对数及其运算
2.知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用.
1.对数的概念
(1)如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即$a^{b}=N$,那么数b称为以a为底N的对数,记作$b=\log _{a} N(a>0$,且$a \neq 1$),其中a叫做对数的底数,N叫做真数;
(2)以10为底的对数叫做常用对数,即$\log _{10} N$,记作$\lg N$;
(3)以无理数$\mathrm{e}(\mathrm{e}=2.71828 \ldots)$为底的对数叫做自然对数,即$\log _{\mathrm{e}} N$,记作$\ln N$.
名师点拨指数式和对数式的关系如图所示:
对数式$\log _{a} N(a>0$,且$a \neq 1$)可看作一记号,表示关于x的方程$a^{x}=N(a>0$,且$a \neq 1$)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1)的幂为N,求幂指数的运算,因此对数式$\log _{a} N$又可看作幂运算的逆运算.
【做一做1-1】 如果$a^{\frac{1}{2}}=b(a>0$,且$a \neq 1$),则( )
A.$\log a \frac{1}{2}=b$ B.$\log _{a} b=\frac{1}{2}$
C.$\log _{\frac{1}{2}} a=b$ D.$\log _{\frac{1}{2}} b=a$
答案:B
【做一做1-2】 若$\log _{4} x=\frac{1}{2}$,则( )
A.$4^{x}=\frac{1}{2}$ B.$x^{\frac{1}{2}}=4$
C.$x ^{4}=\frac{1}{2}$ D.$4^{\frac{1}{2}}=x$
答案:D
2.对数的性质
(1)0和负数没有对数.
(2)$\log _{a} 1=0$(a>0,且a≠1).
(3)$\log _{a} a=1$(a>0,且a≠1).
(4)对数恒等式:$a^(log_a N)=N$(a>0,且a≠1).
名师点拨在对数$a^{\log _{a} N}=N$中,规定真数N>0.这是由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而$a^{b}=N>0$,故要求对数的真数必须大于0.
【做一做2-1】 式子$4^{\log _{4} 3}$的值是( )
A.$\sqrt{3}$ B.$\frac{1}{3}$ C.$\sqrt[3]{3}$ D.3
答案:D
【做一做2-2】 若$\log _{3}\left(\log _{2} x\right)=0$,则x=_______.
解析:由已知得$\log _{2} x=1$,故x=2.
答案:2
3.积、商、幂的对数的运算法则
$a>0, a \neq 1, M>0, N>0$
运算
数学表达式
自然语言
积的
对数
$\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N$
$\log _{a}\left(N_{1} N_{2} \ldots N_{k}\right)=$
$\log _{a} N_{1}+\log _{a} N_{2}+\ldots+\log _{a} N_{k}$
$\left(N_{i}>0, i=1,2, \ldots, k\right)$
正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和
商的
对数
$\log a \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}=\log _{a} M-\log _{a} N$
两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数
幂的
对数
$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in \mathbf{R})$
正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数
名师点拨1.应用公式时需要注意法则的适用范围,并且公式可以正用、逆用和变形用.
2.当心记忆错误:$\log _{a}(M N) \neq \log _{\alpha} M \cdot \log _{\alpha} N, \\ \log _{\alpha}(M \pm N) \neq \log _{\alpha} M \pm \log _{\alpha} N$.
3.虽然$\log _{a}(M+N) \neq \log _{a} M+\log _{a} N$,但并不是说$\log _{a}(M+N)$与$\log _{a} M+\log _{a} N$一定不相等,对于某些$M,N$的取值,$\log _{a}(M+N)=\log _{a} M+\log _{a} N$是成立的.例如,当$M=2, N=2$时,$\log _{a}(2+2)=\log _{a} 2+\log _{a} 2=\log _{a} 4$.
【做一做3-1】 对于a>0,a≠1,下列说法中正确的是 ( )
①若M=N,则$\log _{a} M=\log _{a} N$;
②若$\log _{a} M=\log _{a} N$,则M=N;
③若$\log _{a} M^{2}=\log _{a} N^{2}$,则M=N;
④若M=N,则$\log _{a} M^{2}=\log _{a} N^{2}$.
