高中数学网直线的参数方程
2.能用直线的参数方程解决简单问题.
直线的参数方程
过定点$M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$,倾斜角为$\alpha\left(\alpha \neq \frac{\pi}{2}\right)$的直线l的普通方程为$y-y 0=\tan \alpha \cdot\left(x-x_{0}\right)$,它的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=x_{0}+t \cos \alpha} \\ {y=y_{0}+t \sin \alpha}\end{array}\right.$(t为参数),这种形式称为直线参数方程的标准形式.
其中参数t的几何意义是:$|t|$是直线上任一点$M(x, y)$到定点$M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$的距离,即$\left|\overrightarrow{M_{0} M}\right|=|t|$
由$\overrightarrow{M_{0} M}=t \mathbf{e}, \mathbf{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)(0<\alpha<\pi)$,知
若$t>0$,则$\overrightarrow{M_{0} M}$的方向向上;
若$t < 0$,则$\overrightarrow{M_{0} M}$的方向向下;
若$t=0$,则点$M$与点$M_{0}$重合.
【做一做1】 直线$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t \cos 60^{\circ}} \\ {y=3+t \sin 60^{\circ}}\end{array}\right.$($t$为参数)的倾斜角$\alpha$等于( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A.} 30^{\circ}} & {\mathrm{B.} 60^{\circ}} \\ {\mathrm{C} \cdot-45^{\circ}} & {\mathrm{D} .135^{\circ}}\end{array}$
答案:B
【做一做2】 过点$(5,-4)$,倾斜角$\alpha$满足$\tan \alpha=-\frac{4}{5}$的直线l
的参数方程是( )
A.$\left\{\begin{array}{l}{x=5+5 t} \\ {y=-4-9 t}\end{array}\right.$($t$为参数)
B.$\left\{\begin{array}{l}{x=5-5 t} \\ {y=-4+4 t}\end{array}\right.$($t$为参数)
C.$\left\{\begin{array}{l}{x=5+5 t} \\ {y=-4+4 t}\end{array}\right.$($t$为参数)
D.$\left\{\begin{array}{l}{x=5-5 t} \\ {y=-4-4 t}\end{array}\right.$($t$为参数)
答案:B
1.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角
剖析根据直线的参数方程判断直线的倾斜角,首先要看直线的参数方程的形式是不是标准形式,如果是标准形式,然后根据方程就可以判断出倾斜角.例如$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t \cos 20^{\circ}} \\ {y=-4+t \sin 20^{\circ}}\end{array}\right.$($t$为参数),可以直接得出直线的倾斜角是20°.如果不是标准形式,就不能直接得出倾斜角了.例如判断直线$\left\{\begin{array}{l}{x=t \sin 20^{\circ}+3} \\ {y=-t \cos 20^{\circ}}\end{array}\right.$($t$为参数)的倾斜角,有两种方法.
第一种方法:化为普通方程,求倾斜角.
把参数方程改写成$\left\{\begin{array}{l}{x-3=t \sin 20^{\circ}} \\ {-y=t \cos 20^{\circ}}\end{array}\right.$消去$t$,有$y=-\frac{x-3}{\tan 20^{\circ}}$,
即$y=(x-3) \tan 110^{\circ}$,
所以直线的倾斜角为$110^{\circ}$.
第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+(-t) \cos 110^{\circ}} \\ {y=(-t) \sin 110^{\circ}}\end{array}\right.$
令$-t=t^{\prime}$,则$\left\{\begin{array}{l}{x=3+t^{\prime} \cos 110^{\circ}} \\ {y=t^{\prime} \sin 110^{\circ}}\end{array}\right.$
所以直线的倾斜角为$110^{\circ}$.
2.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法
剖析给出直线的非标准式参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=x_{0}+a t} \\ {y=y_{0}+b t}\end{array}\right.$($t$为参数),根据标准式的特点,参数$t$的系数应分别是倾斜角的余弦值和正弦值.根据三角函数的性质知其平方和为1,所以可以化为$\left\{\begin{array}{l}{x=x_{0}+\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \sqrt{a^{2}+b^{2}} t} \\ {y=y_{0}+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \sqrt{a^{2}+b^{2}} t}\end{array}\right.$(t为参数),再进一步令$\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.根据直线倾斜角的范围让$\alpha$在$[0, \pi)$范围内取值,并且把$\sqrt{a^{2}+b^{2}} t$看成相应的参数$t^{\prime}$,即得标准形式的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=x_{0}+t^{\prime} \cos \alpha} \\ {y=y_{0}+t^{\prime} \sin \alpha}\end{array}\right.$($t^{\prime}$为参数).
