高中数学网频率与概率
2.了解频率与概率的定义及其内在联系.
3.能根据频率求随机事件的概率.
1.概率
(1)统计定义.
在$n$次重复进行的试验中,事件$A$发生的频率$\frac{m}{n}$,当$n$很大时,总是在某个常数附近摆动,随着$n$的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作$P(A)$.
(2)性质.
随机事件$A$的概率$P(A)$满足0$\leqslant P(A) \leqslant 1$.
特别地,①当$A$是必然事件时,$P(A)=1$.
②当$A$是不可能事件时,$P(A)=0$.
【做一做1】 下列说法正确的有_________个.
①必然事件的概率为1;
②不可能事件的概率为0;
③任意事件$A$发生的概率$P(A)$总满足$0
④若事件$A$的概率趋近于0,则$A$是不可能事件.
解析:①②正确,③④不正确.
答案:2
2.概率和频率之间的联系
在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动,事件的频率是概率的一个近似值.随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.
名师点拨1.频率随着试验次数的改变而变化,是随机的;而概率是一个常数,是一个确定的值,它是频率的科学抽象.
2.频率是概率的估计值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.
【做一做2】 对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间$[20,25)$上为一等品,在区间$[15,20)$和$[25,30)$上为二等品,在区间$[10,15)$和$[30,35]$上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )
A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45
解析:由频率分布直方图知识可知:在区间$[15,20)$和$[25,30)$内的概率为$0.04×5+[1-(0.02+0.04 \\ +0.06+0.03)×5]=0.45.$
答案:D
1.频率与概率的区别与联系
剖析:根据它们的概念可知,频率因试验次数的不同而不同,而概率则与试验次数无关.
频率是指在已经发生的随机事件中,某一个随机事件在整个随机事件中所占的比例.概率是由大量数据统计后得出的结论,反映的是一种大的整体的趋势;而频率是较少数据统计的具体结果.举例来说,掷一枚均匀硬币,正面和反面出现的概率相等,都是$\frac{1}{2}$,这是经过上百万次试验取得的理论数据.但某人只掷20次,正面出现的频率为$\frac{13}{20}$,反面出现的频率仅为$\frac{7}{20}$.频率随着试验次数的增加,会趋向于概率.在处理具体的随机事件时,用概率作指导,以频率为依据.
如果随机事件$A$在$n$次重复试验中发生了$m$次,那么称事件$A$出现的比例$f_{n}(A)=\frac{m}{n}$为事件A出现的频率.如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率$f_{n}(A)$稳定在某个常数$P(A)$附近,那么称$P(A)$为事件$A$发生的概率.
概率是随机事件发生的可能性大小的度量,是随机事件自身的一个属性.频率是通过反复试验“测量”出来的,当试验次数相当大时,频率就会“靠近”概率.
2.教材中的“思考与讨论”
“某彩票的中奖概率为 $\frac{1}{1000}$是否意味着买1 000张彩票就一定能中奖?
剖析:买1 000张彩票相当于做1 000次试验,结果可能是一次奖也没中,或多次中奖,故“彩票中奖概率为 $\frac{1}{1000}$”并不意味着买1 000张彩票就一定能中奖,这一数据只是一个理论上的可能性的大小.
概率概念的理解
【例1】 有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是$\frac{1}{6}$,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”
对此说法,在同学中出现了两种不同的看法:
一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是$\frac{1}{6}$,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率$P=\frac{1}{6} \times 6=1$,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.
还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出什么理由.
你认为这种说法对吗?请说出你的理由.
分析:正确理解随机事件概率的意义是解此题的关键.
反思
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律性在数量上的反映,认识了这种随机中的规律性,可以帮助我们预测事件发生的可能性的大小.但对一定数量n次的试验来说,某事件发生的频率并不一定与概率完全相同.
【变式训练1】 试从概率的角度解释下列说法的含义:
(1)某工厂生产的产品合格的概率是0.9;
(2)某种病的治愈率是0.3,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈率是0.3?
(3)据报道:某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震.在这里,“千年一遇”是什么意思?
随机事件的频率与概率
【例2】 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
投篮次数$n$
8
10
12
9
10
16
进球次数$m$
6
8
9
7
7
12
进球频$\frac{m}{n}$
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次进球的概率大约是多少?
反思
频率是利用频数m除以总试验次数n所得到的确定的数值,而概率是频率的稳定值,因此频率是一个精确值,而概率是一个估计值,根据这两点来区分频率与概率,从而判断所给的数值是频率还是概率,也可以利用频率的稳定值来估计概率.
【变式训练2】 下面是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表.
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
640
1 340
1 806
2 715
发芽的频率
(1)完成上面表格.
(2)这种油菜籽发芽的概率约是多少?
【例3】 为了解学生身高情况,某校以10$\%$的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查,测得身高情况的统计图如图所示.
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185 cm之间的概率.
反思
题目给出了男生与女生的分布图,在求概率时应将女生的有关数据也计算在内,不能遗漏.
【变式训练3】 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到试验结果如表格所示:
试分别估计用A配方、B配方生产的产品为优质品的概率.
真题
真题
1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n),则随着n的逐渐增大,有( )
A.$f(n)$与某个常数相等
B.$f(n)$与某个常数的差逐渐减小
C.$f(n)$与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D.$f(n)$在某个常数的附近摆动并趋于稳定
2.抛掷一枚均匀硬币出现“正面向上”的概率为0.5是指( )
A.正面向上的可能性是50$\%$
B.在100次抛掷中恰有50次正面向上
C.无论抛掷多少次,总有50次正面向上
D.以上说法都不正确
3.若随机事件A发生的频率是0.15,如果事件A在某项试验中共发生了30次,那么可能一共进行了_________次试验.
4.某商品的合格率为99.9$\%$,某单位购买此商品1 000件,他们认为1 000件中一定有一件是不合格的.这种认识是_________(填“合理”或“不合理”)的.
5.一个盒子中装有十张分别标上数字1,2,…,10的卡片,现有放回地取100次,每次取一张卡片并记下数字,统计结果见下表:
卡片数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到数字为奇数的概率约为多少?