A.①③ B.②④
C.② D.①②③④
解析:
在①中,当$M=N \leqslant 0$时,$\log _{a} M$与$\log _{a} N$无意义,故①不成立;
在②中,当$\log _{a} M=\log _{a} N$时,必有$M=N>0$成立,故②成立;
在③中,当$\log _{a} M^{2}=\log _{a} N^{2}$时,有$M \neq 0, N \neq 0$,且$M^{2}=N^{2}$,即$|M|=|N|$,但未必有$M=N$.例如,当$M=2, N=-2$时,有$\log _{a} M^{2}=\log _{a} N^{2}$,但$M \neq N$,故③不成立;
在④中,当$M=N=0$时,$\log _{a} M^{2}$与$\log _{a} N^{2}$均无意义,故④不成立.
答案:C
【做一做3-2】 计算各式的值:
(1)$\lg 300-\lg 3$;
(2)$\ln \sqrt{e}$.
解:(1)$\lg 300-\lg 3=\lg \frac{300}{3}=\lg 100=2$;
(2)$\ln \sqrt{\mathrm{e}}=\ln \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \ln \mathrm{e}=\frac{1}{2}$.
4.对数的换底公式
一般地,我们有$\log _{b} N=\frac{\log _{a} N}{\log _{a} b}(a>0, a \neq 1, b>0, b \neq 1, N>0)$,这个公式称为对数的换底公式.
通过换底公式可推导出两个重要的结论:
(1)$\log _{a} b \cdot \log _{b} a=1(a>0, a \neq 1, b>0, b \neq 1)$;
(2)$\log _{a^{m}} b n=\frac{n}{m} \log _{a} b(a>0, a \neq 1, b>0, m \neq 0)$.
名师点拨1.在换底公式中,所换的新底数可以是大于0且不等于1的任意实数;
2.如果不做特殊要求,那么一般换底都换成常用对数.
【做一做4】 已知$\lg 2=a, \lg 3=b$,用a,b表示$\log _{12} 5=$_______.
解析:$\log _{12} 5=\frac{\lg 5}{\lg 12}=\frac{1-\lg 2}{\lg 3+2 \lg 2}=\frac{1-a}{2 a+b}$.
答案:$\frac{1-a}{2 a+b}$
一、解读对数的定义
剖析:(1)对数式$x=\log _{a} y$是指数式$y=a^{x}$的另一种表达形式,
其本质相同.对数式中的真数y就是指数式中的函数值y,而对数x是指数式中的指数x,对数式与指数式的关系如图所示.
(2)对数$x=\log _{a} y$中,规定a>0,且a≠1的原因.
①若a < 0,则y为某些数值时,x不存在,如$(-2)^{x}=3$没有实数解,即$\log _{(-2)} 3$不存在,为此,规定a不能小于0;
②若$a=0$,则当$y \neq 0$时,$\log _{a} y$不存在;当$y=0$时,$\log _{a} 0$有无数个值,不能确定,为此,规定$a \neq 0$;
③若$a=1$,则y不为1时,$x$不存在,如$\log _{1} 2$不存在;而当$a=1,y=1$时,$x$可以为任何实数,不能确定,为此,规定$a \neq 1$.
归纳总结指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表:
式子
名 称
a
x
N
指数式
$a^{x}=N$
底数
指数
幂值
对数式
$x=\log _{a} N$
底数
对数
真数
二、对性质$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M$的延伸
剖析:式子$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M$表明指数可以拿到前面,但对$\log _{a} m M$而言是否有$\log _{a^{m}} M=m \log _{a} M$成立呢?答案是否定的,应为$\log _{a} m M=\frac{1}{m} \log _{a} M$.
证明如下:令$\log _{a} M=x$,则$a^{x}=M$.
故 $\frac{1}{m} \log _{a} M=\frac{1}{m} x$.
而$\log _{a} m M=\log _{a^{m}} a x=x \log _{a^{m}} a \\ =x \log _{a^{m}}(a m)^{\frac{1}{m}}=\frac{1}{m} x$
故$\log _{a} m M=\frac{1}{m} \log _{a} M$.
$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M$与$\log _{a^{m}} M=\frac{1}{m} \log _{a} M$的结合使进行对数运算时更加简便快捷,同时也提醒我们在进行对数运算过程中,如果运算性质不能直接运用时,可以通过先化成指数式,变形后再化成对数式的方法达到计算的目的.
