对数函数

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.
2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象.
3.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系.
4.熟练掌握对数函数的图象和性质.
知识点
  • 1.对数函数的定义

    函数$y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1, x>0)$称为对数函数,其中x是自变量.

    名师点拨

    1.对数函数也采取形式化的定义方式,即形如$y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1, x>0)$的函数叫做对数函数.对数函数的解析式具有以下特征:对数符号前面的系数等于1;对数的底数必须是大于0且不等于1的实数;对数的真数仅为自变量x.

    2.对数函数的解析式中其底数与指数函数解析式中的底数在范围上是一样的,即$a>0$,且$a \neq 1$.

    3.由对数函数的定义可知,对数函数与指数函数的定义域和值域恰好互换.

    【做一做1-1】 给出以下函数:①$y=-\log _{3} x$;②$y=\log _{\sqrt{3}} x$;④$y=\log _{x} 4$;⑤$y=\log _{2}(x-2)$;⑥$y=\log _{2}(4 x)$.其中是对数函数的是_________.(填序号)

    解析:只有②$y=\log _{\sqrt{3}} x$符合对数函数的定义,其余均不是对数函数.

    答案:②

  • 2.对数函数的图象与性质

     

    $a>1$

    $0 < a < 1$

    图象

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    性质

    定义域:$(0,+\infty)$

    值域:$R$

    过点$(1,0)$,即当$x=1$时,$y=0$

    当$x \in(0,1)$时,y<0

    当$x \in(1,+\infty)$时,y>0

    当$x \in(0,1)$时,$y>0$

    当$x \in(1,+\infty)$时,y<0

    $(0,+\infty)$上是增函数

    $(0,+\infty)$上是减函数

    归纳总结
    1.对数函数的图象都经过定点$(1,0)$是因为不论a取何值,总有$\log _{a} 1=0$.对于函数$y=\log _{a} f(x)+b(a>0, a \neq 1)$,若令$f(x)=1$,解得$x=x_{0}$,则该函数图象一定经过定点$\left(x_{0}, b\right)$.

    2.函数$y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$与$y=\log _{\frac{1}{a}} x(a>0, a \neq 1)$的图象关于x轴对称,这是因为$y=\log _{\frac{1}{a}} x=-\log _{a} x$.

    3.设$y_{1}=\log _{a} x, y_{2}=\log _{b} x$其中$a>1, b>1$(或$0 < a < 1,0 < b < 1 )$.

    当$x>1$时,“底大图低”,即若$a>b$,则$y_{1} < y_{2}$;

    当$0 < x < 1$时,“底大图高”,即若$a>b$,则$y_{1}>y_{2}$.

    4.对于对数函数$y=\log _{a} x$,当$y=1$时,$x=a$,而$a$恰好又是对数函数的底数,这就启发我们,不妨作直线$y=1,$它与对数函数的图象相交,交点的横坐标恰好就是对数函数的底数,用这种办法可以快速地比较出多个对数函数的底数的大小.

    【做一做2-1】 下列函数中,在区间$(0,+\infty)$不是增函数的是(  )

     A. $y=5^{x} \qquad$ B. $y=\lg x+2$

    $\mathrm{C} . y=x^{2}+1 \qquad \mathrm{D} . y=\log _{\frac{1}{2}} x$

    答案:D

    【做一做2-2】 函数$f(x)=\left|\log _{2} x\right|$的图象是(  )

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    解析:$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\log _{2} x, x \geq 1} \\ {-\log _{2} x, 0 < x < 1}\end{array}\right.$只需把函数$y=\log _{2} x$的图象在$x$轴下方的部分翻折到$x$轴上方即可.

    【做一做2-3】 若$a>0$,且$a \neq 1$,则函数$y=\log _{a}(x-1)-1$的图象恒过点_________. 

    解析:由函数$y=\log _{a} x$的图象恒过点$(1,0)$可知,

    当$x-1=1$,即$x=2$时,$y=-1.$

重难点
  • 一、底数对对数函数图象的影响

    剖析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数$y=\log _{2} x$及$y=\log _{3} x$的图象,如图所示,可以看出,底数越大,图象越靠近$x$轴.同理,当$0 < a < 1$时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同,对数不等时比较底数大小的问题.

