函数的应用(Ⅰ)

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.会利用一次函数和二次函数及分段函数模型解决简单的实际问题.
2.理解数学建模的过程,并不断地加强数学的应用意识.
知识点
  • 1.直线型的函数模型

    我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个区间的变化率都一样.

    解题时常设为:正比例型:$y=k x(k \neq 0)$,一次函数型:$y=k x+b(k \neq 0)$.

    当$k>0$时两者都是增长型函数,$k$的值越大增速越快.

    如在市场经济大潮中,普遍存在着最优化问题??最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件.如果一个问题中有两个变量,且这两个变量之间存在一次函数关系,那么可以用一次函数模型来解决.

    名师点拨在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围;二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,使结果符合实际问题的要求.

    【做一做1】 据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元.若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是(  )

    A.$y=0.3 x+800(0 \leqslant x \leqslant 2000)$

    B.$y=0.3 x+1600(0 \leqslant x \leqslant 2000)$

    C.$y=-0.3 x+800(0 \leqslant x \leqslant 2000)$

    D.$y=-0.3 x+1600(0 \leqslant x \leqslant 2000)$

    解析:由题意可知总收入y(单位:元)关于x(单位:辆次)的函数关系式为$y=0.5 x+(2000-x) \times 0.8 \\ =-0.3 x+1600,0 \leqslant x \leqslant 2000$

    答案:D

  • 2.抛物线型的模型(二次函数模型)

    二次函数常设为$y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$为常数,$a \neq 0 )$的形式,其图象是抛物线,顶点坐标是$\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)$,对称轴是直线$x=-\frac{b}{2 a}$,当$a>0$时,抛物线在对称轴的左边单调递减,在对称轴的右边单调递增,在$x=-\frac{b}{2 a}$ 处有最小值 $\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}$,经常需要用配方法求最值.

    知识拓展

    在解决应用题时,列出函数的解析式常用的有待定系数法、归纳法及方程法.

    (1)待定系数法:已知条件中已给出了含参数的函数关系式,或可确定函数类型,此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值,就可以得到确定的函数解析式;

    (2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式;

    (3)方程法:用x表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数关系式,此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法,实际上函数关系式就是含x,y的二元方程.

    【做一做2】 如图所示,某单位计划建造一排连续三个相同的矩形饲养场,现有总长为1的围墙材料,则当每个矩形的长宽之比为_______时,能使围成的饲养场的总面积最大. 

    image.png

    解析:设小矩形长为$x$,则宽为$\frac{1-4 x}{6}$,饲养场的总面积为$y$,则有$y=3 x \cdot \frac{1-4 x}{6}=-2 x 2+\frac{1}{2} x$时,$y$有最大值,此时宽为 $\frac{1}{12}$,故每个矩形的长宽之比为3∶2时,围成的饲养场的总面积最大.

    答案:3∶2

  • 3.分段函数模型

    有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不相同,此时我们可以利用分段函数模型来进行刻画.由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.

    名师点拨

    1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏;

    2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集;

    3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.

    【做一做3】 已知A,B两地相距150 km.某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地.把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数表达式是(  )

    A.$x=60 t$

    B.$x=60 t+50$

    C.$x=\left\{\begin{array}{l}{60 t, 0 \leq t \leq 2.5} \\ {150-50 t, 2.5 < t \leq 3.5}\end{array}\right.$

    D.$x=\left\{\begin{array}{l}{60 t, 0 \leq t \leq 2.5} \\ {150,2.5 < t \leq 3.5} \\ {150-50(t-3.5), 3.5 < t \leq 6.5}\end{array}\right.$


    解析:如图,

    1558598158610863.png

    汽车离开A地的距离x(km)与时间t(h)之间的关系式是

    $x=\left\{\begin{array}{l}{60 t, 0 \leq t \leq 2.5} \\ {150,2.5 < t \leq 3.5} \\ {150-50(t-3.5), 3.5 < t \leq 6.5}\end{array}\right.$

重难点
  • 一、数学建模的一般步骤

    剖析:数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.

    识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向;

    析模就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键词,化简、转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量;

    建模是通过数学符号化,把问题转化为数学模型的过程;

    解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解;由于应用问题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的模型也有局限性,最后要对模型的解检验,或取或舍,或重新修正模型,直到满意为止.

    归纳总结

    实际问题的解决步骤还可以用下面的口诀表述:

    (1)收集数据,画图提出假设;

    (2)依托图表,理顺数量关系;

    (3)抓住关键,建立函数模型;

    (4)精确计算,求解数学问题;

    (5)回到实际,检验问题结果.

  • 二、教材中的“思考与讨论”

    对例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明.

    剖析:“客房问题”反映的规律性在实际中有很多典例,实际归结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的“调价问题”与其类似,其模型为:

    当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每提高m元,则销售量减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高?

    设将商品售价提高x个m元,则总收入为$y=(b+x m) \cdot(a-x n) \\ =-m n x^{2}+(a m-b n) x+a b$

    它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值.