归纳总结
由转化的过程可以看出,在一般参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=x_{0}+a t} \\ {y=y_{0}+b t}\end{array}\right.$($tR$为参数)中,$\sqrt{a^{2}+b^{2}} t$具有标准形式参数方程中参数的几何意义.所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式,而直接求出相应的$t$,再乘$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$即可使用标准形式中参数的 几何意义.
3.直线的参数方程的其他形式
剖析对于同一直线的普通方程,若选取的参数不同,则会得到不同的参数方程.例如,对于直线的普通方程$y=2 x+1$,如果令$x=t$,那么可得到参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t} \\ {y=2 t+1}\end{array}\right.$($t$为参数);如果令$x=\frac{t}{2}$,那么可得到参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t}{2}} \\ {y=t+1}\end{array}\right.$($t$为参数).这样的参数方程中的t可能不具有特定的几何意义,但是在实际应用中能够简化某些运算.例如,动点$M$做匀速直线运动,它在$x$轴和$y$轴方向上的分速度分别为9和12,点$M$从点$A(1,1)$开始运动,求点$M$的轨迹的参数方程.点$M$的轨迹的参数方程可以直接写为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+9 t} \\ {y=1+12 t}\end{array}\right.$($t$为参数).
求经过点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,倾斜角是$\alpha$的直线的参数方程
【例1】 已知直线$l$过点$P(3,4)$,且它的倾斜角$\theta=120^{\circ}$.
(1)写出直线$l$的参数方程;
(2)求直线$l$与直线$x-y+1=0$的交点坐标.
分析:首先根据直线过点$(3,4)$及直线的倾斜角$\theta=120^{\circ}$,得该直线的参数方程,然后代入$x-y+1=0$即可求得交点坐标.
反思由直线上一定点和直线的倾斜角,可确定直线的参数方程.
【变式训练1】 已知直线$l$的斜率$k=-1$,经过点$M_{0}(2,-1)$,点$M$在直线上,以$\overrightarrow{M_{0} M}$的数量$t$为参数,则直线$l$的参数方程为
由直线的参数方程判断其倾斜角或斜率
【例2】 若直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2 t} \\ {y=2+3 t}\end{array}\right.$($t$为参数)与直线$4 x+k y=1$垂直,则常数$k=$_________.
反思根据直线的参数方程可得出直线的斜率,再根据斜率的关系来判断直线的平行或垂直.
【变式训练2】 已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t \sin \frac{\pi}{6}} \\ {y=2-t \cos \frac{\pi}{6}}\end{array}\right.$($t$为参数),则直线$l$的倾斜角$\alpha$为( )
$ \mathrm{A} . \frac{\pi}{6} \mathrm{B} \cdot \frac{\pi}{3} \mathrm{C} \cdot \frac{5 \pi}{6} \mathrm{D} \cdot \frac{2 \pi}{3}$
直线的参数方程的应用
【例3】 已知直线l过定点$P(3,2)$,且与$x$轴、$y$轴的正半轴分别交于$A,B$两点,求$|P A| \cdot|P B|$的值为最小时的直线$l$的普通方程.
分析:本题可用直线的普通方程求解,但运算较麻烦,如果用直线的参数方程来解就可以把问题转化为三角函数的最小值问题,便于计算.
反思
直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式.而对于某些比较简单的直线问题,比如求直线和坐标轴或与某条直线的交点时宜用直线的普通方程.
【变式训练3】 已知直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4-t} \\ {y=-2 \sqrt{3}+\sqrt{3} t}\end{array}\right.$
($t$为参数),在直线上求一点$P$,使点$P$到点$A(4,-2 \sqrt{3})$的距离为4.
易错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致错
【例4】 已知过点$M(2,-1)$的直线$l : \left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{t}{2}} \\ {y=-1+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$($t$为参数)与fun88网上娱乐$x 2+y 2=4$交于$A,B$两点,求$|A B|$及$|A M| \cdot|B M|$.
