数乘向量

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.掌握数乘向量的定义,并理解其几何意义.
2.掌握数乘向量的运算律.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识点
  • 1.数乘向量

    (1)实数$\lambda$和向量$a$的乘积是一个向量,记作$\lambda \mathbf{a}, \lambda \mathbf{a}$的长度$|\lambda \mathbf{a}|=|\lambda||\mathbf{a}|$.若$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$,当$\lambda>0$时,$\lambda a$的方向与$a$的方向相同;当$\lambda < 0$时,$\lambda a$的方向与$a$的方向相反.当$\lambda=0$或$a=0$时,$0 \mathbf{a}=0$或$\lambda \mathbf{0}=\mathbf{0}$.

    (2)向量数乘的几何意义:把向量$a$沿着$a$的方向或a的反方向放大或缩小.

    (3)数乘向量的运算律.

    设$\lambda, \mu$为实数,则①$(\lambda+\mu) \mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{a}$;②$\lambda(\mu \mathbf{a})=(\lambda \mu) \mathbf{a}$;③$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}$.

    名师点拨

    1.数乘向量与实数的乘法是有区别的,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.特别要注意当$\lambda=0$时,$\lambda \mathbf{a}=\mathbf{0}$,此处最容易出现的错误是将实数$0$与向量$0$混淆,错误地表述成$\lambda \mathbf{a}=0$.

    2.要注意实数与向量可以相乘,但是不能进行加减运算,如$\lambda+a, \lambda-a$是无意义的.

    【做一做1-1】 化简$(-2) \cdot 3 \mathbf{m}-4(\mathbf{n}-2 \mathbf{m})$的结果为 (  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot-14 \mathrm{m}-4 \mathrm{n}} & {\mathrm{B} .-6 \mathrm{m}-4 \mathrm{n}} \\ {\mathrm{C.} 2 \mathrm{m}-4 \mathrm{n}} & {\mathrm{D.} 4 \mathrm{n}+2 \mathrm{m}}\end{array}$

    解析:原式$=6 m-4 n+8 m=2 m-4 n$.

    答案:C

    【做一做1-2】 若$|\mathbf{a}|=3, \mathbf{b}$与$a$的方向相反,且$|\mathbf{b}|=5$,则$a=$________$b$. 

    解析:$\because \mathbf{b}$与$a$的方向相反,且$|\mathbf{a}|=\frac{3}{5}|\mathbf{b}|, \therefore \mathbf{a}=-\frac{3}{5} \mathbf{b}$.

    答案:$-\frac{3}{5}$ 

  • 2.向量的线性运算

    向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算.

    【做一做2-1】 已知AM是$\triangle A B C$的边BC上的中线,若 $\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A C}=\mathbf{b}$,则$\overrightarrow{A M}$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2}(\mathbf{a}-\mathbf{b})} & {\mathrm{B} \cdot \frac{1}{2}(\mathbf{b}-\mathbf{a})} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})} & {\mathrm{D} \cdot-\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})}\end{array}$  

    答案:C 

    【做一做2-2】 已知$\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$,则($\overrightarrow{D E}=$________$\overrightarrow{B C}$.             

    解析:$\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \\ =\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$

    答案:$\frac{2}{3}$      

重难点
  • 1.数乘向量的几何意义

    剖析数乘向量的几何意义就是把向量$a$沿着$a$的方向或$a$的反方向放大或缩小.若$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$,当$\lambda>1$时,沿$a$的方向放大为原来的$\lambda$倍;当$0<\lambda < 1$时,沿$a$的方向缩小为原来的λ倍;当$\lambda<-1$时,沿$a$的反方向放大为原来的$|\lambda|$倍;当$-1<\lambda < 0$时,沿$a$的反方向缩小为原来的$|\lambda|$倍.由其几何意义可以看出,用数乘向量能解决几何中的相似问题.

  • 2.教材中的“思考与讨论”

    把例3中的数3改为任意实数k,你是否还能解这个问题?回想一下初中学过的相似三角形的判定定理,例3的结论与判定定理有什么关系?

    剖析若$\overrightarrow{O A^{\prime}}=k \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=k \overrightarrow{A B}$,则$\overrightarrow{O B^{\prime}}  =\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=k \overrightarrow{O A}+k \overrightarrow{A B} \\ =k(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B})=k \overrightarrow{O B}$,

    当$k=0$时,$\overrightarrow{O B^{\prime}}=0 \overrightarrow{O B}=0$,此时$B^{\prime}$与$O, A^{\prime}$重合;

    当$k \neq 0$时,$\overrightarrow{O B^{\prime}}$与$\overrightarrow{O B}$共线,长度是$\overrightarrow{O B}$的$|k|$倍.

    这一结论可以认为是相似三角形判定定理的向量形式,其反映的本质是一样的.

例题解析
  • 题型一 概念辨析题

    【例1】 已知$a,b$是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.

    (1)$-2a$与$a$是共线向量,且$-2a$的模是$a$的模的2倍;

    (2)$3a$与$5a$的方向相同,且3a的模是5a的模的$\frac{3}{5}$;                      (3)$-2a$与$2a$是一对相反向量;

    (4)$a-b$与$-(b-a)$是一对相反向量.

