高中数学网三角函数的定义
2.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,并知道三角函数在各象限内的符号.
3.使学生认识到现在三角函数的定义是初中所学锐角三角函数的推广,加深对从特殊到一般的认识规律的理解.
1.三角函数的定义和定义域
在平面直角坐标系中,设角α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是
三角函数
定义
定义域
名称
$\sin \alpha$
$\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{r}}$
$\mathbf{R}$
正弦
$\cos \alpha$
$\frac{x}{r}$
$\mathbf{R}$
余弦
$\tan \alpha$
$\frac{y}{x}$
$\left\{\alpha | \alpha \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$
正切
$\sec \alpha$
$\frac{r}{x}$
$\left\{\alpha | \alpha \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$
正割
$\csc \alpha$
$\frac{r}{y}$
$\{\alpha | \alpha \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}\}$
余割
$\cot \alpha$
$\frac{x}{y}$
$\{\alpha | \alpha \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}\}$
余切
归纳总结
由定义可知,这六个比值的大小与在终边上所取的点P的位置无关,只与角$\alpha$的大小有关,即它们都是以角$\alpha$为自变量,以比值为函数值的函数.定义中的$\alpha$是任意角,但对于一个确定的角,只要各个三角函数有意义,其值就是唯一的.另外,还应注意到此处定义三角函数的方法是坐标法,这与初中所学的在直角三角形中的定义相统一.【做一做1-1】 若角$\theta$的终边过点$P(a, 8)$),且$\cos \theta=-\frac{3}{5}$则$a$的值是( )
A.6 B.-6
C.10 D.-10
解析:由任意角的三角函数的定义可知$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8^{2}}}=-\frac{3}{5}$,解得$a=\pm 6$.显然$a=6$时不成立,所以$a=-6$.
答案:B
【做一做1-2】 若角$\theta$终边上有一点$P(-2,0)$,则下列函数值不存在的是( )
$\operatorname{A.sin} \alpha \quad \mathrm{B} \cdot \cos \alpha$
C.tan $\alpha \quad$ D.cot $\alpha$
答案:D
2.三角函数在各象限的符号
(1)用图形表示,如图所示.
(2)用表格表示,如下表.
α的
终边
位置
x轴
正半轴
第一
象限
y轴
正半轴
第二
象限
x轴
负半轴
第三
象限
y轴
负半轴
第四
象限
$\sin \alpha$
0
+
1
+
0
-
-1
-
$\cos \alpha$
1
+
0
-
-1
-
0
+
$\tan \alpha$
0
+
不存在
-
0
+
不存在
-
归纳总结
三角函数值在各象限的符号可简记为:“一全正,二正弦,三两切,四余弦,正、余割同余、正弦”,即第一象限角的正弦、余弦、正切、余切值都为正;第二象限角的正弦值为正;第三象限角的正切、余切值为正;第四象限角的余弦值为正;角的正割、余割的符号与角的余弦、正弦的符号相同.【做一做2-1】 若$\sin \theta \cos \theta>0$,则角$\theta$的终边在( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.第二、四象限
解析:由$\sin \theta \cos \theta>0$,可知若$\sin \theta \cos \theta>0$,则$\cos \theta>0$,则角$\theta$的终边位于第一象限;若$\sin \theta < 0$,则$\cos \theta < 0$,则角$\theta$的终边位于第三象限.
综上可知,角$\theta$的终边位于第一或第三象限.
答案:B
【做一做2-2】 已知点$P(\tan \alpha, \cos \alpha)$在第三象限,则角$\alpha$的终边在第 象限.
解析:因为点$P(\tan \alpha, \cos \alpha)$在第三象限,
所以$\tan \alpha < 0, \cos \alpha < 0$.
所以角α的终边在第二象限.
答案:二
锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程
剖析角的概念推广后,我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数.
如图所示,射线$OP$在第一象限,$P(x, y)$是该射线上的任意一点,$M P \perp O x$于点M,记$\angle M O P=\alpha$,则$O M=x , M P=y$,
$r=O P=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0$.由锐角三角函数的定义知,$\sin \alpha=\frac{y}{r}, \cos \alpha=\frac{x}{r}, \tan \alpha=\frac{y}{x}$.
下面我们来研究任意角的三角函数.
如图所示,已知任意角$\alpha$,以角$\alpha$的顶点$O$为坐标原点,以角$\alpha$的始边的方向作为$x$轴的正方向,建立直角坐标系$x O y$.
