绝对值不等式的解法
2.了解绝对值不等式的几何解法.
1.含有绝对值的不等式的解法(同解性)
(1)$|x| < a \Leftrightarrow$
(2)$|x|>a \Leftrightarrow$
名师点拨对于不等式$|x| < a(a> 0)$,由绝对值的几何定义知,它表示数轴上到原点的距离小于$a$的点的集合.如图:
【做一做1】 若集合$M=\{x| | x | \leqslant 2\}, N=\left\{x | x^{2}-3 x=0\right\}$,则$M \cap N=$( )
A. $\{3\}$ B. $\{0\}$
$\mathrm{C} \cdot\{0,2\} \quad \mathrm{D} \cdot\{0,3\}$
解析:$\because M=\{x |-2 \leqslant x \leqslant 2\}, N=\{0,3\}, \\ \therefore M \cap N=\{0\}$
答案:B
2.$|a x+b| \leqslant c(c>0),|a x+b| \geqslant c(c>0)$型不等式的解法
(1)$|a x+b| \leqslant c(c>0)$型不等式的解法是:先化为不等式组
$-c \leqslant a x+b \leqslant c$,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.
(2)|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法是:先化为$a x+b \geqslant c$或$a x+b \leqslant-c$,再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集.
【做一做2-1】 若条件$p :|x+1| \leqslant 4$,条件$q : x^{2} < 5 x-6$,则
是
的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【做一做2-2】 $|2 x+1|>|5-x|$的解集是_________.
解析:$\because|2 x+1|>|5-x|, \therefore(2 x+1)^{2}>(5-x)^{2}$.
$\therefore 3 x^{2}+14 x-24>0 . \therefore x<-6$或$x>\frac{4}{3}$
答案:$(-\infty,-6) \cup\left(\frac{4}{3},+\infty\right)$
3.$|x-a|+|x-b| \geqslant c$和$|x-a|+|x-b| \leqslant c$型不等式的解法
有三种不同的解法:
解法一是利用绝对值不等式的几何意义.
解法二是利用分类讨论的思想,以绝对值的“零点”为分界点,将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的符号,进而去掉绝对值符号.
解法三是通过构造函数,利用函数的图象得到不等式的解集.
名师点拨$|x-a|+|x-b| \geq c$或$|x-a|+|x-b| \leq c$型不等式的三种解法可简述为(1)几何意义法;(2)根分区间法;(3)构造函数法.
【做一做3】 不等式$|x-1|+|x-2| < 2$的解集是_________.
解析:当$x \leqslant 1$时,$1-x+2-x < 2$,即$2 x > 1$,则$\frac{1}{2} < x \leqslant 1$;
当$1 < x < 2$时,$x-1+2-x < 2$恒成立,即$1 < x < 2$;
当$x \geq 2$时,$x-1+x-2 < 2$,即$2 x < 5$,
$\therefore 2 \leqslant x<\frac{5}{2}$综上可知$\frac{1}{2} < x<\frac{5}{2}$
答案:$\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$
几个特殊的含绝对值的不等式的区别
剖析:(1)若$|x-4|-|x-3|>a$有解,则$a$的取值范围是_________;
(2)若$|x-4|-|x-3|>a$的解集为$\mathbf{R}$,则$a$的取值范围是_________;
(3)若$|x-4|+|x-3| < a$的解集为$\varnothing$,则$a$的取值范围是_________;
(4)若$|x-4|-|x-3|>a$的解集为$\mathbf{R}$,则$a$的取值范围是_________.
处理以上问题,我们可以与函数$y=|x-4|-|x-3|, y=|x-4|+|x-3|$的最值或值域联系起来,第一个函数的值域为$[-1,1]$,而第二个函数的最小值为1,即$|x-4|+|x-3| \geq 1$,所以$|x-4|-|x-3|>a$有解,只需$a < 1>a$的解集是$\mathbf{R}$,则说明是恒成立问题,所以$a<[|x-4|-|x-3|]_{\min }=-1$,即$a<-1 ;|x-4|+|x-3| < a$的解集为?,说明$a \leqslant[|x-4|+|x-3|]_{\min }=1$的解集为$\mathbf{R}$,说明$a < [|x-4|+|x-3|]_{\min } = 1 $.以上这几种不等式问题,实质是与两种函数的最值或值域相联系的问题,当然也可以借助函数的图象,通过数形结合来求得$a$的取值范围.理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助.