这两个公式可以合写为$\log _{a^{m}} M n=\frac{n}{m} \log _{a} M$.
题型一、对数式与指数式的互化
【例1】 已知$\log _{a} x=4, \log _{a} y=5(a>0$,且$a \neq 1 )$,求$A=\left(x \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{x^{-1}}}{y^{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}$的值.
反思
1.把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变为对数式中的真数.
2.在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数大于0.
3.注意常用对数与自然对数的表示方法.
【变式训练1】 下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( )
A.$10^{0}=1$与$\lg 1=0$
B.$27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$ 与$\log _{2} 7 \frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$
C.$\log _{3} 9=2$与$9^{\frac{1}{2}}=3$
D.$\log _{5} 5=1$与$5^{1}=5$
题型二、对数基本性质的应用
【例2】
(1)若$\log _{3}(\lg x)=1$,则x=_______;
(2)$\left(\frac{1}{25}\right)^{\log _{5} 3}=$________;
(3)$4^{\frac{1}{2}\left(\log _{2} 9-\log _{2} 5\right)}=$________.
【变式训练2】 (1)若$\log _{2}\left[\log _{3}\left(\log _{5} x\right)\right]=0$,则x=_______.
(2)$3^{2-\log _{3} 6}=$_______.
题型三、对数运算法则的应用
【例3】 计算下列各式的值.
(1)$(\lg 2)^{2}+\lg 5 \cdot \lg 2+\lg 5$;
(2)$\frac{1}{2} \lg \frac{32}{49}-\frac{4}{3} \lg \sqrt{8}+\lg \sqrt{245}$.
反思
利用对数运算性质化简或计算时,注意以下几点:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差);
(3)对真数中含有多重根号的对数式的化简,应从内到外逐层化简;
(4)对于常用对数的化简,要充分利用“$\lg 2+\lg 5=1$”,“$\lg 2=1-\lg 5$”,“$\lg 5=1-\lg 2$”来解题.
【变式训练3】 求下列各式的值:
(1)$\log 2 \sqrt{\frac{7}{48}}+\log 212-\log 2 \sqrt{42}$;
(2)$\lg 25+\frac{2}{3} \lg 8+\lg 5 \cdot \lg 20+(\lg 2)^{2}$.
题型四、对数换底公式的应用
【例4】 已知$\log _{2} 3=a, 3^{b}=7$,用含$a,b$的式子表示$\log _{12} 56$.
【变式训练4】 (1)计算:①$\log _{16} 4 \sqrt{2}$;②$\frac{\log _{27} 16}{\log _{3} 4}$;
(2)已知$\lg 2=a, \lg 3=b$,试用$a,b$表示$\log _{3} 24$.
题型五、易错辨析
易错点:忽视对数的底数与真数的条件致错
【例5】 已知$\log _{(x+3)}\left(x^{2}+3 x\right)=1$,求实数$x$的值.
反思由对数的定义可知,对数$\log _{a} N$的底数$a>0$,且$a \neq 1$,真数$N>0$,因此我们在解题时一定要注意这些限制条件,若忽视了这些条件,则很容易出错.
【变式训练5】 已知$\lg x+\lg y=2 \lg (x-2 y)$,求$\log 2 \frac{x}{y}$ 的值.
真题
1有下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以$a(a>0$,且$a \neq 1 )$为底1的对数等于0;
④以3为底9的对数等于$\pm 2$;
⑤$3^{\log _{3}(-5)}=-5$成立.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2若$a>0, a \neq 1, x>0, y>0, x>y$,下列式子中正确的个数是( )
①$\log _{a} x \cdot \log _{a} y=\log _{a}(x+y)$
②$\log _{a} x-\log _{a} y=\log _{a}(x-y)$
③$\log a \frac{x}{y}=\log _{a} x \div \log _{a} y$
④$\log _{a} x y=\log _{a} x \cdot \log _{a} y$
A.0 B.1 C.2 D.3
3计算$(\sqrt{2}-1)^{0}+(\sqrt{8})^{-\frac{4}{3}}+\lg 20-\lg 2 \\ -\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 2+2^{\log _{2} \frac{3}{4}}=$
_____.4计算$2 \log _{2} 10+\log _{2} 0.04=$_______.
5已知$3^{x}=4^{y}=36$,求 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$ 的值.