在角$\alpha$的终边上取点$A$,使$OA=1$,设点$A$的坐标为$(l,m)$,再任取一点$P(x,y)$,设$O P=r(r \neq 0)$,由相似三角形的对应边成比例,得$\frac{|x|}{r}=|l|, \frac{y |}{r}=|m|, \frac{|y|}{|x|}=\frac{|m|}{|l|}$
因为点$A,P$在同一象限内,所以它们的坐标符号相同.
因此$\frac{x}{r}=l, \frac{y}{r}=m, \frac{y}{x}=\frac{m}{l}$,不论点$P$在终边上的位置如何,它们都是定值,只依赖于$\alpha$的大小,与点P在$\alpha$终边上的位置无关.我们定义$\cos \alpha=\frac{x}{r}, \sin \alpha=\frac{y}{r}, \tan \alpha=\frac{y}{x}$.
由图可以看出,当$\alpha$为锐角时,上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的,这样就把锐角三角函数推广为任意角的三角函数.
名师点拨1.角的正弦、余弦、正切可分别看成一个角的集合到一个比值的集合的映射.它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,称为三角函数.
2.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点$P(x,y)$在终边上的位置无关,而由角$\alpha$的终边的位置决定.对于确定的角$\alpha$,其终边的位置也唯一确定.因此,三角函数是角的函数.
题型一 三角函数的定义
【例1】 已知角$\theta$终边上一点$P(x, 3)(x \neq 0)$,且$\cos \theta=\frac{\sqrt{10}}{10} x$,求$\sin \theta, \tan \theta$的值.
分析充分利用正弦函数、余弦函数的定义,并注意分类讨论.
反思
当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.
【变式训练1】 已知角$\alpha$的终边经过点$P(-4 a, 3 a)(a \neq 0)$,求$\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$的值.
题型二 判断三角函数值的符号
【例2】 判断下列三角函数值的符号:
(1)$\frac{\cos \theta}{\sin \theta}(\theta$为第二象限的角);
(2)$\sin 3 \cdot \cos 4 \cdot \tan 5 \cdot \cot 6$.
分析确定一个角的某一三角函数值的符号,关键要看角的终边在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察构成该式的特点及每部分的符号.
反思这里的sin3就是“sin3(rad)”,将弧度省略了.在第(1)小题中解题的关键是分别判断出$\sin \theta_{ ,} \cos \theta$的符号.
【变式训练2】 下列各三角函数值:①$\sin 1125^{\circ}$;②$\tan \frac{37 \pi}{12} \cdot \sin \frac{37 \pi}{12}$;③$\frac{\sin 4}{\tan 4}$;④$\sin 1+\cos 1$.其中为负值的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型三 三角函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域:
$(1) y=\sqrt{\sin x \cdot \tan x}$
$(2) y=\lg \sin x+\sqrt{9-x^{2}}$
分析根据三角函数的定义,并结合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可.
反思
求解含有三角函数式的函数的定义域问题,和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的,即通过列不等式或不等式组,然后解不等式或不等式组,最后写出函数的定义域.凡涉及三角函数的定义域问题,在求解时,必须考虑到三角函数本身一定要有意义.在求一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以通过取特殊值或画数轴的方法来解决.
【变式训练3】 函数$y=\frac{1}{\sqrt{-\sin x}}$的定义域是________.
真题
1.已知点$P(x, 4)$是角$\theta$终边上一点,且$\tan \theta=\frac{2}{5}$,则$x$的值为( )
A.10 B.$\frac{4}{5}$ C.-10 D.$-\frac{1}{5}$
2.若点$(a, 9)$在函数$y=3^{x}$的图象上,则$\tan \frac{a \pi}{6}$的值为 ( )
A.0 $\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ C.1 $\mathrm {D} . \sqrt{3}$
3.下列函数中,与函数$y=\tan \alpha$有相同定义域的个数为( )
①$y=\frac{1}{\cot \alpha}$;②$y=\sec \alpha$;③$y=\csc \alpha$;④$y=\frac{1-\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.点($\cos 2017^{\circ}, \sin 2017^{\circ}$)位于第________象限.
5.若角$\alpha$的终边过点$P(3 \cos \theta,-4 \cos \theta)(\theta$为第二象限的角),则$\sin \alpha=$________.
6.求函数$y=\frac{\sqrt{\sin x}+\lg \cos x}{\tan x}$的定义域.
