函数的奇偶性/计算机作函数的图象
2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.
3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等.
1.奇、偶函数的概念
名称
定义
奇函
数
设函数$y=f(x)$的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有$-x \in D$,且$f(-x)=-f(x)$,则这个函数叫做奇函数
偶函
数
设函数$y=g(x)$的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有$-x \in D$,且$g(-x)=g(x)$,则这个函数叫做偶函数
名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.
【做一做1-1】 函数$f(x)=\frac{1}{x}_{r} x \in(-1,0) \cup(0,1]$的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
答案:C
【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( )
A.在定义域内存在x,使得$f(-x)=f(x)$
B.在定义域内存在x,使得$f(-x)=-f(x)$
C.对定义域内任意x,都有$f(-x)=-f(x)$
D.对定义域内任意x,都有$f(-x)=f(x)$
答案:D
【做一做1-3】 给出下列函数:①$f(x)=x$;②$f(x)=x^{2}$;③$f(x)=\frac{1}{x}$;④$f(x)=|x+1|$;⑤$f(x)=x^{2}+x$;⑥$f(x)=\sqrt{x}$.其中是奇函数的有__________,是偶函数的有__________.(填序号)
解析:①③满足奇函数的定义,②满足偶函数的定义.
答案:①③ ②
2.奇函数、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
(2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
【做一做2-1】 函数$f(x)=\frac{1}{x}-x$的图象关于( )对称.
A.y轴 B.直线$y=-x$
C.坐标原点 D.直线$y=x$
解析:因为$f(x)=\frac{1}{x}-x$是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称.
答案:C
【做一做2-2】 函数$f(x)$是偶函数,则其图象( )
A.关于原点对称 B.关于$x$轴对称
C.关于$y$轴对称 D.关于直线$y=x$对称
答案:C
3.(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤
(1)给自变量x赋值;
(2)给出计算法则,求对应的y值;
(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;
(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;
(5)通过这些点集描出函数的图象.
注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.
一、解读函数的奇偶性
剖析:(1)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势.奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有$f(-x)=-f(x)$(或$f(-x)=f(x) )$),才能说$f(x)$是奇(偶)函数.
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.由函数奇偶性的定义知,若$x$是定义域中的一个数值,则$-x$必然在定义域中,因此,函数$y=f(x)$是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性.如函数$y=2 x$在(-∞,+∞)内是奇函数,但在$[-2,3]$上不具有奇偶性.
(3)根据函数奇偶性的定义,函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数.当函数$f(x)$的定义域不关于原点对称,或虽然定义域关于原点对称,但$f(-x) \neq f(x)$且$f(-x) \neq-f(x)$时,$f(x)$是非奇非偶函数.尤其要注意$f(x)=0, x \in A$,若定义域$A$关于原点对称,则它既是奇函数又是偶函数.
(4)若函数$f(x)$是奇函数,且在$x=0$处有意义,则一定有$f(0)=0$.但要注意,反之结论是不一定成立的.
(5)若函数$f(x)$是偶函数,则有$f(x)=f(-x)=f(|x|)$.
知识拓展
奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数$f(x)$在区间[a,b](0 < a < b)上有最大值M,最小值$m$,则$f(x)$在区间[-b,-a]上的最大值为$-m$,最小值为$-M$;偶函数$f(x)$在区间$[a, b],[-b,-a](0 < a < b)$上有相同的最大(小)值.二、判断函数奇偶性的几种方法
剖析:判断函数的奇偶性,常用的有定义法、图象法、性质法.
(1)根据函数奇偶性的定义判断,其基本步骤为:
①求函数的定义域并考察定义域是否关于原点对称.若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.例如,函数$f(x)=x^{4}+1, x \in[-1,2]$,因为它的定义域不关于原点对称,当$1 < x \leqslant 2$时,$f(-x)$没有定义,所以它不符合奇函数、偶函数的定义,故$f(x)=x^{4}+1, x \in[-1,2]$是非奇非偶函数.
②若定义域关于原点对称,再判断$f(-x)$与$f(x)$的关系.这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数.例如,$f(x)=x^{2}+x, g(x)=x^{3}+1$,它们的定义域都是$R$,因为$f(-x)=(-x)^{2}+(-x)=x^{2}-x \neq f(x)$(或$-f(x)$),所以它是非奇非偶函数.同理可证$g(x)=x^{3}+1$也是非奇非偶函数.
③得出结论.
名师点拨1.定义域关于原点对称,且满足$f(-x)=-f(x)=f(x)$的函数既是奇函数又是偶函数.例如,$f(x)=0, x \in \mathbf{R} ; f(x)=0, x \in[-2,2] ; \\ f(x)=0, x \in(-1,1)$等.注意:既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.
2.分段函数奇偶性的判断关键是搞清$x$与$-x$的所在范围及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断,而不能以其中一个区间来代替整个定义域.
3.判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式$f(-x) \pm f(x)=0$或$\frac{f(-x)}{f(x)}=\pm 1(f(x) \neq 0)$来代替.
(2)借助函数的图象判断奇偶性.例如,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性.
(3)根据性质来判断函数的奇偶性,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论要注意各函数的定义域)
特别地,$F_{1}(x)=f(x)+f(-x)$为偶函数,$F_{2}(x)=f(x)-f(-x)$为奇函数.
题型一、判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数是奇函数还是偶函数,并说明理由.
