高中数学网平面的基本性质与推论
2.了解异面直线的概念,能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系.
3.能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化.
1.空间点和直线的基本性质
(1)连接两点的线中,线段最短.
(2)过两点有一条直线,并且只有一条直线.
文字语言
图形语言
符号语言
基本
性质1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时就说,直线在平面内或平面经过直线
若$A \in l, B \in l, A \in \alpha, \\ B \in \alpha$,则$l \subset \alpha$
基本
性质2
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面,简称为不共线的三点确定一个平面
若$A,B,C$三点不共线,则有且只有一个平面$\alpha$,使$A \in \alpha, B \in \alpha, C \in \alpha$;
基本
性质3
如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.这条公共直线叫做这两个平面的交线
若$A \in \alpha, A \in \beta$,则$a \cap \beta=l$,且$A \in l$
【做一做1-1】 若点$B$在直线$b$上,$b$在平面$\beta$内,则$B . b . \beta$之间的关系可以记作( )
A. $B \in b . b \in \beta$ B. $B \in b . b \subset \beta$
C. $B \subset b, b \subset \beta \quad \mathrm{D} \cdot B \subset b, b \in \beta$
解析：关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系,直线与平面是集合与集合之间的关系.
答案：B
【做一做1-2】 若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( )
A.1个
B.2个
C.1个或无数个
D.无数个且在同一条直线上
解析：利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.
答案：D
【做一做1-3】 如果直线$a \subset$平面$\alpha$,直线$b \subset$平面$\alpha, M \in a, N \in b$,且$M \in l, N \in l$,那么( )
$\mathrm{A} l \subset \alpha \mathrm{B} . l \subset \alpha$
$\mathrm{C} \cdot l \cap \alpha=M \quad \mathrm{D} . l \cap \alpha=N$
解析：因为$M \in a, N \in b, a, b \subset \alpha$,所以$M, N \in \alpha$,根据基本性质1可知$l \subset \alpha$.故选A.
答案：A
3.平面基本性质的推论
推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
名师点拨基本性质2及其推论中,“有且只有一个”的含义是:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
【做一做2-1】 下列命题正确的是( )
①一条直线和一个点确定一个平面;
②两条相交直线确定一个平面;
③两条平行直线确定一个平面;
④四个点确定一个平面.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②③④
答案：B
【做一做2-2】 由4条平行直线最多可以确定( )
A.2个平面 B.4个平面
C.5个平面 D.6个平面
解析：本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定的平面最多,只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多,从而得到结果.由确定平面的条件知,由4条平行直线最多可以确定6个平面,选D.
答案：D
4.空间两条直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线
在同一平面内
有且只有一个
平行直线
在同一平面内
没有
异面直线
不同在任何一个平面内
没有
【做一做3】 下列说法正确的是( )
A.不相交的直线是平行直线
B.有三个公共点的两个平面必重合
C.两两相交的三条直线必在同一个平面内
D.三角形是平面图形
解析：空间中的异面直线不相交,但不是平行直线,故选项A说法不正确;若三个公共点在一条直线上,则两个平面不一定重合,故选项B说法不正确;两两相交的三条直线可能会经过同一点,此时三条直线不一定在同一个平面内,故选项C说法不正确.故选D.
答案：D
5.异面直线
(1)画法:画两条异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,即不共面的特点,通常采用平面衬托法,以加强直观性,常见的画法如下图.
(2)判断方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
【做一做4】 在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,与棱$A A_{1}$成异面直线的棱有_________条.
答案：4
1.对异面直线的理解
剖析：若直线$a,b$是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过$a,b$两条直线.例如,在如图所示的长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,棱$A B$和$B_{1} C_{1}$所在的直线既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面.
2.平面的基本性质的作用
剖析：(1)基本性质1的作用.
基本性质1给出了判断直线在平面内的方法,引出了直线在平面内的定义,从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形,在每个平面内都可以用初中所学的平面几何知识.另外,该基本性质也是判断点在平面内的方法,还可借此用直线来检验平面.
(2)基本性质2的作用.
作用之一是确定平面,作用之二是可用它来证明点、线共面问题.
(3)基本性质3的作用.
平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征,对我们确定两个平面的交线有着重要的作用.
其一,它是判定两个平面是否相交的依据,也就是说,若两个平面有公共点,则这两个平面相交;其二,它可以证多点共线的问题.若点是某两个平面的公共点,则该点必定在这两个平面的交线上.
3.教材中的“思考与讨论”
已知两条直线相交,过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线,这些平行线是否都共面?为什么?
剖析：都共面,如图所示,$a \cap b=A$,过$b$上任意一点B作$c / / a$,则$a,c$可确定一个平面$\alpha$.
因为$A \in a$,所以$A \in \alpha$.又因为$B \in c$,所以$B \in \alpha$,所以$A B \subset \alpha$,即$b \subset \alpha$.所以$a,b,c$共面.
同理,在$a$上任取一点作b的平行线,这些平行线都与$a,b$共面,所以这些平行线都共面.
文字语言、图形语言和符号语言的转换
【例1】 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述,并且用图形语言予以表示.
