高中数学网投影与直观图
2.会用斜二测画法画出简单平面图形和空间图形的直观图.
3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图,了解空间图形的不同表示形式.
1.平行投影
(1)平行投影的概念:如图①,已知图形$F$,直线$l$与平面$\alpha$相交.过$F$上任意一点$M$作直线$M M^{\prime}$平行于$l$,交平面$\alpha$于点$M^{\prime}$,则点$M^{\prime}$叫做点$M$在平面$\alpha$内关于直线$l$的平行投影(或象).如果图形$F$上的所有点在平面$\alpha$内关于直线$l$的平行投影构成图形$F^{\prime}$,则$F^{\prime}$叫做图形F在$\alpha$内关于直线l的平行投影.平面$\alpha$叫做投射面,$l$叫做投射线.平行投影的投射线是平行的(如图②).
2)平行投影的性质:
当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影具有下述性质:
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
③平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.
④与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.
⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
【做一做1】 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,下列关于平行投影性质的叙述正确的个数是( )
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;②平行直线的投影仍是平行直线;③平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;④矩形的平行投影一定是矩形.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：①③正确.
答案：B
2.直观图
(1)定义:当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时,一个空间图形在投射面上的平行投影(平面图形)可以形象地表示这个空间图形.像这样用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.
(2)空间图形的直观图画法:斜二测画法.
(3)用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则是:
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点$O$,画直观图时,把它们画成对应的$x^{\prime}$轴与$y^{\prime}$轴,两轴交于点$O^{\prime}$,且使$\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$(或$135^{\circ}$),它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于$x$轴或$y$轴的线段,在直观图中分别画成平行于$x^{\prime}$轴或$y^{\prime}$轴的线段.
③已知图形中平行于$x$轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于$y$轴的线段,长度为原来的一半.
(4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤:
①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴$O x, O y$,再作$O_{Z}$轴,使$\angle x O z=90^{\circ}$,$\angle y O z=90^{\circ}$.
②画出与轴$O x, O y, O z$对应的轴$O^{\prime} x^{\prime}, O^{\prime} y^{\prime}, O^{\prime} z^{\prime}$,使$\angle x^{\prime} Q^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$(或$135^{\circ}$),$\angle x^{\prime} O^{\prime} z^{\prime}=90^{\circ} x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$所确定的平面表示水平平面.
③已知图形中,平行于$x$轴、$y$轴和$z$轴的线段,在直观图中分别画成平行于$y^{\prime}$轴、$x^{\prime}$轴和$z^{\prime}$轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
④已知图形中平行于$x$轴和$z$轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
⑤画图完成后,擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.
名师点拨1.斜二测画法的作图规则可简述为:竖直或水平方向放置的线段画出时的方向、长度都不变,前后方向放置的线段画出时的方向与水平方向成$45^{\circ}$或$135^{\circ}$角,长度画成原长度的一半(仍表示原长度).
2.直观图是一个平面图形,只是用它来表示空间图形,画图时,被面挡住的部分要画成虚线.
3.可从以下两个方面理解斜二测画法:
(1)“斜”与“二测”的含义:
“斜”是指在已知图形的$x O y$平面内与$x$轴垂直的线段,在直观图中均与$x^{\prime}$轴成$45^{\circ}$,可认为是倾斜的;“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于$x^{\prime}$轴和$zx^{\prime}$轴的线段长度保持不变;平行于$y^{\prime}$轴的线段长度变为原来的一半.
(2)斜二测画法中的建系原则:
在已知图形中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等.
【做一做2-1】 下列关于“斜二测画法”的说法不正确的是( )
A.原图形中平行于$x$轴的线段,其对应线段平行于$\mathcal{X}^{\prime}$轴,长度不变
B.原图形中平行于$y$轴的线段,其对应线段平行于$y^{\prime}$轴,长度变为原来的$\frac{1}{2}$
C.画与直角坐标系$xOy$对应的坐标系$x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$时,$\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$必须是$45^{\circ}$
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
解析：画与直角坐标系$xOy$对应的坐标系$x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$时,$\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$也可以是$135^{\circ}$,所以$C$项不正确.
答案：$C$
【做一做2-2】 如图,该直观图所表示的平面图形是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
解析：因为在直观图中三角形的两条边平行于坐标轴,所以原来的平面图形是直角三角形.
答案：B
3.中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影(如图).在绘画时,经常使用这种方法.但在立体几何中很少用中心投影原理来画图.
【做一做3】 相片放大和电影都是_________投影;几何画图和工程制图都是_________投影.
答案：中心 平行
1.中心投影与平行投影的区别与联系
剖析：中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法,但应注意的是:
(1)画实际效果图时,一般用中心投影法.如人的视觉、照片、美术作品等都具有中心投影的特点;
(2)中心投影和平行投影的区别在于:平行投影的投射线都互相平行,中心投影的投射线交于同一点;
(3)中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法,平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图.经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多,但直观性强,看起来与人的视觉效果一致,最像原来的物体;
(4)画立体几何中的图形时,一般用平行投影法.
2.斜二测画法的作图技巧
剖析：(1)在已知图中建立直角坐标系,理论上是在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.