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    类似地,在同一平面直角坐标系中分别作出$y=\log _{a} x(a>1)$及$y=\log _{a} x(0 < a < 1)$的图象.如图所示,它们的图象在第一象限的规律是:直线x=1把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由左向右逐渐增大.例如,$C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$分别对应

    $y=\log _{a_{1}} x_{2} y=\log _{a_{2}} x, y=\log _{a_{3}} x_{t} y=\log _{a_{4}} x$则必有$a_{4}>a_{3}>1>a_{2}>a_{1}>0$

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  • 二、比较对数值大小的方法总结

    剖析:利用对数函数的性质可以比较两个对数的大小,常用的方法是:当底数相同真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较,即当$a>1$时,在$(0,+\infty)$上是增函数,当$0 < a < 1$时,在$(0,+\infty)$上是减函数;当底数不相同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律进行比较;当底数和真数各不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,通过第三个数的传递进而比较出两个对数的大小.当底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

    对于多个对数的大小比较,通常先找出$(-\infty, 0),(0,1),(1,+\infty)$中的各数,然后把位于同一区间中的数进行比较.

  • 三、函数$y=\left|\log _{a} x\right|(a>0, a \neq 1)$与$y=\log _{a}|x|(a>0, a \neq 1)$的图象与性质

    剖析:(1)函数$y=\left|\log _{a} x\right|(a>0, a \neq 1)$的图象与性质

     

    $a>1$1

    $0 < a < 1$

    图象

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    image.png

    定义域

    $(0,+\infty)$

    值域

    $[0,+\infty)$[0,+)

    单调性

    在$(0,1)$上单调递减,在$(1,+\infty)$上单调递增


    (2)函数$y=\log _{a}|x|(a>0, a \neq 1)$的图象与性质  

     

    $a>1$

    $0 < a < 1$

    图象

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    image.png

    定义域

    $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$

    值域

    $R$

    单调性

    在$(-\infty, 0)$内单调递减

    在$(0,+\infty)$内单调递增

    在$(-\infty, 0)$内单调递增

    在$(0,+\infty)$内单调递减

    奇偶性

    偶函数

  • 四、教材中的“?”

    对数函数$y=\log _{a} x(a>0$,且$a \neq 1 )$,当$a>1, x$取何值时,$y>0 ? x$取何值时,$y < 0 ? 0 < a < 1$呢?

    剖析:结合对数函数的图象可知,

    当$a>1$时,若$x>1$,则y>0;若$0 < x < 1$,则$y < 0$.

    当$0 < a < 1$时,若$x>1$,则y < 0;若$0 < x < 1,$则$y>0$

    实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值$y=\log _{m} n$有以下规律:

    (1)当$(m-1)(n-1)>0$,即m,n的取值范围相同(相对于“1”而言)时,$\log _{m} n>0$;

    (2)当$(m-1)(n-1) < 0$,即m,n的取值范围相反(相对于“1”而言)时,$\log _{m} n < 0$有了以上规律,我们再判断对数值的正负就很简单了.

    如$\log _{\frac{1}{2}} 3 < 0, \log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{5} > 0, \log _{5} \pi>0$等,一看便知结果.

例题解析
  • 题型一 有关对数函数的定义域、值域的问题

    【例1】 求下列函数的定义域:

    $(1) y=\log _{2}(x-1)+\log _{2}(x+1)$

    (2) $y=\frac{\lg (6-x)}{x-2}$

    (3) $y=\sqrt{\log _{4} x-2}$

    (4) $y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}(x+1)+2}$

    分析:按照求函数定义域的基本要求以及对数式中“真数大于0”这一限制条件,列不等式组求解.

    反思

    根据解析式,求与对数有关的函数的定义域,除了我们以前知道的限制条件外,还要注意对数的底数大于0不等于1,真数大于0.

    【变式训练1】 求下列函数的定义域:

    $(1) f(x)=\log 2 \frac{1}{4 x-3} ; \\ (2) f(x)=\log _{\frac{1}{3}}(2 x-1)+\frac{1}{\log _{2} x} ;(3) f(x)=$

    $\sqrt{\log _{\frac{1}{3}}(2 x-1)}$

    【例2】 求函数$y=\log _{2}\left(x^{2}+2 x+5\right)$的值域.

    分析:先对真数配方,再利用对数函数的单调性求解.

    【变式训练2】 求下列函数的值域:

    $(1) f(x)=\log _{3}(2 x-1), x \in[2,14]$

    $(2) f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(3+2 x-x^{2}\right)$

  • 题型二 利用对数函数的性质比较大小

    【例3】 比较大小:

    $(1) \log _{0.2} 7$与$\log _{0.2} 9$;

    $(2)(\lg m)^{1.9}$与$(\lg m)^{2.1}(m>1)$;

    $(3) \log _{8} 5$与$\lg 4$.

    反思
    本例中(1)小题是直接利用对数函数的单调性;(2)小题是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用;(3)小题是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时,需要找出中间量来“搭桥”,再利用对数函数的单调性求解.常用的中间量有0,1,2等,可通过估算加以选择.

