平面与平面平行
2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.
平面与平面平行
(1)定义:如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平面$\alpha$平行于平面$\beta$,记作$\alpha / / \beta$.
(2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.
(3)性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
结论:两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
名师点拨1.我们可以将面面平行的判定定理和性质定理简单地概括为.
2.两个平面平行的判定定理与性质定理的作用,关键
都集中在“平行”二字上.判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”;性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”,前者给出了判定两个平面平行的一种方法;后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
【做一做1】 下列能得到平面α∥平面$\beta$的是( )
A.平面$\alpha$内有一条直线平行于平面$\beta$
B.平面$\alpha$内有两条直线平行于平面$\beta$
C.平面$\alpha$内有无数条直线平行于平面$\beta$
D.平面$\alpha$内有两条相交直线平行于平面$\beta$
答案:D
【做一做2】 平面$\alpha / /$平面$\beta, \triangle A B C$和$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$分别在平面$\alpha$和平面$\beta$内,若对应顶点连线共点,则这两个三角形_________.
答案:相似
1.证明线线平行、线面平行、面面平行的主要方法
剖析:(1)证明两条直线平行的方法.
①利用空间平行线的传递性:这是判断两条直线平行的重要方法,即寻找第三条直线分别与前两条直线平行;
②利用线面平行的性质:把线面平行转化为线线平行;
③利用两个平面平行的性质:把面面平行转化为线线平行.
(2)证明线面平行的方法.
①利用定义:证明线面无公共点;
②利用线面平行的判定定理:线面平行转化为线线平行,即要证明平面外一条直线和这个平面平行,只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.
③利用面面平行的性质,即两平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行.
(3)证明两个平面平行的方法.
①用面面平行的定义:两个平面没有公共点;
②用面面平行的判定定理:将面面平行转化为线面平行;
③利用面面平行的判定定理的推论,即一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线.
④与同一个平面平行的两个平面平行.
三种平行关系的转化还可表示如下:
2.教材中的“思考与讨论”
(1)以上我们从两条相交直线确定唯一一个平面出发,讨论了两个平面平行的条件.但我们又知道两条平行直线$a,b$也能唯一确定一个平面,让我们平移$a,b$到空间任意确定的位置$a^{\prime}, b^{\prime}$,那么$a^{\prime}, b^{\prime}$确定的平面一定与$a,b$确定的平面平行吗?
(2)如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面的位置关系如何?
剖析:(1)不一定,还有可能相交,如图,$a / / a^{\prime}, b / / b^{\prime}, a$与$b$确定平面$\alpha, a^{\prime}$与$b^{\prime}$确定平面$\beta, \alpha$与$\beta$相交.
(2)平行,因为若$\alpha / / \beta$,则$\alpha$与$\beta$无公共点,则$\alpha$内的直线$a$与$\beta$无公共点,所以$a / / \beta$.
对面面平行关系的理解
【例1】 判断下列给出的各种说法是否正确?
(1)若$a \subset \alpha, b \subset \beta$,且$a / / b$,则$\alpha / / \beta$;
(2)若$c / / \alpha, c / / \beta$,则$\alpha / / \beta$;
(3)若$a \subset \alpha, b \subset \beta$,且$\alpha / / \beta$,则$a / / b$;
(4)若$\alpha / / \beta, a \subset \alpha$,则$a / / \beta$;
(5)若$a \subset \alpha, b \subset \beta$,且$\alpha$与$\beta$不平行,则$a$与$b$不平行.
分析:根据面面平行的定义、判定、性质等进行分析.
反思
对于判断位置关系的问题,我们必须弄清概念、定理、性质、判定和结论,若对这些理解不清,则会导致判断错误或考虑不全.
【变式训练1】 已知m,n是不重合的直线,$\alpha, \beta$是不重合的平面,有下列命题,其中正确的命题的个数是( )
①若$m \subset \alpha, n / / \alpha$,则$m / / n$;
②若$m / / \alpha, m / / \beta$,则$\alpha / / \beta$;
③若$\alpha \cap \beta=n, m / / n$,则$m / / \alpha, m / / \beta$.
