直线方程的几种形式

时间:2019/9/9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式及一般式),尤其要掌握点斜式、斜截式和一般式.
2.理解直线与二元一次方程的对应关系.
知识点
  • 1.直线方程的几种形式

    名称

    已知条件

    方程

    说明

    点斜式

    点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$和斜率k

    $y-y 0=k(x-x 0)$

    不包括$y$轴和平行于$y$轴的直线

    斜截式

    斜率$k$和在$y$轴上的截距$b$

    $y=k x+b$

    不包括$y$轴和平行于$y$轴的直线

    两点式

    点$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)$
    和$P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$

    $\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

    $\left(x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}\right)_{*}$

    不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线

    截距式

    $\mathcal{X}$轴上的截距为$a$,在$y$轴上的截距为$b$

    $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}=1$

    $(a \neq 0, b \neq 0)$


    不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线

    一般式

     

    $A x+B y+C=0$

    $\left(A^{2}+B^{2} \neq 0\right)$

    $A,B$不同时为$0$

    【做一做1-1】 直线$k x-y+1=3 k$,当$k$变化时,所有直线都通过定点(  )

    A.(0,0)  B.(0,1)  C.(3,1)  D.(2,1)

    解析:直线方程可化为$y-1=k(x-3)$,由点斜式知该直线必过定点(3,1).

    答案:C

    【做一做1-2】 集合$A=\{x | x$为直线的斜截式方程$\}, B=\{x | x$为一次函数的解析式$\}$,则集合$A,B$间的关系为 (  )

    blob.png

    答案:B

    【做一做1-3】 若$ ac < 0, bc > 0 $,那么直线$a x+b y+c=0$必不过(  )

    A.第一象限  B.第二象限 

    C.第三象限  D.第四象限

    解析:由条件$a c < 0, b c > 0 $知$a b < 0$,而原方程可化为$y=-\frac{a}{b} x-\frac{c}{b}$,

    由于$-\frac{a}{b}>0,-\frac{c}{b} < 0$,

    则直线过第一、三、四象限,不过第二象限.

    答案:B

    【做一做1-4】 过点$P(2,1)$,斜率为$-\sqrt{3}$的直线方程为_________. 

    解析:依题意得$y-1=-\sqrt{3}(x-2)$,整理得$\sqrt{3} x+y-2 \sqrt{3}-1=0$.

    答案:$\sqrt{3} x+y-2 \sqrt{3}-1=0$

  • 2.几种特殊直线的方程

    直线方程都是关于$x, y$的一次方程,关于$x, y$的一次方程都表示直线,选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时,要考虑特殊情况下的直线方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线).

    过点(a,b)且平行于$x$轴的直线方程为$y=b$.

    过点(a,b)且平行于$y$轴的直线方程为$x=a$(平行于y轴的直线的斜率不存在).

    $x$轴的方程是$y=0.$

    $y$轴的方程是$x=0$($y$轴的斜率不存在).

    【做一做2-1】 若关于$x,y$的方程$\left(2 m^{2}+m-3\right) x+\left(m^{2}-m\right) y-4 m+1=0$表示一条直线,则实数$m$满足(  )

    $\mathrm{A} \cdot m \neq 0$ $\mathrm{B} \cdot m \neq-\frac{3}{2}$ $\mathrm{C} \cdot m \neq 1$ $\mathrm{D} . m \neq 1, m \neq-\frac{3}{2}, m \neq 0$

    解析:由$2 m^{2}+m-3=0$得$m=1$或$m=-\frac{3}{2}$;由$m^{2}-m=0$得$m=0$或$m=1$,因此要使$2 m^{2}+m-3$和$m^{2}-m$不同时为0,只需$m \neq 1$即可.

    答案:C 

    【做一做2-2】 已知直线过点(1,1),则

    (1)垂直于x轴的直线方程为_________; 

    (2)垂直于y轴的直线方程为_________; 

    (3)截距相等的直线方程为_________. 

    答案:(1)$x=1$ (2$y=1$ (3)$y=x$或$y=-x+2$

重难点
  • 1.直线的一般式方程与四种特殊形式之间的转化

    剖析:直线方程各种形式之间的转化关系如下. 

    blob.png

  • 2.直线方程的几种形式的选择技巧

    剖析:(1)直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性,如对于点斜式和斜截式,要求直线的斜率存在,因此,如果选用点斜式或斜截式,应考虑斜率不存在的情况.对于两点式,它不能表示平行或重合于坐标轴的直线.截距式除了不能表示平行或重合于坐标轴的直线外,还不能表示过原点的直线.

    那么,如何根据题设条件灵活选取直线方程的形式来求直线方程呢?

    一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截距式或两点式.

    另外,从所求的问题来看,若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长,则应选用截距式.


    2)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法,但要注意选择直线方程的形式.一般地,已知一点就待定斜率k,但应注意讨论当斜率k不存在时的情形;如果是已知斜率k,一般选择斜截式,待定纵截距b;如果是已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式,待定横截距和纵截距.一般来说,几个系数待定就应列出几个方程.

    有的题目中要求的直线方程可以同时选用几种形式,但选择的形式不同,导致的运算繁简程度就不同.

  • 3.教材中的“?”

    函数$y=k x+b$与方程$y=k x+b$,这两种说法的含义相同吗?

    剖析:不相同,当$k \neq 0$时,函数$y=k x+b$是一次函数,方程$y=k x+b$表示斜率不为0的直线;当$k=0(b \neq 0)$时,函数$y=k x+b$是常数函数,方程$y=k x+b$表示一条平行于x轴的直线.

  • 4.教材中的“思考与讨论”

    已知两点$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,且$x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}$,求直线$AB$的方程.