    分析根据数乘向量与相反向量的定义判断.

    反思

    解答本题的过程中易把$a-b$与$-(b-a)$当作相反向量,导致此种错误的原因是不能正确运用数乘向量的运算律进行转化.

    【变式训练1】 下列命题中不正确的是(  )

    A.若实数$\lambda, \mu$满足$\lambda \mu>0, \mathbf{a} \neq 0$,则$\lambda a$与$\mu a$的方向相同

    B.若$|\mathbf{a}|=4|\mathbf{b}|$,且$a$与$b$反向,则$a=-4b$

    C.若$\lambda \mathbf{a}=\mathbf{0}$,则必有实数$\lambda=0$

    D.若$a$为非零向量,且$m \mathbf{a}=n \mathbf{a}$,则必有$m=n$

    解析:当$\lambda \mathbf{a}=\mathbf{0}$,则$\lambda=0, \mathbf{a} \neq \mathbf{0}$或$\lambda \neq 0, \mathbf{a}=\mathbf{0}$或$\lambda=0, \mathbf{a}=\mathbf{0}$,所以$C$选项不正确,其余各项均正确.

    答案:C

  • 题型二 向量的线性运算

    (2)解方程:$(x-a)-(a-x-2 b)=0$.

    分析解答本题可先去括号,再合并、化简求解.

    反思

    向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用.在运算过程中,要注意多观察,恰当分组,简化运算.

    【变式训练2】 化简下列各式:

    $(1) \frac{1}{2}(4 \mathbf{a}-8 \mathbf{b})-\frac{1}{4}(2 \mathbf{a}+4 \mathbf{b})$

    $(2) \frac{1}{3}(\mathbf{a}+2 \mathbf{b})+\frac{1}{4}(3 \mathbf{a}-2 \mathbf{b})-\frac{1}{2}(\mathbf{a}-\mathbf{b})$

    $(3)(\lambda-\mu)(\mathbf{a}+\mathbf{b})-(\lambda+\mu)(\mathbf{a}-\mathbf{b})$

  • 题型三 向量之间的线性表示

    【例3】 如图,在梯形$ABCD$中,$A B / / C D$,且$A B=2 C D, M, N$分别是$DC$和$AB$的中点,若$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a} \cdot \overrightarrow{A D}=\mathbf{b}$,试用$a,b$表示$\overrightarrow{B C}$ 和$\overrightarrow{M N}$.

    blob.png

    分析解答本题,首先考虑平行向量及向量加减的平行四边形法则和三角形法则,整理变形,然后求解.

    反思

    在求向量时,要尽可能地把未知向量转化到平行四边形或三角形中,运用向量的加法、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

    【变式训练3】在$\triangle A B C$中,点$D$在边$BC$上,且$B D=2 D C$,则$\overrightarrow{A D}$用$\overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{A C}$可表示为_______. 

  • 题型四 向量线性运算的综合应用

    【例4】 若$M$是$\triangle A B C$所在平面内的一点,且有$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=0$,求证:M是$\triangle A B C$的重心.

    分析将向量表达式变形,结合向量加法的平行四边形法则以及重心的特征证明.

    反思

    $M$是$\triangle A B C$的重心$\Leftrightarrow \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=0$,这是一个非常重要、应用广泛的结论,应熟记.

    【变式训练4】 已知$O$是平面上一定点,$A,B,C$是平面上不共线的三个点,动点$P$满足$\overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}+\lambda \overrightarrow{A P} \quad, \lambda \in(0,+\infty)$,则点P的轨迹一定通过$\triangle A B C$的(  )

    A.外心  B.内心

    C.重心  D.垂心

  • 真题

    1.如图,$D$是$\triangle A B C$的边$AB$的中点,则向量$\overrightarrow{C D}$等于(  )

    blob.png

    $\mathrm{A} \cdot \overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}$

    $\mathrm{B}- \cdot \overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}$

    $\mathrm{C} -\cdot \overrightarrow{B C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}$

    $\mathrm{D} \cdot \overrightarrow{B D}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}$


    2.设P是$\triangle A B C$所在平面内的一点,且$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}=3 \overrightarrow{B P}$,则(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P A}=0} & {\mathrm{B.PB}+\overrightarrow{P C}=0} \\ {\mathrm{C} \cdot \overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P A}=0} & {\mathrm{D} \cdot \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=0}\end{array}$

    3.化简$: \frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}(2 a+8 b)-(4 a-2 b)\right]=$________. 


    4.若$2\left(x-\frac{1}{3} a\right)-\frac{1}{2}(\mathbf{b}-3 \mathbf{x}+\mathbf{c})+\mathbf{b}=0$,其中$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$为已知向量,则未知向量x=________.

    5.如图,已知 $\overrightarrow{O A}=3 e_{1}, \overrightarrow{O B}=3 e_{2}$.

    blob.png

    (1)如图①,$C,D$为$AB$的三等分点,求$\overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O D}$;

    (2)如图②,$C,D,E$为$AB$的四等分点,求$\overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O E}$.

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