fun88网上娱乐内接四边形的性质与判定定理

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解fun88网上娱乐内接四边形的概念,掌握fun88网上娱乐内接四边形的性质定理及其应用.
2.理解fun88网上娱乐内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题.
3.了解反证法在证明问题中的应用.
知识点
  • 性质定理1

    文字语言

    fun88网上娱乐的内接四边形的对角互补

    符号语言

    若四边形$A B C D$内接于fun88网上娱乐$O$,则有$\angle A+\angle C=180^{\circ}$,
    $\angle B+\angle D=180^{\circ}$

    图形语言

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    作用

    证明两个角互补

    【做一做1】 已知四边形ABCD内接于fun88网上娱乐$O, \angle A=25^{\circ}$,则∠C等于(  )

    $\mathrm{A.} 25^{\circ} \quad \mathrm{B} .75^{\circ}$  $\mathrm{C} .115^{\circ} \mathrm{D} .155^{\circ}$

    解析:$\because $四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐,

    $\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$.

    又$\because \angle A=25^{\circ}$,

    $\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle A=155^{\circ}$.

    答案:D

  • 2.性质定理2

    文字语言

    fun88网上娱乐内接四边形的外角等于它的内角的对角

    符号语言

    四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$E$为$AB$延长线上一点,则有$\angle C B E=\angle A D C$

    图形语言

    blob.png

    作用

    证明两个角相等

    【做一做2】 如图,四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐$O$,延长$AB$到点$E$,若$\angle A D C=32^{\circ}$,则$\angle C B E$等于(  )

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    $\mathrm{A} .32^{\circ} \quad \mathrm{B} .58^{\circ}$  $\mathrm{C.} 64^{\circ} \quad \mathrm{D} .148^{\circ}$

    解析:$\because $四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐$O$,

    $\therefore \angle C B E=\angle A D C=32^{\circ}$.

    答案:$A$

    归纳总结
    1.利用这两个性质定理,可以借助fun88网上娱乐变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.

    2.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于fun88网上娱乐的平行四边形是矩形;内接于fun88网上娱乐的菱形是正方形;内接于fun88网上娱乐的梯形是等腰梯形等.

    3.fun88网上娱乐内接四边形判定定理

    文字语言

    如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐

    符号语言

    在四边形$A B C D$中,如果$\angle B+\angle D=180^{\circ}$;(或$\angle A+\angle C=180^{\circ}$),那么$A,B,C,D$四点共fun88网上娱乐

    图形语言

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    作用

    证明四点共fun88网上娱乐

    【做一做3】 下列四边形的四个顶点共fun88网上娱乐的是(  )

    A.梯形    B.矩形

    C.平行四边形  D.菱形

    答案:B  

  • 4.推论

    文字语言

    如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐

    符号语言

    在四边形$A B C D$中,延长AB到点E,若$\angle C B E=\angle A D C$,则$A,B,C,D$四点共fun88网上娱乐

    图形语言

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    作用

    证明四点共fun88网上娱乐

    归纳总结
    性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定理的推论互为逆定理.

    【做一做4】 如图,四边形$ABCD$的边$AB$的延长线上有一点$E$,且$B C=B E, \angle D=80^{\circ}, \angle E=50^{\circ}$.求证:四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐.

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    证明:$\because B C=B E, \therefore \angle E=\angle B C E$.

    则$\angle E B C=180^{\circ}-2 \angle E=80^{\circ}$,

    $\therefore \angle E B C=\angle D$.$\therefore $四边形$ABCD$内接于fun88网上娱乐.

重难点
  • 1.fun88网上娱乐内接四边形的性质定理与判定定理

    剖析:(1)fun88网上娱乐的内接四边形的外角及内对角

    如图,fun88网上娱乐内接四边形$ABCD$的内角$\angle B A D$的两个补角$\angle 1$和$\angle 2$称为fun88网上娱乐内接四边形的外角.因为$\angle B A D$和$\angle C$两角相对,所以$\angle C$称为$\angle 1$与$\angle 2$的内对角,且它们满足$\angle B A D+\angle C=180^{\circ}, \angle 1=\angle 2=\angle C$.

