高中数学网直线与fun88网上娱乐的位置关系
2.根据给定的直线、fun88网上娱乐的方程,会用代数法和几何法判断直线与fun88网上娱乐的位置关系.
3.能根据直线与fun88网上娱乐的位置关系,解决有关切线,弦长等问题.
直线与fun88网上娱乐的位置关系
直线$l : A x+B y+C=0\left(A^{2}+B^{2} \neq 0\right)$,fun88网上娱乐$C :(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r>0)$,
设fun88网上娱乐心(a,b)到直线的距离是$d, d=\frac{|A a+B b+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$,则有
位置关系
几何特征
代数特征(方程联立)
相离
$d>r$
无实数解$(\Delta < 0)$
相切
$d=r$
一组实数解$(\Delta=0)$
相交
$d < r$
两组实数解$(\Delta>0)$
归纳总结
代数法和几何法研究直线与fun88网上娱乐的位置关系各有特点.“几何法”更多地侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.
【做一做1】 直线$4 x+3 y-40=0$与fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}=64$的位置关系是( )
A.外离 B.相切
C.相交 D.相切或外离
答案：B
【做一做2】 若直线$x-y=2$被fun88网上娱乐$(x-a)^{2}+y^{2}=4$所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.-1或$\sqrt{3}$ B.1或3 C.-2或6 D.0或4
解析：fun88网上娱乐心到直线的距离$d=\frac{|a-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,
所以$|a-2|=2$,解得$a=4$或$a=0$.
答案：D
【做一做3】 过点$A(4,1)$的fun88网上娱乐$C$与直线$x-y-1=0$相切于点$B(2,1)$,则fun88网上娱乐$C$的方程为_________.
解析：设fun88网上娱乐$C$的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,
fun88网上娱乐心$(a, b)$到直线$x-y-1=0$的距离 $d=\frac{|a-b-1|}{\sqrt{2}}=r,(①$
又fun88网上娱乐C过$A(4,1), B(2,1)$,
则$(4-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2},②$
$(2-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2} \cdot③$
由①②③,得$a=3, b=0, r=\sqrt{2}$,
故fun88网上娱乐的方程为$(x-3)^{2}+y^{2}=2$.
答案：$(x-3)^{2}+y^{2}=2$
1.过点$\left(x_{0}, y_{0}\right)$的切线方程的求法
剖析：(1)当点$\left(x_{0}, y_{0}\right)$在fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}=r^{2}$上时,切线方程为$x_{0} x+y_{0} y=r^{2}$;
(2)当点$\left(x_{0}, y_{0}\right)$在fun88网上娱乐$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$上时,切线方程为$\left(x_{0}-a\right)(x-a)+\left(y_{0}-b\right)(y-b)=r^{2}$;
(3)点$\left(x_{0}, y_{0}\right)$在fun88网上娱乐外,假设切线的斜率存在,则可设切线方程为$y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right)$,变成一般式$k x-y+y_{0}-k x_{0}=0$,因为与fun88网上娱乐相切,所以可利用fun88网上娱乐心到直线的距离等于半径,解出k.注意若此方程只有一个实根,则还有一条斜率不存在的直线也是切线,不能忽略.
2.直线与fun88网上娱乐相交时弦长的求法
剖析：已知fun88网上娱乐$C :\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}=r^{2}$,直线$A B : A x+B y+C^{\prime}=0(A, B$不同时为0),如图,$\Delta A B C$是等腰三角形,取弦$AB$的中点$D$,则$C D \perp A B$,且$CD$平分弦$AB$,因此弦长$|A B|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}$,其中$d$表示弦心距,$d=\frac{\left|A x_{1}+B y_{1}+C^{\prime}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$.
另外,还可以从方程的角度用两点间距离公式去计算.
当直线AB的斜率存在时,这时结合根与系数的关系,进行整体代换即可求得,即将直线$A B : y=k x+m$代入$\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}=r^{2}$,消去y得关于x的一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$,设直线与fun88网上娱乐的交点$A\left(x_{2}, y_{2}\right), B\left(x_{3}, y_{3}\right)$,则$x_{2}, x_{3}$是上述方程的两个根,由根与系数的关系,得$x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}, x_{2} \cdot x_{3}=\frac{c}{a^{2}}$则$|A B|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(k x_{2}-k x_{3}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{2}-x_{3}\right|$
$=\sqrt{\left(1+k^{2}\right)\left[\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-4 x_{2} x_{3}\right]} \\ =\sqrt{1+k^{2}} \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{|a|}$
当直线$AB$的斜率不存在时,将直线$A B : x=n$代入$\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}=r^{2}$,解得$A,B$的纵坐标$y_{A_{3}} y_{B}$,则$|A B|=\left\lfloor y_{A}-y_{B} |\right.$.
判断直线与fun88网上娱乐的位置关系
【例1】 求当$\lambda$为何值时,直线$\lambda x-y-\lambda-1=0$与fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+1=0$相交?相切?相离?
