直线方程的概念与直线的斜率
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式,并能在实际问题中应用.
3.能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角.
1.直线方程的概念
由于函数$y=k x+b(k \neq 0)$或$y=b$都是二元一次方程,因此,我们也可以说,方程$y=k x+b$的解与其图象上的点存在一一对应关系.
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.
知识拓展
直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;这条直线上点的坐标都是这个方程的解.两个条件只要缺少一个,命题就是错误的.【做一做1】 给出下列四个命题:
①一条直线必是某个一次函数的图象;
②一次函数$y=k x+b(k \neq 0)$的图象必是一条不过原点的直线;
③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则此方程叫做这条直线的方程;
④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这条直线叫做此方程的直线.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由直线方程的定义可知③,④均不正确.
又因为$y=5$表示一条直线,但它却不是一次函数,原因是一次函数$y=k x+b$中的$k \neq 0$,故①也不正确.当一次函数$y=k x+b(k \neq 0)$中的$b=0$时,其图象经过原点,可知②也不正确.
答案:A
2.直线的倾斜角和斜率
(1)我们把直线$y=k x+b$中的系数$k$叫做这条直线的斜率.
(2)两点斜率公式:已知直线上两点$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则直线的斜率$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$
(3)倾斜角$\theta$:
$x$轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,记为$\theta$.
与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角,故$\theta$的取值范围是$0^{\circ} \leqslant \theta < 180^{\circ}$.
(4)斜率k与倾斜角θ的关系如图.
知识拓展
当倾斜角为锐角时,倾斜角越大,斜率越大,且均为正;当倾斜角为钝角时,倾斜角越大,斜率越大,且均为负.但我们不能错误地认为倾斜角越大,斜率越大.【做一做2】 过点P(1,3)和Q(0,5)的直线的斜率为( )
$\mathrm{A.} 2 \quad \mathrm{B} \cdot-2$$\mathrm{C} \cdot \frac{1}{2} \quad \mathrm{D} \cdot-\frac{1}{2}$
答案:B
对直线斜率的全方位剖析
剖析:(1)斜率公式的适用范围.
经过两点$P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$的直线的斜率公式$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$,其适用范围是$x_{1} \neq x_{2}$.说明如下:
①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示.
②斜率公式与两点的顺序无关,也就是说两点的纵坐标、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致).
③如果$y_{2}=y_{1}\left(x_{2} \neq x_{1}\right)$),则直线与$x$轴平行或重合,$k=0$;如果$x_{1}=x_{2}, y_{1} \neq y_{2}$,则直线与$x$轴垂直,倾斜角$\theta=90^{\circ}$,斜率$k$不存在.
(2)从运动变化的观点看斜率公式.
由直线上两点的坐标求这条直线的斜率$k$与这两点在直线上的顺序无关,于是$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$.如果令$\Delta x=x_{2}-x_{1}, \Delta y=y_{2}-y_{1}$,则$\Delta x$表示变量x的改变量,$\Delta y$表示相应的y的改变量,于是$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}(\Delta x \neq 0)$.
(3)斜率的功能.
斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量,它与倾斜角都反映倾斜程度,但倾斜角相对直观一些,而斜率较抽象.结合图示说明如下:
如图,已知直线$PQ$,直线$PM$,且直线$MQ$与$y$轴平行,由直线的斜率公式,得$k_{P Q}=\frac{\Delta y}{\Delta x}, k_{P M}=\frac{\Delta y^{\prime}}{\Delta x}$.
又由图易知$\Delta y^{\prime}>\Delta y$,故$k_{P M}>k_{P Q}$.
显然直线$PM$相对于$x$轴正方向比直线$PQ$相对于$x$轴正方向倾斜程度要大.比如某人从点$P$沿直线$PQ$到达点$Q$,相对于从点$P$沿直线$PM$到达点$M$来说,此人会感到沿直线$PM$走比沿直线$PQ$走更费劲.
一般地,直线斜率为$k,|k|$越大,直线相对于$x$轴倾斜程度越大;反之$|k|$越小,直线相对于$x$轴倾斜程度越小.
名师点拨若$k_{A B}=k_{A C}$,此时直线$AB$与直线$AC$的倾斜角相同,即三点$A,B,C$共线,因此可以利用斜率解决三点共线问题;但$k_{A B}=k_{C D}$只能说明直线$AB$与直线$CD$倾斜角相同,不能说明$A,B,C,D$四点共线,因此要用斜率证明点共线问题,线段(或两条直线)必须有公共点才行.
概念辨析题
【例1】 下列四个命题:
①一条直线向上的方向与$x$轴正向所成的角,是这条直线的倾斜角;
②直线$l$的倾斜角要么是锐角,要么是钝角;
③已知直线$l$经过$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$两点,则直线l的斜率
$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$;
④若直线$l$的方程是$a x+b y+c=0$,则直线$l$的斜率$k=-\frac{a}{b}$.