A.0 B.1 C.2 D.3
平面与平面平行的判定
【例2】 如图,已知正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,求证:平面$A B_{1} D_{1} / /$平面$B D C_{1}$.
分析:由面面平行的判定定理知,只需在平面$B D C_{1}$内说明直线$B C_{1}, B D$均与平面$A B_{1} D_{1}$平行即可.
反思
证面面平行,关键是要在一个平面内找到两条相交直线分别和另一个平面平行,而要证线面平行,还需证线线平行,注意三种平行的转化.
【变式训练2】 在四面体$ABCD$中,$E,F$分别为$AB,AC$的中点,点$G,H$在$AD$上,且$A G=G H=H D$,则平面$EFG$与平面$BCH$的位置关系是_________.
平面与平面平行的性质
【例3】 如图,在四棱锥$O-ABCD$中,底面$ABCD$是边长为1的菱形,$M$为$OA$的中点,$N$为$BC$的中点,求证:直线$M N / /$平面$OCD$.
分析:解题的关键是构造过$MN$与平面$OCD$平行的平面,根据题目条件中$M$为$OA$的中点,$N$为$BC$的中点,可利用三角形中位线的性质构造平面.
反思
根据两个平面平行来证明线面平行,这是证明线面平行的一种重要方法,其关键是发现或构造一个经过这条直线的平面,使该平面与另一个平面平行.
【变式训练3】 在直三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,如图,$E,F$分别为$A_{1} C_{1}, B_{1} C_{1}$的中点,$D$为棱$C C_{1}$的中点,$G$是棱$A A_{1}$上一点,且满足$A_{1} G=m A A_{1}$,若平面$A B D / /$平面$GEF$,试求$m$的值.
分析:利用平面与平面平行的性质定理转化.
平面与平面平行的判定及性质的综合应用
【例4】 已知P为$\triangle A B C$所在平面外一点,$G_{1}, G_{2}, G_{3}$分别是$\triangle P A B, \triangle P C B, \triangle P A C$的重心.
(1)求证:平面$G_{1} G_{2} G_{3} / /$平面ABC;
(2)求$\triangle G_{1} G_{2} G_{3}$与$\triangle A B C$的面积比值.
分析:根据重心的性质易知应该连接$P G_{1}, P G_{2}, P G_{3}$,再根据相似比可知$\triangle G_{1} G_{2} G_{3}$所在平面与$\triangle A B C$所在平面平行,进而可得结论.
反思
本题的解决离不开平面平行的判定,同时要求对平面几何的基本性质,初高中的知识点衔接要熟悉,并清楚其在解题中的作用.在立体几何中,适当应用平面几何知识可以简化运算及逻辑思维量,这也体现了立体几何问题利用平面几何考虑的化归思想.
【变式训练4】 如图,在棱长为2的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$A_{1} B_{1}$的中点是$P$,过点$A_{1}$作与截面$P B C_{1}$平行的截面,能否确定截面的形状?如果能,求出截面的面积;如果不能,请说明理由.
真题
1.下列说法中,错误的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交
2.若平面$\alpha / /$平面$\beta$,直线$a / /$平面$\alpha$,点$B \in \beta$,则在平面$\beta$内过B的所有直线中,( )
A.不一定存在与$a$平行的直线
B.只有两条与$a$平行的直线
C.存在无数条与$a$平行的直线
D.存在唯一与$a$平行的直线
3.下列说法正确的个数为( )
①两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等;②两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行.
A.1 B.2 C.3 D.0
4.若$\alpha / / \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$,下列几种说法中正确的有_________.(只填序号)
①$a / / b$;
②$a$与$\beta$内无数条直线平行;
③$a$与$\beta$内的唯一一条直线平行;
④$a / / \beta$.
5.在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中$, E, F, M, N$分别是$A B, C C_{1}, A A_{1}, C_{1} D_{1} $的中点.求证:平面$\mathrm{CEM} / / \mathrm{BFN} $.