$\alpha \cap \beta=l, A \in l, A B \subset \alpha, A C \subset \beta$.
分析：本题实质是数学的三种语言:符号语言、文字语言、图形语言之间的互译.
解文字语言叙述为:点$A$在平面$\alpha$与平面$\beta$的交线$l$上,$A B, A C$分别在$\alpha, \beta$内.
图形语言如图.
反思
1.点、线、面是组成空间图形的基本元素,点是空间图形中最基本的元素,线和面可以看作是点的集合,因此点与线、点与面的关系是元素与集合的关系需用$\in, \notin$等表示;而线与线、线与面、面与面的关系则是集合与集合的关系,所以应该用相关集合的符号$\subset, \not \subset$等来表示空间图形的基本关系.
2.立体几何中通常用大写的英文字母表示点(元素),而用小写的英文字母表示集合,这一点与集合中的表示不同.
3.平面在作图时常用平行四边形表示,当两个平面相交时,被遮住的部分应用虚线表示.当表示两条直线异面时,要借助平面进行适当衬托.
【变式训练1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
$(1) A \in \alpha, B \notin \alpha$
$(2) l \subset \alpha, m \cap \alpha=A, A \in l$
共线问题
【例2】 如图,已知$\triangle A B C$的三边所在的直线分别与平面$\alpha$交于$P, Q, R$三点.
求证:$P, Q, R$三点共线.
分析：证明$P, Q, R$三点均在平面$ABC$与平面$\alpha$的交线上.
反思
证明点共线,可先由两点确定一条直线,再证其他的点也在这一条直线上,也可证明所有点都在一条特定直线(两平面的交线)上.
【变式训练2】 如图,在四面体$A B C D$中,$E, F, G, H$分别是$A B, A D, B C, C D$上的点,且$E F \cap G H=P$,求证:$B, D, P$三点共线.
共面问题
【例3】 如图,已知直线$a$分别与两平行直线$b,c$相交.求证:$a,b,c$三线共面.
分析：先用两平行直线$b,c$确定一个平面,再证明$a$也在这个平面内.
反思
证明共面问题的整体思路是先用部分对象确定一个平面,再证明剩余对象亦在其中.
【变式训练3】 (1)“线段$AB$在平面$\alpha$内,直线$AB$不全在平面$\alpha$内”这一说法是否正确,为什么?
(2)已知$A \in l, B \in l, C \in l, D \in l$(如图),求证:直线$A D, B D, C D$共面.
共点问题
【例4】 三个平面$\alpha, \beta, \gamma$两两相交于三条直线,即$\alpha \cap \beta=c, \beta \cap \gamma=a_{2} y \cap \alpha=b$,若直线$a$和$b$不平行,求证:$a, b, c$三条直线必过同一点.
分析：证明多条直线过同一点,我们可以这样来思考:首先证明其中的两条直线相交,得一个交点,然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点).
反思
证明三线共点的思路是:先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归为点在直线上的问题.
交线问题
【例5】 如图,G是正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的棱$D D_{1}$延长线上一点,$E,F$是棱$AB,BC$的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点$G$及$AC$;
(2)过三点$E, F, D_{1}$.
分析：找两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.
反思
画截面截得正方体的截面图形,关键是利用好公理,找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口.
【变式训练4】 如图,在棱长是a的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$M, N$分别是$A A_{1}, D_{1} C_{1}$的中点,过$D, M, N$三点的平面与正方体的下底面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$相交于直线$l$.
(1)画出交线$l$;
(2)设$l \cap A_{1} B_{1}=P$,求$P B_{1}$的长.
真题
1.如图,该图形用符号语言可表示为( )
$\mathrm{A.} \alpha \cap \beta=m, n \subset \alpha, m \cap n=A$
$\mathrm{B} . \alpha \cap \beta=m, n \in \alpha, m \cap n=A$
$\mathrm{C} \cdot \alpha \cap \beta=m, n \subset \alpha, A \subset m, A \subset n$
$\mathrm{D} . \alpha \cap \beta=m, n \in \alpha, A \in m, A \in n$
2.平面$\alpha \cap \beta=l$,点$A \in \alpha$,点$B \in \alpha$,且$C \notin l$,但$C \in \beta, A B \cap l=R$,如图,过$A,B,C$三点的平面为$\gamma$,则$\beta \cap \gamma$是( )
A.直线$AC$
B.直线$BC$
C.直线$CR$
D.直线$AR$
3.在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,如果$P, Q, R$分别是$A B, A D, B_{1} C_{1}$的中点,那么在正方体中过点$P, Q, R$的截面图形是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
4.如图,请把下面的叙述用符号语言表示出来.
(1)点$A,B$在直线$a$上:_________;
(2)直线$a$在平面$\alpha$内:_________,点$C$在平面$\alpha$内:_________;
(3)点$D$不在平面$\alpha$内:_________,直线$b$不在平面$\alpha$内:_________.
5.如图,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$O$是$BD$的中点,对角线$A C_{1}$与过$A_{1}, B, D$的平面交于点$P$,求证:点$A_{1}, P, O$在同一直线上.