(2)在原图中与$x$轴或$y$轴平行的线段在直观图中依然与$x^{\prime}$轴或$y^{\prime}$轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.
(3)在画一个水平放置的平面时,由于平面是无限延展的,通常我们只画出它的一部分表示平面,一般地,用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.
归纳总结
在斜二测画法中,直观图与原图存在如下关系:(1)平行性不变;(2)共点性不变;(3)平行线段的长度比不变.正因为这样,所以直观图的形状虽然有很大变化,但我们仍能借助于直观图结合几何体的概念,想象出原图的形状和性质.3.教材中的“思考与讨论”
如果一个平面图形所在的平面与投射面平行,试问,中心投影后得到的图形与原图形有什么关系?
剖析：若一个平面图形所在的平面与投射面平行,则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似.
平行投影的性质应用
【例1】 如果图形所在的平面不平行于投射线,那么下列说法正确的是( )
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.正方形的平行投影一定是矩形
D.正方形的平行投影一定是菱形
反思
平行投影的性质是分析原图形与其投影的关系的理论依据.另外还要注意分析投射线与投射面的位置关系.
【变式训练1】 关于平行投影的性质,下列说法中不正确的是( )
A.当直线或线段不平行于投射线时,它的平行投影仍是直线或线段
B.平行直线的平行投影仍是平行的直线
C.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等
D.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比
画直观图
【例2】 画出一个锐角是$45^{\circ}$的平行四边形的直观图.
分析：画水平放置的平面图形的直观图时,建立坐标系至关重要,应将尽量多的点放在坐标轴上,这样,点在直观图中的位置更容易确定.
反思
画平面图形的直观图时,首先要在原图中建好坐标系,再依据作图规则逐步作出.
【变式训练2】 如图,在$\triangle A B C$中,$B C=8 \mathrm{cm}, B C$边上的高$A D=6 \mathrm{cm}$,试用斜二测画法画出其直观图.
【例3】 有一个正三棱锥,底面边长为3 $\mathrm{cm}$,高为3 $\mathrm{cm}$,画出这个正三棱锥的直观图.
分析：根据斜二测画法,先选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图,再确定出正三棱锥的顶点即可.
反思
正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到,应该掌握正棱锥直观图的画法思路,以便在今后的学习中,可以较快、较准确地画出正棱锥的草图.画草图的步骤:画底面、找底面的中心、作高连线.
【变式训练3】 画出底面边长为1.2 $\mathrm{cm}$的正方形,侧棱均相等,且高为1.5 $\mathrm{cm}$的四棱锥的直观图.
直观图的还原
【例4】 如图,图形$A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$是一个平面图形的直观图,$\angle A^{\prime}=45$,请画出它的实际图形.
分析：已知直观图是一个锐角为$45^{\circ}$的平行四边形→建立直观图的坐标系→建立平面直角坐标系→还原实际图形
反思
还原图形的过程是画直观图的逆过程,它主要包括平行于$x^{\prime}$轴的线段长度不变,平行于$y^{\prime}$轴的线段长度变为原来的2倍等.
【变式训练4】 如图,$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$是$\triangle A B C$的直观图,图中$B^{\prime} O^{\prime}=O^{\prime} C^{\prime}=C^{\prime} A^{\prime}, C^{\prime} A^{\prime} / / Q^{\prime} y^{\prime}$',则原图$\triangle A B C$是( )
A.等边三角形
B.等腰非直角三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形
与直观图有关的计算问题
【例5】 正三角形$A O B$的边长为$a$,在用斜二测画法画它的水平放置的直观图时,建立如图所示的平面直角坐标系$x O y$,则它的直观图的面积是_________.
反思
斜二测画法中平面图形的直观图与原图形的面积比一般为$\frac{\sqrt{2}}{4}$,这个比值与平面图形的形状无关,记住这个结论对解与直观图面积有关的选择题或填空题会很有帮助.
【变式训练5】 如图,$\triangle O^{\prime} A^{\prime} B^{\prime}$是$\triangle O A B$水平放置的直观图,则$\triangle O A B$的面积为( )
$\begin{array}{llll}{\text { A. } 6} & {\text { B.3 } \sqrt{2}} & {\text { C.6 } \sqrt{2}} & {\text { D.12 }}\end{array}$
真题
1.下列命题中真命题的个数是( )
①正方形的平行投影一定是菱形;②平行四边形的平行投影一定是平行四边形;③三角形的平行投影一定是三角形.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列说法正确的是( )
A.相等的线段在直观图中仍然相等
B.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
C.两个全等三角形的直观图一定也全等
D.两个图形的直观图是全等的三角形,则这两个图形一定是全等三角形
3.利用斜二测画法,作出直线AB的直观图如图,若O'A'=O'B'=1,则直线AB在平面直角坐标系中对应的函数表达式是( )
$A . y=-x+1 \quad$ B. $y=x-1$
C. $y=-2 x+2 \quad$ D. $y=2 x-2$
4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),$\angle A B C=45^{\circ}, A B=A D=1, D C \perp B C$,则这个平面图形的面积为_________.
5.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形$O A B C$的直观图.
