高中数学网幂函数
2.结合函数$y=x_{2} y=x^{2}, y=x^{3}, y=\frac{1}{x^{\prime}} y=x^{\frac{1}{2}}$ 的图象,了解它们的简单性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如$y=x^{\alpha}(\alpha \in \mathbf{R})$的函数称为幂函数,其中$x$为自变量,$\alpha$为常数.
关于定义的理解:
①幂的底数是自变量;
②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;
③幂值前面的系数是1,否则不是幂函数;
④幂函数的定义域是使$x^{\alpha}$有意义的所有x的集合,因$\alpha$的不同,定义域也不同.
名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即$x^{\alpha}$的系数为1,指数位置的$\alpha$为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件的均可.
【做一做1-1】 下列函数是幂函数的是( )
A. $y=3 x^{2}$ $\mathrm{B} \cdot y=x^{2}+1$ $\mathrm{C} . y=-\frac{1}{x} \quad \mathrm{D} \cdot y=x^{\pi}$
解析:幂函数必须符合$y=x^{\alpha}(\alpha$为常数)的形式.
答案:D
【做一做1-2】 若函数$y=\left(k^{2}-k+1\right) x^{3}$是幂函数,则实数k的值是( )
A.0 B.1
C.0或1 D.$k \neq 0$,且$k \neq 1$
解析:由幂函数的定义可知$k^{2}-k+1=1$，解得$k=0$或$k=1$.
2.函数$y=x, y=x^{2}, y=x^{3}, y=x^{\frac{1}{2}} y=x^{-1}$的图象与性质
$y=x$
$y=x^{2}$
$y=x^{3}$
$y=\mathrm{x}^{\frac{1}{2}}$
$y=x^{-1}$
图象
定义域
$R$
$R$
$R$
$[0,+\infty)$
$(-\infty, 0) \\ \cup(0,+\infty)$
y=x
$y=x^{2}$
$y=x^{3}$
$y=x^{\frac{1}{2}}$
$y=x^{-1}$
值域
R
$[0,+\infty)$
R
$[0,+\infty)$
$(-\infty, 0) \\ \cup(0,+\infty)$
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在$(0,+\infty)$为增函数,
在$(-\infty, 0)$为减函数
增
增
在(0,+∞)为减函数,
在(-∞,0)为减函数
定点
(0,0),
(1,1)
$(0,0) \\ ,(1,1)$
$(0,0) \\ ,(1,1)$
$(0,0) \\ ,(1,1)$
$(1,1)$
已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断幂函数$y=x^{\alpha}$的单调性时,通常借助其指数$\alpha$的符号来分析.
【做一做2-1】 函数$y=x^{\frac{5}{3}}$的图象大致是( )
解析:$y=x^{\frac{5}{3}}$ 为奇函数,排除选项D,
因为 $\frac{5}{3}>1$,
所以函数图象应为选项$B$的图象.
答案:B
【做一做2-2】 下列函数中既是偶函数,又在$(-\infty, 0)$上是增函数的是( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } y=x^{\frac{4}{3}}} & {\text { B.y }=x^{\frac{3}{2}}} \\ {\text { C. } y=x^{-2}} & {\text { D. } y=x^{\frac{1}{4}}}\end{array}$
答案:C
【做一做2-3】 当$\alpha \in\left\{-1, \frac{1}{2}, 1,3\right\}$时,幂函数$y=x^{\alpha}$的图象不可能经过第_________象限.
解析:当$\alpha=-1,1,3$时,$y=x^{\alpha}$为奇函数,且当$x>$0时,$y>0$,当$x < 0$时,$y < 0$,不经过第二、四象限.当$\alpha=\frac{1}{2}$ 时,$y=x^{\frac{1}{2}}$,此时图象只在第一象限.
