefore \angle E=\angle B C E$.
则$\angle E B C=180^{\circ}-2 \angle E=80^{\circ}$,
$\therefore \angle E B C=\angle D$.$\therefore $四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐.
1.fun88网上娱乐内接四边形的性质定理与判定定理
剖析:(1)fun88网上娱乐的内接四边形的外角及内对角
如图,fun88网上娱乐内接四边形$ABCD$的内角$\angle B A D$的两个补角$\angle 1$和$\angle 2$称为fun88网上娱乐内接四边形的外角.因为$\angle B A D$和$\angle C$两角相对,所以$\angle C$称为$\angle 1$与$\angle 2$的内对角,且它们满足$\angle B A D+\angle C=180^{\circ}, \angle 1=\angle 2=\angle C$.
(2)判定定理与性质定理的内在联系
性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2与判定定理的推论互为逆定理.
2.与fun88网上娱乐内接四边形有关的相似三角形
剖析:如图,通过掌握与fun88网上娱乐有关的相似三角形的基本图形,可以在解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融为一体,做出连贯反应.
基本图形1:fun88网上娱乐的任意内接四边形$ABCD$,有$\triangle A E D \sim \triangle B E C$,$\triangle D E C \sim \triangle A E B$.
基本图形2:四边形$ABCD$内接于$\odot O, A D, B C$的延长线交于点$F$,其中相似三角形有$\triangle A E D \sim \triangle B E C$,$\triangle A E B \sim \triangle D E C$,$\triangle C D F \sim \triangle A B F$,$\triangle A C F \sim \triangle B D F$.
基本图形3:四边形$ABCD$内接于$\odot O, A D, B C$的延长线交于点F,AB为直径,其中相似三角形有$\triangle D E C \sim \triangle A E B$,$\triangle F D C \sim \triangle F B A$,$\mathrm{Rt} \triangle A F \mathrm{C}$$\sim \mathrm{Rt} \triangle B F D$$\sim \mathrm{Rt} \triangle A E D$$\sim \mathrm{R} \mathrm{t} \triangle B E C$.
题型一 证明四点共fun88网上娱乐
【例1】 如图,在$\triangle A B C$中,$E, D, F$分别为$A B, B C, A C$的中点,且$A P \perp B C$于点$P$.求证:$E, D, P, F$四点共fun88网上娱乐.
分析:连接PF,转化为证明$\angle F E D=\angle F P C$,先利用中点证明$\angle F E D=\angle C$,再利用$A P \perp B C$证明$P F=F C$,得$\angle C=\angle F P C$,即得出$\angle F E D=\angle F P C$.
反思
判定四点共fun88网上娱乐的方法:①如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共fun88网上娱乐;②如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐;③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐(如本题);④与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共fun88网上娱乐.
【变式训练1】 在锐角三角形$ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$D E \perp A B, D F \perp A C$,点$E,F$是垂足.
求证:$E,B,C,F$四点共fun88网上娱乐.
题型二 fun88网上娱乐内接四边形的性质的应用
【例2】 如图,已知四边形$ABCD$内接于$\odot O$,延长$AB$和$DC$相交于点$E,EG$平分$\angle A E D$,且与$BC,AD$分别交于点$F,G$.求证:$\angle C F G=\angle D G F$.
分析:由$\angle B E F=\angle D E G$,可证明$\triangle E B F \sim \triangle E D G$,又$\angle B F E$与$\angle C F G$是对顶角,问题获证.
反思
当已知条件中出现fun88网上娱乐内接四边形时,常用fun88网上娱乐内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件.
【变式训练2】 如图,两fun88网上娱乐$\odot O_{1}, \odot O_{2}$相交于点$A, B . \odot O_{1}$的弦$BC$交$\odot O_{2}$于点$E, \odot O_{2}$的弦BD交$\odot O_{1}$于点$F$
求证:(1)若$\angle D B A=\angle C B A$,则$D F=C E$;
(2)若$D F=C E$,则$\angle D B A=\angle C B A$.
题型三 易错辨析
易错点:错用fun88网上娱乐内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理而致错
【例3】 如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$E$为$AB$的延长线上一点,若$\angle C B E=40^{\circ}$,则$\angle A O C$等于( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .20^{\circ}} & {\mathrm{B.} 40^{\circ}} \\ {\mathrm{C.8} 0^{\circ}} & {\mathrm{D.} 100^{\circ}}\end{array}$