题型一 解$|a x+b| \geqslant c(c>0)$和$|a x+b| \leqslant c(c>0)$型的不等式
【例1】 不等式$|3 x-2|>4$的解集是( )
A. $\{x | x>2\} \quad$ B. $\left\{x | x<-\frac{2}{3}\right\}$
C. $\left\{x | x<-\frac{2}{3}\right.$或$x>2 \} \mathrm{D} \cdot\left\{x |-\frac{2}{3} < x < 2\right\}$
【变式训练1】 解不等式$3 \leqslant|x-2| < 4$.
【例2】 不等式$\left|5 x-x^{2}\right| < 6$的解集为( )
A. $\{x | x < 2$或$(x>3\}$
B. $\{x |-1 < x < 2$或$3 < x < 6 \}$
C. $\{x |-1 < x < 6\}$
D. $\{x | 2 < x < 3\}$
反思
形如$|f(x)| < a>a(a \in \mathbf{R})$型不等式的简单解法:
(1)当$a>0$时,$|f(x)| < a \Rightarrow-a < f(x) < a$.
$|f(x)|>a \Leftrightarrow f(x)>a$或$f(x)<-a$.
(2)当$a=0$时,$f(x) | < a$无解.
$|f(x)|>a \Leftrightarrow|f(x)| \neq 0$.
(3)当$a < 0$时,$|f(x)| < a$无解.
$|f(x)|>a \Leftrightarrow f(x)$有意义.
【变式训练2】 解不等式$| | x-1|-4| < 2$.
题型二 解$f(x) |>g(x)$型的不等式
【例3】 解不等式$\left|x-x^{2}-2\right|>x^{2}-3 x-4$.
分析:解题时首先考虑$x^{2}-x+2$的符号,直接去掉绝对值号求解即可.
反思 本题形如$|f(x)|>g(x)$,我们可以借助形如$|a x+b|>c$的解法转化为$f(x)<-g(x)$或$f(x)>g(x)$,当然$|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow-g(x) < f(x) < g(x)$.如果$f(x)$的正负能确定的话,也可以直接去掉绝对值号再解不等式.
【变式训练3】 解不等式$\left|x^{2}-\frac{1}{2}\right|>2 x$
题型三 解$|x+a|+|x+b| \geqslant c(c>0)$型的不等式
【例4】 解不等式$|x+1|+|x-1| \geq 3$.
分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解,对于形如$y=|x+a|+|x+b|$的函数,可以认为是分段函数.
反思
$|x-a|+|x-b| \geqslant c, \\ |x-a|+|x-b| \leqslant c(c>0)$型不等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.
(1)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即$|x|=\left\{\begin{array}{l}{x, x \geq 0} \\ {-x, x < 0}\end{array}\right.$也即当$x$为非负数时,$|x|$为$x$;当$x$为负数时,$|x|$为-$x$,即$x$的相反数.
(2)$|x-a|+|x-b| \geq c, \\ |x-a|+|x-b| \leqslant c(c>0)$型不等式的图象解法和画出函数$f(x)=|x-a|+|x-b|-c$的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出$f(x)$的分段表达式.不妨设$a < b$,于是$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-2 x+a+b-c < x \leq a} \\ {b-a-c, a < x < b} \\ {2 x-a-b-c, x \geq b}\end{array}\right.$
图象解法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.
(3)几何解法的关键是理解绝对值的几何意义.
【变式训练4】 已知不等式$|x-4|+|3-x| < a$.
(1)若解集为空集,求$a$的取值范围;
(2)若不等式有解,求$a$的取值范围.
题型四 含有参数的绝对值不等式的解法
【例5】 已知函数$f(x)=|x-a|$. < br/>
(1)若不等式$f(x) \leqslant 3$的解集为$\{x |-1 \leqslant x \leqslant 5\}$,求实数$a$的值;
(2)在(1)的条件下,若$f(x)+f(x+5) \geqslant m$对一切实数$x$恒成立,求实数$m$的取值范围.
分析:(1)直接由$f(x) \leqslant 3$去绝对值号解出不等式的解集再求字母$a$的值;
(2)把不等式的解集问题转化为恒成立问题,即转化为求解$f(x)+f(x+5)$的最小值问题.
反思
含有参数的不等式的求解问题分两类:一类要对参数进行讨论;另一类如本例,对参数$a$并没有进行讨论,而是去绝对值时对变量进行讨论,得到两个不等式组,最后把两不等式组的解集合并,即得该不等式的解集.
【变式训练5】 已知函数$f(x)=|x+a|+|x-2|$.
(1)当$a=-3$时,求不等式$f(x) \geqslant 3$的解集;
(2)若$f(x) \leqslant|x-4|$的解集包含$[1,2]$,求$a$的取值范围.