一、详述幂函数的定义和定义域
剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如$y=m x^{\alpha} y=(m x)^{\alpha} y \\ =x^{\alpha}+m \cdot y=(x+m)^{\alpha}$
以上m均为不等于零的常数$)$的函数都不是幂函数,二次函数中只有$y=x^{2}$是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数,尤其要区分开$y=x^{0}$与$y=1$,要知道$y=1$是函数,但不是幂函数;y=x0是幂函数.(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数$\alpha$确定.①当$\alpha$是正整数时,$x \in \mathbf{R}$.②当$\alpha$是正分数时,设$\alpha=\frac{p}{q}(p, q$是互质的正整数$)$,若q是奇数,则$y=x^{\alpha}$的定义域是R;若q是偶数,则$y=x^{\alpha}$的定义域是$[0,+\infty)$.③当指数$\alpha$是负整数时,设$\alpha=-k, x^{\alpha}=\frac{1}{x^{k}}$,则$x \in\{x | x \in \mathbf{R}$且$x \neq 0 \}$.④当指数$\alpha$是负分数时,设$n=-\frac{p}{q}(p, q$是互质的正整数$)$,若$q$是奇数,则定义域为$\{x | x \in \mathbf{R}$,且x≠0};若$q$是偶数,则定义域为$(0,+\infty)$.
二、幂函数的图象与性质
剖析:(1)幂函数的图象
幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.
考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面:
①定义域:有$x \in \mathbf{R}, x \neq 0, x \geqslant 0, x>0$四种情况.
②奇偶性.
③单调性:侧重点在第一象限.当指数$\alpha>0$时,尤其要注意以$(0,0)$和$(1,1)$两点为对角顶点的正方形内部的情况.
④曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况.
(2)幂函数的性质
①所有的幂函数在$(0,+\infty)$都有定义,并且图象都通过点$(1,1)$;
②若$\alpha>0$,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;
③若$\alpha < 0$,则幂函数在区间$(0,+\infty)$上是减函数,在第一象限内,当$x$从右边趋向于原点时,图象在$y$轴右方无限地逼近$y$轴;当$x$趋于$+\infty$时,图象在$x$轴上方无限地逼近$x$轴.
三、教材中的“思考与讨论”
(1)在幂函数$y=x^{\alpha}$中,如果$\alpha$是正偶数$(\alpha=2 n, n)$为非零自然数$)$,如$\alpha=2,4,6, \dots$,这一类函数具有哪些重要性质?
(2)在幂函数$y=x^{\alpha}$中,如果$\alpha$是正奇数$(\alpha=2 n-1, n$为非零自然数$)$,如$\alpha=1,3,5, \ldots$,这一类函数具有哪些重要性质?
(3)幂函数$y=x^{\alpha}, x \in[0,+\infty), \alpha>1$与$0<\alpha < 1$的图象有何不同?
剖析:(1)重要性质:①定义域为$R$,图象都经过$(-1,1),(0,0),(1,1)$三点;②函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在$[0,+\infty)$上为减函数,在$[0,+\infty)$上为增函数.
(2)重要性质:①定义域、值域为R,图象都经过$(-1,1),(0,0),(1,1)$三点;②函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在$R$上单调递增.
(3)两者图象的区别和联系:无论$\alpha>1$还是$0<\alpha < 1$,函数$y=x^{\alpha}$在$[0,+\infty)$上的图象都是单调递增的,但在$[0,1]$上前者比后者增长得慢,在$(1,+\infty)$上前者比后者增长得快.
题型一 幂函数的定义
【例1】(1)下列函数中,是幂函数的是_________.(填序号)
①$y=x^{-3}$;②$y=5 x^{2}$;③$y=x^{2}+2 x$;④$y=(x-1)^{4}$;⑤$y=\frac{1}{x^{2}}$ .
(2)若幂函数$f(x)$的图象经过点$\left(4, \frac{1}{16}\right)$,则$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$的值等于_____.
反思
1.有些函数,形式上不符合幂函数的定义,但经过化简整理后符合幂函数的定义,也是幂函数.例如,$y=\sqrt{x}, y=\frac{1}{x}$等2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数$\alpha$,因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为$f(x)=x^{\alpha}$,根据条件求出$\alpha$.
【变式训练1】 (1)下列函数①$y=x^{2}+1$;②$y=x^{-\frac{1}{2}}$;③$y=2 x^{2}$;④$y=x^{-\frac{2}{3}}$;⑤$y=x^{\frac{1}{3}}+1$.其中是幂函数的是( )
A.①⑤ B.①②③
C.②④ D.②③⑤
(2)若幂函数$y=f(x)$的图象经过点$\left(9, \frac{1}{3}\right)$,则$f(25)=$_________.