    剖析:过$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$两点的直线的斜率$k \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$,由点斜式方程得$y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)$,变形得$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}\right)$.

    名师点拨

    把两点式方程化为整式$\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y-y_{1}\right)=\left(y_{2}-y_{1}\right)\left(x-x_{1}\right)$,就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程.

例题解析
  • 直线方程的点斜式

    【例1】 求下列直线的方程:

    (1)过点$P(-4,3)$,斜率$k=-2$;

    (2)过点$P(2,-5)$,且与$x$轴平行;

    (3)过点$P(3,-1)$,且与$y$轴平行.

    分析:利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答.

    反思 

    由点斜式方程可知确定直线方程需要一个点和斜率两个条件,对于斜率为0和斜率不存在的情况要区别对待.

    【变式训练1】 (1)经过点$(-\sqrt{2}, 2)$,斜率等于$\sqrt{3}$的直线方程为_________; 

    (2)经过点(10,3),且平行于x轴的直线方程为_________; 

    (3)若直线l的方程为$y=-2(x+1)-1$,则该直线的斜率为_________; 

    (4)若直线方程为$y-2=k(x+3)$,则该直线必经过定点P,且点P坐标为_________. 

  • 直线方程的斜截式

    【例2】 方程$y=a x+\frac{1}{a}$表示的直线可能是(  )

    blob.png

    反思 

    根据直线的方程判断直线在直角坐标平面中的位置时,通常把直线转化成斜截式的形式,利用斜率和截距的几何意义作出判断.若直线l的方程是$y=k x+b$,则有

    (1$k>0, b>0 \Leftrightarrow l$过第一、二、三象限;

    (2)$k>0, b=0 \Leftrightarrow l$仅过第一、三象限;

    (3)$k>0, b < 0 \Leftrightarrow l$过第一、三、四象限;

    (4)$k < 0, b > 0 \Leftrightarrow l$过第一、二、四象限;

    (5)$k < 0, b=0 \Leftrightarrow l$仅过第二、四象限;

    (6)$k < 0, b < 0 \Leftrightarrow l$过第二、三、四象限;

    (7)$k=0, b>0 \Leftrightarrow l$仅过第一、二象限;

    (8)$k=0, b=0 \Leftrightarrow l$为$x$轴,不过任何象限;

    (9)$k=0, b < 0 \Leftrightarrow l$仅过第三、四象限.

    【变式训练2】 (1)与$x$轴平行且在$y$轴上的截距为$\frac{1}{2}$的直线的方程为_________. 

    (2)若直线$y=k x+b$经过第一、三、四象限,则直线$y=b x-k$经过第_________象限. 

  • 直线方程的两点式

    【例3】 三角形的顶点是$A(-5,0), B(3,-3), C(0,2)$,求这个三角形的三条边所在直线的方程.

    分析:由于每一条边上的两个点(顶点)已知,故可直接用两点式求解;或由两点可求出每条边所在直线的斜率,故可选择一个点(两顶点中的一个),利用点斜式求该边所在直线的方程.

    反思

    1.由已知直线上的两点来确定直线方程时可用两点式,但要注意判断是否满足两点式的适用条件,不满足时,可直接写出直线方程;

    2.一定要注意两点式的对称性$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2}\right)$.

    【变式训练3】 求满足下列条件的直线的方程:

    (1)经过点A(0,3),B(2,1);

    (2)经过点M(3,-1),N(3,2);

    (3)经过点P(2,-2),Q(3,-2);

    (4)经过点C(-2,-3),D(-5,-6).

  • 直线方程的一般式

    【例4】 设直线l的方程为$(a+1) x+y+2-a=0(a \in \mathbf{R})$.

    (1)若$l$在两坐标轴上的截距相等,求$l$的方程;

    (2)若$l$不经过第二象限,求实数$a$的取值范围.

    分析:(1)从截距的定义入手,因方程中含有变量$a$,故需要对截距进行分类讨论.问题(2)中涉及直线在坐标系中的位置问题,可将方程转化为斜截式,从斜率和截距两方面进行综合考虑.

    反思 

    对于与截距有关的问题,一定要注意截距为0的特殊情况,再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等.

    【变式训练4】 已知直线$l$的斜率为2,且与$x$轴、$y$轴围成的三角形的面积为36,求此时直线与$x$轴、$y$轴围成的三角形的周长.

    分析:已知斜率,且与坐标轴上的截距有关,因此可设斜截式$y=2 x+b$,利用直线$l$和$x$轴、$y$轴围成的三角形的面积为36,求出直线$l$的方程,然后再求三角形的周长.

  • 易错辨析

    易错点:忽视截距式方程适用的条件致错

    【例5】 求经过点$P(2,3)$,并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.

    【例6】 求过点$M(m, 0)$和点$N(2,1)$的直线的方程. 

  • 真题

    1.若直线方程为$y-3=\sqrt{3}(x+4)$,则在该直线上的点是(  )

    A. $(4,3)$ B. $(-3,-4) \quad$ C. $(-4,3) \quad$ D. $(-4,-3)$

    2.过点$A(-2,1)$,且与x轴垂直的直线的方程是(  )

    A.x=-2  B.y=1  C.x=1  D.y=-2

    3.在x轴上的截距为2,且斜率为-1的直线方程为(  )

    A. $y=-x+2$  B. $y=-x-2$

    $\mathrm{C.} y=x+2 \quad$ D. $y=x-2$

    4.过点$P(3,2)$和点$Q(4,7)$的直线方程为_________.  

    5.已知三角形的三个顶点$A(-5,0), B(3,-3), C(0,2)$,求$B C$边上中线所在的直线方程. 

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