例题解析
  • 题型一、一次函数模型的应用

    【例1】 某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元,设甲地调运x台至B地,该公司运往A地和B地的总运费为y元.

    (1)求y关于x的函数关系式;

    (2)若总运费不超过1 000元,则有几种调运方案?

    (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.

    反思

    通过对本题的求解,我们可得到以下启发:

    (1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.本题涉及电脑台数与运费的关系,解答的关键在于表示出运往A,B两地的电脑台数;

    (2)根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注自变量的取值范围,如本题中0≤x≤6,且x∈N;

    (3)本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题.

    【变式训练1】 某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,现计划用这两种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L型号的校服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产M型号的校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为y(单位:元).

    (1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;

    (2)该厂在生产这批校服时,当M型号的校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?

  • 题型二、二次函数模型的应用

    【例2】 一位篮球运动员在距篮下4 m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度为3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.

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    (1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式;

    (2)该篮球运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?

    反思

    解这类问题一般分为以下四个步骤:

    (1)建立适当的平面直角坐标系(若题目中给出,不用重建).

    (2)根据给定的条件,找出抛物线上已知的点,并写出坐标.

    (3)利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式.①当已知三个点的坐标时,可用一般式$y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$求其解析式;②当已知顶点坐标为$(h, k)$和另外一点的坐标时,可用顶点式$y=a(x-h)^{2}+k(a \neq 0)$求其解析式;③当已知抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为$\left(x_{1}, 0\right),\left(x_{2}, 0\right)$时,可设$y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)(a \neq 0)$求其解析式.

    (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标,从而使问题得到解决.

    【变式训练2】 某商场购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(单位:件)是价格x(单位:元/件)的一次函数.

    (1)试求y与x之间的函数关系式;

    (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)

  • 题型三、分段函数模型的应用

    【例3】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定在该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销售量Q(单位:百件)与销售价格P(单位:元)之间的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.

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    (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润余额最大?并求最大余额.

    (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

    反思

    1.本题经过了三次建模:(1)根据月销量与销售价格之间的关系图建立Q与P的函数关系;(2)建立利润余额函数;(3)建立脱贫不等式.

    2.本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下解决的问题发生变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,因此分段函数应用很广泛.

    3.在构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理,不漏不重.

    【变式训练3】 某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格p=50-|x-6|(单位:元/百斤).一农户在第x天(1≤x≤20)农产品A的销售量q=40+|x-8|(单位:百斤).

    (1)求该农户在第7天销售农产品A的收入;

    (2)问:这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?

  • 题型四、易错辨析

    易错点:忽视问题中变量的实际意义致误

    【例4】 如图所示,在矩形$ABCD$中,已知$A B=a, B C=b(a>b)$,在$AB,AD,CB,CD$上分别截取$AE=AH=CF=CG=x(x>0)$,设四边形$EFGH$的面积为$y$.

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    (1)写出四边形$EFGH$的面积$y$与$x$之间的函数关系式;

    (2)求当$x$为何值时,$y$取得最大值,最大值是多少?

    反思

    对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束,看似一个细节失误,它将会造成严重问题.例如,本题就直接造成了第(2)问的错误解法,因此大家不要因小失大.

    【变式训练4】 用一根长为12 m的细铁丝围成一个矩形,要求围成的矩形的长边与短边之比最小为2.求围成矩形的最大面积.

  • 真题

    1一段导线,在0 ℃时的电阻为2欧,温度每增加1 ℃,电阻增加0.008欧,那么电阻R(单位:欧)表示为温度t(单位:℃)的函数关系式为(  )

    A.R=0.008t

    B.R=2+0.008t

    C.R=2.008t 

    D.R=2t+0.008

    2一等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解析式为(  )

    A.y=20-2x(x≤10)

    B.y=20-2x(x < 10)

    C.y=20-2x(5≤x≤10)

    D.y=20-2x(5 < x < 10)

    3某电子产品的利润y(单位:元)关于产量x(单位:件)的函数解析式为$y=-3 x^{2}+90 x$,要使利润获得最大值,则产量应为(  )

    A.15件  B.30件  C.45件  D.90件

    4下表是某工厂产品的销售价格表:

    一次购买/

    1~10

    11~50

    51~100

    101~300

    300以上

    每件价格/

    37

    32

    30

    27

    25

     某人有现金10 000元,则最多可购买这种产品______件. 

    5已知直角梯形$ABCD$,如图①所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,$\triangle A B P$的面积为$f(x)$.如果函数$y=f(x)$的图象如图②所示,那么$\triangle A B C$的面积为______。 

    6某工厂生产某种机器的固定成本为0.5万元,但每生产100台这样的机器需再增加可变成本0.25万元.据市场调研分析,此种机器的年需求量为500台,销售的收入函数为$R(x)=5 x-\frac{1}{2} x 2(0 \leq x \leq 5)$(单位:万元),其中x是产品售出的数量(单位:百台).

    (1)把利润表示为年产量的函数.

    (2)年产量为多少时,该工厂所得利润最大?

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