分析：可根据直线与fun88网上娱乐的方程构成的方程组的解的情况,或fun88网上娱乐心到直线的距离与fun88网上娱乐半径之间的关系,列条件求解$\lambda$的值或$\lambda$的取值范围.
反思
判断直线与fun88网上娱乐的位置关系可以从代数法和几何法两种角度入手,但用几何法解决更简便.
【变式训练1】 判断下列fun88网上娱乐与直线的位置关系.
(1)fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}-8 x+2 y-8=0$,直线$4 x-3 y+6=0$;
(2)fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}-4 x+3=0$,直线$2 x-y+5=0$.
fun88网上娱乐的切线问题
【例2】 已知fun88网上娱乐$C$的方程为$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=1$.试分别求经过下列各点的fun88网上娱乐$C$的切线方程:
$(1) A\left(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}+1\right) ;(2) P(1,2) ;(3) B(4,-3)$
分析：(1)可判断点$A$在fun88网上娱乐上,故可用直接法求切线方程;(2)点$P$在fun88网上娱乐外,可用待定系数法求切线方程;(3)点$B$也在fun88网上娱乐外,可用待定系数法求切线方程,但应注意切线斜率不存在的情况.
反思
由于过fun88网上娱乐外一点可以作fun88网上娱乐的两条切线,因此在求fun88网上娱乐的切线方程时,如果点在fun88网上娱乐外,设切线方程为点斜式时却只得到一条切线方程,则另一条切线的斜率不存在,应单独讨论,如本例中的(3).
【变式训练2】 (1)已知fun88网上娱乐$C :(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2$,求过点$P(2,3)$的fun88网上娱乐的切线方程;
(2)过点$A(-1,4)$作fun88网上娱乐$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$的切线$l$,求切线$l$的方程.
关于弦长问题
【例3】 求直线$y=x$被fun88网上娱乐$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=10$所截得的弦长.
分析：求直线被fun88网上娱乐所截得的弦长的方法,一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形,二是用弦长公式.
反思
求直线被fun88网上娱乐所截得的弦长问题多利用半弦、半径、fun88网上娱乐心到直线的垂线段构成的直角三角形来处理.
【变式训练3】 求经过点$P(6,-4)$且被定fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}=20$截得的弦长为6$\sqrt{2}$的直线的方程.
直线与fun88网上娱乐的综合问题
【例4】 已知$O$为坐标原点,$\odot O_{1} : x^{2}+y^{2}+x-6 y+c=0$直线$x+2 y-3=0$的两个交点分别为$P,Q$,那么当$c$取何值时,$O P \perp O Q$?
分析：利用代数方法,即联立直线与fun88网上娱乐的方程,利用根与系数的关系对$O P \perp O Q$进行转化.
反思
当fun88网上娱乐中的几何特征不明显时,往往采用代数法,即联立方程的思想,体现了解析几何的本质特征.这也是解决解析几何的重要方法.
【变式训练4】 设点$O$为坐标原点,曲线$x^{2}+y^{2}+2 x-6 y+1=0$上的P,Q两点关于直线$x+m y+4=0$对称,且$O P \perp O Q$.
(1)求$m$的值;
(2)求直线$PQ$的方程.
【例5】 求fun88网上娱乐$(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=9$上到直线$l : 3 x+4 y-11=0$的距离为$1$的点有几个?
分析：此题应从fun88网上娱乐心到直线$l$的距离与fun88网上娱乐的半径3之间的关系入手分析求解.
反思
解决有关直线与fun88网上娱乐的问题要有作图意识,准确作图能帮助我们更快更准地分析题意.另外,要善于挖掘题目的切入点,找出临界位置是关键.
【变式训练5】 本例中,条件不变,若要求fun88网上娱乐上的点到直线的距离分别等于$\frac{1}{2}, 3,5,7$,那么相应的点的个数分别是多少?
易错辨析
易错点:忽视讨论直线的斜率不存在的直线致错
【例6】 若直线$l$过点$P(2,3)$,且与fun88网上娱乐$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1$相切,求直线$l$的方程.
真题
1.直线$x+y=5$和fun88网上娱乐$0 : x^{2}+y^{2}-4 y=0$的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过fun88网上娱乐心
D.相交且直线过fun88网上娱乐心
2.直线$\sqrt{3} x+y-2=0$截fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}=4$得到的弦长为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A.1 }} & {\text { B. } 2 \sqrt{3}} \\ {\text { C.2 } \sqrt{2}} & {\text { D. } 2}\end{array}$
3.已知直线$l : a x-y-b=0$,fun88网上娱乐$C : x^{2}+y^{2}-2 a x-2 b y=0$,则$l$与$C$在同一平面直角坐标系中的图形可能是( )
4.过点$A(3,-4)$,且与fun88网上娱乐$x^{2}+y^{2}=25$相切的直线方程是_________.
5.已知fun88网上娱乐$C$和$y$轴相切,fun88网上娱乐心$C$在直线$x-3 y=0$上,且被直线$y=x$截得的弦长为2$\sqrt{7}$,求fun88网上娱乐$C$的方程.