(1)$f(x)=x^{3}+2 x$;
(2)$f(x)=x^{2}-|x|+1$;
(3)$f(x)=(x+4)^{2}$;
(4)$f(x)=|x-3|-|x+3|$;
(5)$f(x)=\frac{x^{3}(x-1)}{x-1}$;
(6)$f(x)=\sqrt{x^{2}-16}+\sqrt{16-x^{2}}$.
反思
判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义.若一个函数是非奇非偶函数,有时只要说明它的定义域不关于原点对称即可.例如,本例中的(5)小题,在$x \neq 1$时,虽有$f(x)=\frac{x^{3}(x-1)}{x-1}=x^{3}$,但它并不是奇函数.
【变式训练1】 判断下列各函数的奇偶性:
(1)$f(x)=x+3$;
(2)$f(x)=|x|-2$;
(3)$f(x)=\frac{1}{x^{3}}$ ;
(4)$f(x)=\sqrt{x-6}+\sqrt{6-x}$.
题型二、奇函数、偶函数图象的应用
【例2】
(1)如图给出偶函数$y=f(x)$的局部图象,则$f(1)+f(-2)$的值是_______.
(2)若奇函数$f(x)$的定义域为$[-5,5]$,其$y$轴右侧的图象如图所示,则$f(x) < 0$的$x$的取值集合为________.
反思
函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图象的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可.
【变式训练2】 若f(x)是奇函数,且点(1,-4)在其图象上,则下列各点中在f(x)图象上的是( )
A.(1,4) B.(-4,1)
C.(-1,-4) D.(-1,4)
题型三、函数奇偶性的应用
【例3】 已知函数$f(x)$是定义在$[-5,5]$上的奇函数,且当$x \in[0,5]$时,$f(x)=\frac{1}{2} x 3-x^{2}$,求$f(-1)$的值.
【变式训练3】 若$f(x)$是定义域为$R$的偶函数,当$x \leqslant 0$时,$f(x)=\frac{1}{2} x 2+4 x$,则$f(2)$=_______.
【例4】
(1)已知函数$f(x)=\frac{2 x+m}{x^{2}+1}$ 是奇函数,求实数$m$的值;
(2)若函数$f(x)=a x^{2}+b x+3 a+b$是偶函数,其定义域为$[a-1,2 a]$,求$a,b$的值.
反思
已知函数$f(x)$是奇函数或偶函数,求$f(x)$解析式中的参数值问题,通常有两种解法,一是直接根据奇函数或偶函数定义的等价形式,建立关于参数的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出参数值,然后再代入验证.特别地,当$f(x)$是在原点有定义的奇函数时,可利用$f(0)=0$求得参数值.
【变式训练4】 若函数$f(x)=x^{2}-|x+a|$为偶函数,则实数a=_______.
【例5】 若$f(x)$是定义在$R$上的奇函数,当$x < 0$时,$f(x)=x(1-x)$,求当$x \geqslant 0$时,函数$f(x)$的解析式.
【变式训练5】 若函数$f(x)$是偶函数,当$x>0$时,$f(x)=2 x 2-\frac{1}{x}$,求当$x < 0$时,$f(x)$的解析式.
题型四、奇偶性与单调性的综合应用
【例6】 函数$f(x)=\frac{a x+b}{1+x^{2}}$ 是定义在$(-1,1)$上的奇函数,且$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}$.
(1)确定函数$f(x)$的解析式;
(2)用定义证明$f(x)$在$(-1,1)$上是增函数;
(3)解不等式$f(t-1)+f(t) < 0$.
反思
函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质,这两部分内容与函数的其他性质经常结合在一起,出现一些难度较大的综合题.解题的关键是化归思想及数形结合思想的充分利用.
【变式训练6】 已知函数$f(x)$在$R$上是偶函数,且在$(-\infty, 0]$上是单调递减的,试比较$f(3)$与$f(\pi)$的大小.
题型五、易错辨析
易错点:忽视函数定义域导致奇偶性判断出错
【例7】 判断函数$f(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}}{x-2}$的奇偶性.
【变式训练7】 判断函数$f(x)=(x-3) \cdot \sqrt{\frac{x+3}{x-3}}$ 的奇偶性.
真题
1下列函数中,是偶函数的是( )
A.$f(x)=x^{2}$ B.$f(x)=x$
C.$f(x)=\frac{1}{x}$ D.$f(x)=x+x^{3}$
2, $f(x)=x 3+\frac{1}{x}$ 的图象关于( )
A.原点对称 B.$y$轴对称
C.$y=x$对称 D.$y=-x$对称
3,有下列说法:
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②若$y=f(x)$是奇函数,则由$f(-x)=-f(x)$可知$f(0)=0$;
③既是奇函数又是偶函数的函数一定是$f(x)=0, x \in \mathbf{R}$;
④若一个图形关于$y$轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图象.
其中不正确的是( )
A.①② B.①④
C.①②④ D.①②③④
4,设函数$f(x)$和$g(x)$分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.$f(x)+|g(x)|$是偶函数
B.$f(x)-|g(x)|$是奇函数
C.$|f(x)|+g(x)$是偶函数
D.$|f(x)|-g(x)$是奇函数
5,若$f(x)$是奇函数,当$x \leqslant 0$时,$f(x)=3 x^{2}-4 x$,则$f(1)=$________.
6,如果奇函数$f(x)$在区间$[3,7]$上是增函数,且最小值是5,那么$f(x)$在区间$[-7,-3]$上的最_________(填“大”或“小”)值为_______.