题型二 幂函数的图象
【例2】 幂函数$y=x^{a} \cdot y=x^{b} \cdot y=x^{c}, y=x^{a}$在第一象限内的图象如图所示,则$a, b, c, d$的大小关系是( )
A.b $ < c < d < a$
$\mathrm{B} \cdot b < c < a < d$
$\mathrm{C} \cdot a < b < c < d$
D. $a < d < c < b$
【变式训练2】 给出下列一组函数解析式:①$y=x^{3}$;②$y=x^{\frac{3}{2}}$;③$y=x^{-\frac{3}{2}}$;④$y=x^{-\frac{2}{3}}$;⑤$y=x^{\frac{3}{2}}$;⑥$y=x^{-\frac{1}{3}}$;⑦$y=x^{\frac{1}{3}}$,给出下列一组函数的图象.请将每个图象对应的解析式的号码填在图象下面的括号内.
题型三幂函数性质的应用
【例3】 比较下列各组中两个幂值的大小:
$(1)\left(-\frac{2}{3}\right)^{-1}$与$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-1}$
$(2)\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}}$与$\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}}$
分析:(1)借助函数$y=\frac{1}{x}$
(2)借助函数$y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$与$y=x^{\frac{2}{3}}$
反思
解以上例题的关键在于适当选取某一个函数.函数选得恰当,解决问题就简单.【变式训练3】 比较下列各组中两个幂值的大小:
$(1) 3^{-\frac{5}{2}}$ 与$3.1^{-\frac{5}{2}}$;$(2) 8^{-\frac{7}{8}}$ 与$\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}} ;(3)\left(-\frac{2}{3}\right)^{-\frac{2}{3}}$与$\left(-\frac{\pi}{6}\right)^{-\frac{2}{3}}$.
题型四 易错辨析
易错点:忽视幂函数的性质致误
【例4】 若$(a+1)^{-\frac{1}{3}}<(3-2 a)^{-\frac{1}{3}}$,试求$a$的取值范围.
反思通过本题,我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象,并且还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的,不能随便取并集.
【变式训练4】 若$(1-a)^{\frac{1}{2}}<(3 a-2)^{\frac{1}{2}}$,求$a$的取值范围.
真题
1.下列函数是奇函数,且是幂函数的是( )
A. $y=x-1 \qquad$ B. $y=x+x^{3}$
$\mathrm{C.} y=x^{\frac{1}{3}} \qquad$ D. $y=x^{2}$
2.若幂函数的图象过点$(2,4)$,则它的单调递增区间是( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }(2,+\infty)} & {\text { B. }[0,+\infty)} \\ {C(-\infty,+\infty)} & {\text { D. }(-\infty, 0)}\end{array}$
3.下列命题中正确的是( )
A.当$\alpha=0$时,函数$y=x^{a}$的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过$(0,0)$和$(1,1)$
C.若幂函数$y=x^{\alpha}$是奇函数,则$y=x^{0}$是定义域上的增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案:D
4.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )
A.①$y=x^{\frac{1}{3}}$,②$y=x^{2}$,③$y=x^{\frac{1}{2}}$,④$y=x^{-1}$
B.①$y=x^{3}$,②$y=x^{2}$,③$y=x^{\frac{1}{2}}$,④$y=x^{-1}$
C.①$y=x^{2}$,②$y=x^{3}$,③$y=x^{\frac{1}{2}}$,④$y=x^{-1}$
D.①$y=x^{\frac{1}{3}}$,②$y=x^{\frac{1}{2}}$,③$y=x^{2}$,④$y=x^{-1}$
5.比较大小(填“>”或“<”):
$(1)\left(\frac{2}{5}\right)^{0.6}$_______$\left(\frac{1}{3}\right)^{0.6} ;(2)(-\pi)^{3}$_______$(-3)^{3}$.
6.已知幂函数$f(x)=\left(t^{3}-t+1\right) x^{\frac{1}{2}\left(1-4 t-t^{2}\right)}(t \in \mathbf{Z})$是偶函数,且在$(0,+\infty)$上为增函数,求函数$f(x)$的解析式.
