高中数学网正弦型函数y=Asin(ωx+φ)
2.会求函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的周期、频率与振幅.
3.结合具体实例,了解$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的实际意义,并且了解$y=A \sin (\omega x+\varphi)$中参数$\mathrm{A}, \omega, \varphi$对函数图象变化的影响以及它们的物理意义.
4.会求函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的有关性质.
1.正弦型函数的概念
形如$y=A \sin (\omega x+\varphi)$(其中$A, \omega, \varphi$都是常数)的函数,通常叫做正弦型函数.当函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0, x \in(0,+\infty))$表示一个振动量时,则A称为振幅;$T=\frac{2 \pi}{\omega}$称为这个振动的周期;单位时间内往复振动的次数f$f=\frac{1}{T}$称为频率;$\omega x+\varphi$称为相位;当x=0时,相位$\varphi$称为初相.
一般地,函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$(其中$A, \omega, \varphi$为常数,且$A \neq 0, \omega>0$)的周期$T=\frac{2 \pi}{\omega}$.
【做一做1-1】 函数$f(x)=\sqrt{3} \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right), x \in \mathbf{R}$的最小正周期为( )
$\mathrm{A} \cdot \frac{\pi}{2}$ $\mathrm{B} . \pi$ $\mathrm{C.} 2 \pi$ $\mathrm{D} .4 \pi$
解析:$T=\frac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4 \pi$
答案:D
【做一做1-2】 函数$y=2017 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{6}\right)$的振幅为________,周期为________,初相为________.
答案:2017$\quad \frac{2 \pi}{3} \quad \frac{\pi}{6}$
2.正弦型函数的图象变换
(1)相位变换.
$y=\sin x$的图象y=sin(x+φ)的图象
$y=\sin (x+\varphi)$的图像(2)周期变换.
$y=\sin x$的图象y=sin ωx的图象
$y=\sin \omega x$的图像(3)振幅变换.
$y=\sin x$的图象y=Asin x的图象
$y=A \sin x$的图像(4)$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的图象可以这样得到:
【做一做2-1】 要得到$y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$的图象,只要将$y=\sin 2 x$的图象( )
A.向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位 B.向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位
C.向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位 D.向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位
解析:$\because y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]$,
$\therefore$把$y=\sin 2 x$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位就能得到$y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$的图象.
答案:D
【做一做2-2】 先将函数y=sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为________.
解析:
$y=3 \sin \left[\frac{1}{3}\left(x-3\right)\right]=3 \sin \left(\frac{1}{3} x-1\right)$
答案:$y=3 \sin \left(\frac{1}{3} x-1\right)$
3.正弦型函数的性质
根据函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$的图象,我们可以得到函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$的性质:
(1)定义域:$R$.
(2)值域:$[-A, A]$.
当$\omega x+\varphi=2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,即$x=\frac{\pi}{2 \omega}-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{2 k \pi}{\omega}(k \in \mathbf{Z})$时,$\mathcal{y}$取得最大值$A$;
当$\omega x+\varphi=2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}(k \in Z)$,即$x=\frac{3 \pi}{2 \omega}-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{2 k \pi}{\omega}(k \in \mathbf{Z})$时,$\mathcal{y}$取得最小值$-A$
(3)单调性:
当$-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \omega x+\varphi \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z)$,即$x \in\left[-\frac{\pi}{2 \omega}-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{2 k \pi}{\omega}, \frac{\pi}{2 \omega}-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{2 k \pi}{\omega}\right](k \in \mathbf{Z})$时,函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$为增函数;
当$\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \omega x+\varphi \leq \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi(k \in Z)$),即$x \in\left[\frac{\pi}{2 \omega}-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{2 k \pi}{\omega}, \frac{3 \pi}{2 \omega}-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{2 k \pi}{\omega}\right](k \in \mathbf{Z})$时,函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$为减函数.
(4)奇偶性:当$\varphi=k \pi(k \in \mathbf{Z})$时,为奇函数;当$\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$时,为偶函数.
(5)周期性:$T=\frac{2 \pi}{\omega}$.
(6)对称性:直线$x=\frac{\pi}{2 \omega}-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{k \pi}{\omega}(\mathrm{k} \in Z)$都是其对称轴;点$\left(-\frac{\varphi}{\omega}+\frac{k \pi}{\omega}, 0\right)(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$为其对称中心.
【做一做3】 已知函数$y=2017 \sin \omega x(\omega>0)$的图象与直线$y+2 \quad 017=0$的相邻的两个公共点间的距离为$\frac{2 \pi}{3}$,则$\omega$的值为 ( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A.} 3} & {\mathrm{B} \cdot \frac{3}{2}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{2}{3}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{1}{3}}\end{array}$
解析:函数$y=2017 \sin \omega x$的最小值是$-2017$,它与直线$y+2017=0$的相邻的两个公共点之间的距离为一个周期.由$\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{3}$ ,得$\omega=3$.
答案:A
正弦型函数
1.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$)的图象,并熟悉其变换过程.
2.会求函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的周期、频率与振幅.
3.结合具体实例,了解$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的实际意义,并且了解$y=A \sin (\omega x+\varphi)$中参数$\mathrm{A}, \omega, \varphi$对函数图象变化的影响以及它们的物理意义.
4.会求函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的有关性质.
题型一 作正弦型函数的图象
【例1】 用五点法作出函数$y=2 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)+3$的图象,并指出它的周期、频率、初相、最值及单调区间.
分析先画出函数$y=2 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)+3$在一个周期内的图象,再向两端无限延展即可.