    【变式训练3】 (1)比较大小:$\log _{3} 2, \log _{\frac{1}{5}} 3, \log 2 \sqrt{5}$

    (2)若$\log _{a} 4 < 1$,求实数$a$的取值范围.

  • 题型三 对数函数图象的应用

    【例4】 画出函数$y=\log _{2} x^{2}$的图象,并根据图象指出它的单调区间.

    分析:先对函数的定义域及奇偶性进行探索,再画图象研究函数的单调区间.

    反思

    作图象时一定要考虑函数的定义域,否则会求出错误的单调区间.同时在确定单调区间时,要注意单调区间的分界点,特别要注意区间的开与闭.

    【变式训练4】 画出函数$f(x)=\left|\log _{3} x\right|$的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间$\left[\frac{1}{9}, 6\right]$上的最大值.

    【例5】 画出函数$y=\left|\log _{2}(x+1)\right|+2$的图象.

    分析:可先画出它的基本函数的图象,再做适当的变换

    反思
    含有绝对值的函数的图象可通过对称变换得到,一般地,$y=f(|x-a|)$的图象是关于直线$x=a$对称的轴对称图形;函数$y=|f(x)|$的图象与$y=f(x)$的图象,在$f(x) \geqslant 0$时相同,而在$f(x) < 0$时,关于$x$轴对称.

    【变式训练5】 函数$f(x)=\log 4 \frac{1}{x}$的图象大致是(  )

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  • 题型四 求复合函数的单调区间

    【例6】 已知函数$f(x)=\log _{2}\left(3 x^{2}-2 x-1\right)$,试确定$f(x)$的单调递增区间.

    分析:根据复合函数单调性的知识可知,要使$f(x)$为增函数,则内、外层函数的单调性一致.因为2>1,所以$y=\log _{2} x$为增函数,故只需求函数$y=3 x^{2}-2 x-1$的单调递增区间即可,但不能忽略函数的定义域.

    反思
    求复合函数的单调区间的步骤:(1)求出函数的定义域;(2)将复合函数分解为初等函数;(3)分别确定各个初等函数的单调性;(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.

    【变式训练6】 在例6中,若函数$f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(-3 x^{2}+2 x+1\right)$,再确定$f(x)$的单调递增区间.

  • 题型五 易错辨析

    易错点:忽视对底数的分类讨论致误

    【例7】 解不等式$\log _{a}(2 x-5)>\log _{a}(x-1)(a>0, a \neq 1)$.

    反思
    平时同学们做题难免出错,但要查找原因,从错误中汲取经验,才能对知识的理解更加完善.

    【变式训练7】 若函数$f(x)=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$在区间$\left[\frac{a}{2}, 2 a\right]$上的最大值与最小值之差等于2,求$a$的值.

  • 真题

    1.函数$f(x)=\lg (2 x-1)$的定义域是(  )

    A. $\left[\frac{1}{2},+\infty\right) \quad$ B. $\left(\frac{1}{2},+\infty\right) \qquad$ C. $[1,+\infty)$ $\mathrm{D} \cdot(1,+\infty)$

    2.设$a=\log _{3} \pi, b=\log _{7} 6, c=\log _{2} 0.8$,则(  )

    $A . a>b>c \qquad \\ B . b>a>c \quad \\ C . c>a>b \quad \\ D . b>c>a$

    3.设$0 < x < 1$且有$\log _{a} x<\log _{b} x < 0$,则$a, b$的大小关系是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } 0 < a < b < 1} & {\text { B.l } < a < b} \\ {\text { C. } 0 < b < a < 1} & {\text { D. } 1 < b < a}\end{array}$

    4对数函数$y=\log _{a} x$在$a$取不同的值时的图象如图所示,已知$a$的值分别取$\sqrt{3}, \frac{4}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{10}$,则相应于$C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$的$a$值依次是 (  )

    image.png

    A. $\sqrt{3}, \frac{4}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{10}$

    B. $\sqrt{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{10}, \frac{3}{5}$

    C. $\frac{4}{3}, \sqrt{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{10}$

    D. $\frac{4}{3}, \sqrt{3}, \frac{1}{10}, \frac{3}{5}$

    5.函数$f(x)=\log _{a}(4 x-7)-3(a>0, a \neq 1)$的图象一定经过定点_________.

    6.求函数$y=f(x)=-\left(\log _{\frac{1}{2}} x\right)^{2}-\log _{\frac{1}{4}} x+5$在$2 \leq x \leq 4$范围内的最值. 

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