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    (2)判定定理与性质定理的内在联系

    性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2与判定定理的推论互为逆定理.

  • 2.与fun88网上娱乐内接四边形有关的相似三角形

    剖析:如图,通过掌握与fun88网上娱乐有关的相似三角形的基本图形,可以在解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融为一体,做出连贯反应.

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    基本图形1:fun88网上娱乐的任意内接四边形$ABCD$,有$\triangle A E D \sim \triangle B E C$,$\triangle D E C \sim \triangle A E B$.

    基本图形2:四边形$ABCD$内接于$\odot O, A D, B C$的延长线交于点$F$,其中相似三角形有$\triangle A E D \sim \triangle B E C$,$\triangle A E B \sim \triangle D E C$,$\triangle C D F \sim \triangle A B F$,$\triangle A C F \sim \triangle B D F$.

    基本图形3:四边形$ABCD$内接于$\odot O, A D, B C$的延长线交于点F,AB为直径,其中相似三角形有$\triangle D E C \sim \triangle A E B$,$\triangle F D C \sim \triangle F B A$,$\mathrm{Rt} \triangle A F \mathrm{C}$$\sim \mathrm{Rt} \triangle B F D$$\sim \mathrm{Rt} \triangle A E D$$\sim \mathrm{R} \mathrm{t} \triangle B E C$.

例题解析
  • 题型一 证明四点共fun88网上娱乐

    【例1】 如图,在$\triangle A B C$中,$E, D, F$分别为$A B, B C, A C$的中点,且$A P \perp B C$于点$P$.求证:$E, D, P, F$四点共fun88网上娱乐.

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    分析:连接PF,转化为证明$\angle F E D=\angle F P C$,先利用中点证明$\angle F E D=\angle C$,再利用$A P \perp B C$证明$P F=F C$,得$\angle C=\angle F P C$,即得出$\angle F E D=\angle F P C$.

    反思

    判定四点共fun88网上娱乐的方法:①如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共fun88网上娱乐;②如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐;③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共fun88网上娱乐(如本题);④与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共fun88网上娱乐.

    【变式训练1】 在锐角三角形$ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$D E \perp A B, D F \perp A C$,点$E,F$是垂足.

    求证:$E,B,C,F$四点共fun88网上娱乐.

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  • 题型二 fun88网上娱乐内接四边形的性质的应用

    【例2】 如图,已知四边形$ABCD$内接于$\odot O$,延长$AB$和$DC$相交于点$E,EG$平分$\angle A E D$,且与$BC,AD$分别交于点$F,G$.求证:$\angle C F G=\angle D G F$.

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    分析:由$\angle B E F=\angle D E G$,可证明$\triangle E B F \sim \triangle E D G$,又$\angle B F E$与$\angle C F G$是对顶角,问题获证.

    反思

    当已知条件中出现fun88网上娱乐内接四边形时,常用fun88网上娱乐内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件.

    【变式训练2】 如图,两fun88网上娱乐$\odot O_{1}, \odot O_{2}$相交于点$A, B . \odot O_{1}$的弦$BC$交$\odot O_{2}$于点$E, \odot O_{2}$的弦BD交$\odot O_{1}$于点$F$

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    求证:(1)若$\angle D B A=\angle C B A$,则$D F=C E$;

    (2)若$D F=C E$,则$\angle D B A=\angle C B A$.

  • 题型三  易错辨析

    易错点:错用fun88网上娱乐内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理而致错

    【例3】 如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$E$为$AB$的延长线上一点,若$\angle C B E=40^{\circ}$,则$\angle A O C$等于(  )

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    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .20^{\circ}} & {\mathrm{B.} 40^{\circ}} \\ {\mathrm{C.8} 0^{\circ}} & {\mathrm{D.} 100^{\circ}}\end{array}$

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