其中正确命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
反思
斜率与倾斜角是直线中最基本的概念,正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础,要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系,还有斜率公式是有使用范围的,直线与x轴垂直时斜率不存在.
【变式训练1】 对于下列命题:
①若$\theta$是直线$l$的倾斜角,则$0^{\circ} \leqslant \theta < 180^{\circ}$;
②若$k$是直线$l$的斜率,则$k \in \mathbf{R}$;
③任一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率;
④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
求直线的斜率
【例2】 (1)已知$A(3,2), B(-4,1), C(0,-1)$,求直线$A B, B C, C A$的斜率;
(2)求经过两点$A(2,3), B(m, 4)$的直线的斜率.
分析:(1)利用过两点的直线的斜率公式计算;(2)对参数m进行分类讨论,分情况求解.
反思
运用斜率公式求两点连线的斜率时,要注意其前提条件是$x_{1} \neq x_{2}$,若$x_{1}=x_{2}$,则直线斜率不存在.当所给两点的横坐标中含有字母参数时,先要讨论两点的横坐标是否相等,再确定直线的斜率.
【变式训练2】 已知直线l经过两点$A(2,-1), B(t, 4)$,求直线$l$的斜率.
分析:点$B$的横坐标中含参数$t$,注意分类讨论.
直线的倾斜角与斜率之间的关系
【例3】 当$a$为何值时,过点$A(2 a, 3), B(2,-1)$的直线的倾斜角是锐角?钝角?直角?
分析:根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角,则$k>0$,若为钝角,则$k < 0$,若为直角,则斜率不存在.
反思
已知直线倾斜角范围求参数取值范围时,主要依据斜率与倾斜角的关系,通过倾斜角范围,确定斜率的正、负,再求出参数的取值范围.
【变式训练3】 已知直线$l$经过点$P(5,10), Q(m, 12)$,若l的倾斜角$\theta \geqslant 90^{\circ}$,则实数m的取值范围是_________.
斜率公式的综合应用
【例4】 求证:$A(1,5), B(0,2), C(-1,-1)$三点共线.
分析:根据过同一点的两条直线,若它们的斜率相等,则两直线必重合,从而证明三点共线.
反思
通过本题可归纳出:若斜率$k_{A B}, k_{A C}$存在,则$k_{A B}=k_{A C} \Leftrightarrow A_{2} B_{2} C$三点共线,当然也可以用$|A B|+|B C|=|A C|$来证.
【变式训练4】 若三点$A(a, 2), B(3,7), C(-2,-9 a)$在同一条直线上,求实数$a$的值.
易错辨析
易错点:对直线倾斜角的范围理解不清致错
【例5】 设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转$30^{\circ}$,得到直线$l_{1}$,则直线$l_{1}$的倾斜角为( )
A. $\alpha+30^{\circ}$
$\mathrm{B} \cdot \alpha-150^{\circ}$
$\mathrm{C} .150^{\circ}-\alpha$
D.当$0^{\circ} \leqslant \alpha < 150^{\circ}$时为$\alpha+30^{\circ}$,当$150^{\circ} \leqslant \alpha < 180^{\circ}$时为$\alpha-150^{\circ}$
真题
1.若直线$l_{1}$的斜率大于0,直线$l_{2}$的斜率小于0,直线$l_{3}$的斜率不存在,并且$l_{1}, l_{2}, l_{3}$的倾斜角分别为$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$,则$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$的大小关系是( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \alpha_{1}<\alpha_{2}<\alpha_{3}} & {\mathrm{B} . \alpha_{3}<\alpha_{2}<\alpha_{1}} \\ {\mathrm{C} \cdot \alpha_{1}<\alpha_{3}<\alpha_{2}} & {\mathrm{D} \cdot \alpha_{2}<\alpha_{3}<\alpha_{1}}\end{array}$
2.过点$P(-2, m)$和点$Q(m, 4)$的直线的斜率为1,则$m$的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
3.若两直线$l_{1}, l_{2}$的倾斜角分别为$\alpha_{1}, \alpha_{2}$,则下列四个命题中正确的是( )
A.若$\alpha_{1}<\alpha_{2}$,则两直线的斜率$k_{1} < k_{2}$
B.若$\alpha_{1}=\alpha_{2}$,则两直线的斜率$k_{1}=k_{2}$
C.若两直线的斜率$k_{1} < k_{2}$,则$\alpha_{1}<\alpha_{2}$
D.若两直线的斜率$k_{1}=k_{2}$,则$\alpha_{1}=\alpha_{2}$
4.若直线$l$经过第二、四象限,则直线$l$倾斜角$\alpha$的范围是_________.
5.若三点$A(2,2), B(a, 0), C(0,4)$)共线,则$a$的值等于_________.
6.已知点$A(3,4)$,在坐标轴上有一点$B$,使直线$AB$的斜率等于2,把直线方程写成一次函数形式,并求出点$B$的坐标.