反思
用五点法作正弦型函数图象中的五个点,有三个点位于平衡位置,有一个点是最高点,有一个点是最低点,所以相邻两个点的横坐标相差$\frac{1}{4}$个周期.因此,找出一个点后,可依次把横坐标加上$\frac{1}{4}$个周期,从而得到其他点的横坐标.
【变式训练1】 用“五点法”画出$y=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right) x \in \mathbf{R}$的图象
题型二 正弦型函数的图象变换
【例2】 试用两种方法说明由函数$y=\sin x$的图象变换得到函数$y=5 \sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right)$的图象的全过程.
分析思路一:先变相位,再变周期,最后变振幅,即$y=\sin x \rightarrow y=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right) \rightarrow y \\ =\sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right) \rightarrow y =5 \sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right)$
思路二:先变周期,再变相位,最后变振幅,即$y=\sin x \rightarrow y=\sin \frac{1}{2} x \rightarrow y \\ =\sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right) \rightarrow y =5 \sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right)$
反思
对于函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$,应明确$A, \omega$决定“形变”,$\varphi$决定“位变”,$A$影响值域,$\omega$影响周期,$A, \omega, \varphi$影响单调性.当选用“伸缩在前,平移在后”的变换顺序时,一定要注意针对$x$的变化,函数图象向左或向右平移$\left|\frac{\varphi}{\omega}\right|$个单位长度.
【变式训练2】 (1)如何由函数$y=\sin x$的图象得到函数$y=\sin \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{4}\right)$的图象?
(2)如何由函数$y=\frac{1}{3} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$的图象得到函数$y=\sin x$的图象?
题型三 由函数图象求解析式
【例3】 如图是函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$的图象,确定$A, \omega, \varphi$的值,并写出一个函数解析式.
分析可采用起始点法、最值点法、图象变换法来确定函数的解析式.
反思
通过本题的解决,我们认识到:解决同一个问题,可以有多种途径,大家在做题时,要注意发散思维,这样才能做到举一反三.
【变式训练3】 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为( )
A. $y=2 \sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$
B. $y=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$
C. $y=2 \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$
D. $y=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$
题型四 正弦型函数的综合应用
【例4】 若函数$f(x)=\sqrt{5} \sin (2 x+\varphi)$对任意$x$都有$f\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=f\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$.
(1)求$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$的值;
(2)求$\varphi$的最小正值;
(3)当$\varphi$取最小正值时,若$x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$,求$f(x)$的最大值和最小值.
分析$f(x)$对任意x都有$f\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=f\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$,意味着$f(x)$图象的一条对称轴为$x=\frac{\pi}{3}$,以此为切入点求出$\varphi$,再利用图象及性质求最值.
反思
1.记住一个重要结论:对于函数$f(x)$来说,若总有$f(a+x)=f(a-x)$,则该函数图象关于直线$x=a$对称.
2.求$f(x)$的最值时,注意定义域的作用.
【变式训练4】 已知函数$f(x)=2 \sin \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{3}+\varphi\right)$.
(1)若$f(x)$是奇函数,求φ的值;
(2)当$\varphi=-\frac{\pi}{6}$时,求$f(x)$的单调区间.
解:(1)因为$f(x)$是奇函数,
所以$\frac{\pi}{3}+\varphi=k \pi(k \in \mathbf{Z})$,
解得$\varphi=k \pi-\frac{\pi}{3}(k \in \mathbf{Z})$.
题型五 易错辨析
易错点:弄错图象平移的方向致错
【例5】 要得到$y=\sin 4 x$的图象,只需把$y=\sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)$的图象( )
A.向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
B.向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
C.向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度
D.向右平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度
【变式训练5】 要得到函数$y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$的图象,只要将函数$y=\sin 2 x$的图象( )
A.向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度
B.向右平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度
C.向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度
D.向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度
真题
1.已知简谐运动$f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{3} x+\varphi\right)\left(|\varphi| \leq \frac{\pi}{2}\right)$的图象经过点$(0,1)$,则该简谐运动的最小正周期$T$和初相$\varphi$分别为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } T=6, \varphi=\frac{\pi}{6}} & {\text { B. } T=6, \varphi=\frac{\pi}{3}} \\ {\text { C.T }=6 \pi, \varphi=\frac{\pi}{6}} & {\text { D.T }=6 \pi, \varphi=\frac{\pi}{3}}\end{array}$
2.把函数$y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$的图象向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,纵坐标不变,则所得图象的函数解析式是( )
$\mathrm{A} . y=\sin \left(4 x+\frac{3 \pi}{8}\right) \mathrm{B} \cdot y=\sin \left(4 x+\frac{\pi}{8}\right)$
$\mathrm{C} \cdot y=\sin 4 x \quad$ D. $y=\sin x$
3.函数$f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(x \in \mathbf{R})\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$的部分图象如图所示,若$x_{1,} x_{2} \in\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$,且$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$,则$f\left(x_{1}+x_{2}\right)=$( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} & {\mathrm{D.} 1}\end{array}$
4.函数$f(x)=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$,在$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right]$上的最大值和最小值分别是________.
5.已知函数$f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A, \omega, \varphi$为常数,$A>0, \omega>0 )$的部分图象如图所示,则$f(0)$的值是________.
6.已知函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$(注:$\omega x+\varphi$称为相位).
(1)若$A=3, \omega=\frac{1}{2}, \varphi=-\frac{\pi}{3}$,作出该函数在一个周期内图象的草图;
(2)若$y$表示一个振动量,其振动频率是$x=\frac{\pi}{24}$,当$x=\frac{\pi}{24}$时,相位是$\frac{\pi}{3}$,求$\omega$与$\varphi$.
