柱坐标系与球坐标系简介
2.与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别与联系.
1.柱坐标系
(1)定义:建立空间直角坐标系$O x y z$.设P是空间任意一点,它在$O x y$平面上的射影为点$Q$,用$(\rho, \theta)(\rho \geqslant 0,0 \leqslant \theta < 2 \pi)$表示点$Q$在平面$O x y$上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组$(\rho, \theta, z)(z \in \mathbf{R})$表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组$(\rho, \theta, z)$之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组$(\rho, \theta, z)$叫做点$P$的柱坐标,记作P$(\rho, \theta, z)$,其中$\rho \geqslant 0,0 \leqslant \theta < 2 \pi,-\infty < z<+\infty$.
(2)空间点P的直角坐标$(x, y, z)$与柱坐标$(\rho, \theta, z)$之间的变换公式为$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \mathrm{co}} \\ {y=\rho \sin \theta} \\ {z=z}\end{array}\right.$
【做一做1】 若点P的直角坐标为$(1,1,3)$,则它的柱坐标是_________.
答案:$\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}, 3\right)$
2.球坐标系
(1)定义:建立空间直角坐标系$O x y z$.设P是空间任意一点,连接$O P$,记$|O P|=r, O P$与$O_{Z}$轴正向所夹的角为$\varphi$.设点P在$O x y$平面上的射影为点$Q, O x$轴按逆时针方向旋转到$O Q$时所转过的最小正角为$\theta$.这样点P的位置就可以用有序数组$(r, \varphi, \theta)$表示.这样,空间的点与有序数组$(r, \varphi, \theta)$之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组$(r, \varphi, \theta)$叫做点P的球坐标,记作$P(r, \varphi, \theta)$),其中$r \geqslant 0,0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta < 2 \pi$.
(2)空间点P的直角坐标$(x, y, z)$与球坐标$(r, \varphi, \theta)$之间的变换关系为$\left\{\begin{array}{l}{x=r \sin \varphi \cos \theta} \\ {y=r \sin \varphi \sin \theta} \\ {z=r \cos \varphi}\end{array}\right.$
【做一做2】 已知点$M$的球坐标为$\left(4, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$,则它的直角
坐标是_________,它的柱坐标是_________.
答案:$(-2,2,2 \sqrt{2}) \quad\left(2 \sqrt{2}, \frac{3 \pi}{4}, 2 \sqrt{2}\right)$
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别
剖析它们都是三维的坐标系,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.
在空间直角坐标中,我们需要三个长度$x, y, z$,而在柱坐标与球坐标中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置,需要$\rho, \theta, z$或者$r, \varphi, \theta$.
在空间直角坐标系中,设点$M$为空间中的一个已知点.我们过点$M$作三个平面分别垂直于$x$轴、$y$轴、$z$轴,它们与$x$轴、$y$轴、$z$轴的交点依次为$P, Q, R$,这三点在$x$轴、$y$轴、$z$轴的坐标依次为$x, y, z$.于是空间的一点$M$就唯一地确定了一个有序数组$x, y, z$.这组数$x, y, z$就叫做点$M$的坐标,并依次称$x,y$和$z$为点$M$的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).
在柱坐标$M(\rho, \theta, z)$中,结合上图知,$\rho=|O A|=\sqrt{|O P|^{2}+|O Q|^{2}} \\ =\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \theta=\angle P O A$,其中$x, y, z$的值与直角坐标中的相同.在球坐标$M(r, \varphi, \theta)$中,结合上图知,$r=|O M|=\sqrt{|O A|^{2}+|A M|^{2}} \\ =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \\ \varphi=\angle R O M, \theta=\angle P O A$,其中$\theta$与柱坐标中的$\theta$相同,$x, y, z$的值与直角坐标中的相同.
几种三维坐标互不相同,互有联系,互相能够转化,都用来刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.
2.建立空间坐标系的技巧
剖析我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.
坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系,借助坐标系方便、简捷地研究问题.
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系.
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是图形中有一定的对称关系,我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题.
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的平面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,从而建立空间直角坐标系.
直角坐标与柱坐标的互化
【例1】 设点M的直角坐标为(1,1,1),求它在柱坐标系中的坐标.
分析:把空间直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标,利用公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\rho \cos \theta} \\ {y=\rho \sin \theta} \\ {z=z}\end{array}\right.$
求出$\rho, \theta$即可.
反思
由直角坐标求柱坐标,可以先设点M的柱坐标为$(\rho, \theta, z)$,代入变换公式,利用$\rho^{2}=x^{2}+y^{2}求\rho$,利用$\tan \theta=\frac{y}{x}$求$\theta$,在求$\theta$时,要特别注意点M所在的位置,从而确定$\theta$的取值.【变式训练1】 已知点M的柱坐标为$\left(4, \frac{\pi}{3}, 4\right)$,求它的直角坐标.
直角坐标与球坐标的互化
【例2】 已知点M的球坐标为$\left(2, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$,求它的直角坐标.
分析:利用变换公式$\left\{\begin{array}{l}{x=r \sin \varphi \cos \theta} \\ {y=r \sin \varphi \sin \theta} \\ {z=r \cos \varphi}\end{array}\right.$求解.
反思当直角坐标与球坐标进行互化时,若点$M$的球坐标为$(r, \varphi, \theta)$,直角坐标为$(x, y, z)$,利用变换公式可直接求出直角坐标;利用$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \tan \theta=\frac{y}{x}, \cos \varphi=\frac{Z}{r}$ 需要特别注意的是在求$\varphi$和$\theta$时,要先弄清楚点$M$所在的位置.
【变式训练2】 若点M的直角坐标为$(-1,-1, \sqrt{2})$,则它的球坐标为( )
A. $\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) \mathrm{B} \cdot\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$
$\mathrm{C} \cdot\left(2, \frac{5 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) \mathrm{D} \cdot\left(2, \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$
求空间一点的坐标
【例3】 一个fun88网上娱乐形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区、二区……十六区.我们设fun88网上娱乐形体育馆第一排与体育馆中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,并把A的柱坐标写出来.
反思
求空间中一点的柱坐标,与求平面极坐标是类似的,需要确定极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度.
【变式训练3】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测某航天器,将数据汇总,就可计算出该航天器在某一时刻的位置.已知某航天器离地球表面2 384 km,地球的半径为6 371 km,它所处的位置是东经$80^{\circ}$,北纬$75^{\circ}$.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器P的球坐标.
柱坐标系、球坐标系的应用
【例4】 已知点$P_{1}$的球坐标是$\left(2 \sqrt{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right)$,点$P 2$的柱坐标是$\left(\sqrt{6}, \frac{\pi}{6}, 1\right)$,求$|P 1 P 2|$.
分析:可把两点坐标均化为直角坐标,再用空间两点间的距离公式求解.
反思
柱坐标及球坐标问题可以统一转化为直角坐标问题来解决.
【变式训练4】 在柱坐标系中,点M的柱坐标为$\left(2, \frac{2 \pi}{3}, \sqrt{5}\right)$,则$|O M| 2=$_________.
易错辨析
易错点:公式记忆不牢而致错
【例5】 已知点M的直角坐标为$(1,1, \sqrt{2})$,求它的球坐标.