向量的加法

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.掌握向量加法的运算,并理解其几何意义.
2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围,并能应用向量加法的运算律进行相关运算.
知识点
  • 1.向量加法的三角形法则

    已知向量$a,b$(如图),在平面上任取一点$A$,作$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{b}$,再作向量$\overrightarrow{A C}$,则向量$\overrightarrow{A C}$叫做$a$与$b$的和(或和向量),记作$a+b$,即$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$.上述求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.

    blob.png

    名师点拨

    应用向量加法的三角形法则,关键是要做到“首尾相接”,即将向量$b$平移,使其始点与另一向量$a$的终点重合,则以向量$a$的始点为始点,以向量$b$的终点为终点的向量就是向量$a$与$b$的和.

    【做一做1】 在$\triangle A B C$中,$\overrightarrow{A C}=\mathbf{a}, \overrightarrow{C B}=\mathbf{b}$,则a+b等于(  )

    $A \overrightarrow{C A}$   $\mathrm{B}. \overrightarrow{B C}$   $\mathrm{C} . \overrightarrow{A B}$ $\mathrm{D} . \overrightarrow{A C}$

    答案:C

  • 2.向量求和的平行四边形法则

    已知两个不共线向量$a,b$(如图),作$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A D}=\mathbf{b}$,则$A,B,D$三点不共线,以$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$为邻边作平行四边形$ABCD$,则对角线上的向量$\overrightarrow{A C}=a+b$,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

    blob.png

    【做一做2】 在四边形$ABCD$中,$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$,则四边形$ABCD$是(  )

    A.梯形  B.矩形

    C.正方形  D.平行四边形

    答案:D

  • 3.向量求和的多边形法则

    已知$n$个向量,依次把这$n$个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第$n$个向量的终点为终点的向量叫做这$n$个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.

    【做一做3】 在五边形$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$中,$\overrightarrow{A_{1} A_{3}}+\overrightarrow{A_{3} A_{5}}+\overrightarrow{A_{5} A_{2}}+\overrightarrow{A_{2} A_{4}}=$=_________.

    解析:原式$=\overrightarrow{A_{1} A_{5}}+\overrightarrow{A_{5} A_{4}}=\overrightarrow{A_{1} A_{4}}$ 

    答案:$\overrightarrow{A_{1} A_{4}}$

    名师点拨

    1.多边形法则适用于两个或两个以上的向量和的计算,三角形法则是多边形法则的特殊情形;

    2.$n$个向量的和仍是一个向量;

    3.多边形法则的要领是“首尾相连,首是首,尾是尾”,与向量加法的三角形法则相同.

    4.向量加法的运算律

    (1)交换律:$a+b=b+a$;

    (2)结合律:$(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$.

    【做一做4-1】 在blob.png,$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{B D}$等于(  )

    $\mathrm{A} .\overrightarrow{A B}$ $B . \overrightarrow{B D}$ $\mathrm{C}. \overrightarrow{B C}$    $D . \overrightarrow{C D}$

    答案:D

    【做一做4-2】 下列等式不正确的是(  )

    $A \cdot c+d=d+c$

    $\mathrm{B} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D B}$

    $\mathrm{C}. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=2 \overrightarrow{A B}$

    $\mathrm{D} . \mathrm{a}+(\mathrm{a}+\mathrm{b})=(\mathrm{a}+\mathrm{a})+\mathrm{b}$

    答案:C

重难点
  • 1.对向量加法的理解

    剖析(1)两个向量的和仍是一个向量.

     (2)当两个非零向量$a$与$b$不共线时,$a+b$的方向与$a,b$的方向都不相同,且$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|<|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$,这是三角形两边之和大于第三边的向量表示.

    (3)特殊位置关系的两个向量的和.

    ①当向量$a$与$b$共线且方向相同时,$a+b$的方向与$a$(或$b$)的方向相同,且$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$,如图所示:

    blob.png

    ②当向量$a$与$b$反向且$|\mathbf{a}|<|\mathbf{b}|$时,$a+b$的方向与$b$的方向相同(与$a$的方向相反),且$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|-|\mathbf{a}|$,如图所示:

    blob.png

    名师点拨

    1.三角形法则和平行四边形法则是求向量和的基本方法.但在应用上也有区别,求两个向量的和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时,则用向量加法的平行四边形法则.

    2.当两个向量不共线时,求和的三角形法则和平行四边形法则是一致的.当两个向量共线时,平行四边形法则就不适用了.

  • 2.向量加法与实数加法的异同

    剖析讨论两种运算的异同,主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析.

    (1)运算法则:向量加法法则是三角形法则或平行四边形法则,可以用有向线段的连接来表示;实数的加法法则是数的运算.

    (2)运算结果:向量的和还是向量,实数的和还是实数.

    (3)运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律;向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证;向量加法的结合律可以用三角形法则来验证:

    blob.png

    如图,作$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{b}, \overrightarrow{C D}=\mathbf{c}$,连接AC,BD,AD,

    则$\overrightarrow{A C}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \overrightarrow{B D}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$.

    $\because \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$

    $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}$

    $\therefore(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$

    (4)运算的几何意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.

  • 3.教材中的“思考与讨论”

    在求作两个向量和时,你可能选择不同的始点求和,你有没有想过,选择不同的始点作出的向量和都相等吗?你可能认为,显然,作出的向量和都是相等的.当然,这里你的“显然”是对的.你能根据下图逻辑地证明这个结论吗?

    blob.png

    剖析如图所示,将向量$\overrightarrow{A B}$平移到向量$\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$,则$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$同理$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B^{\prime} C^{\prime}}$.由$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$知,四边形$A A^{\prime} B^{\prime} B$为平行四边形,则$A A^{\prime} \square B B^{\prime}$,由$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B^{\prime} C^{\prime}}$,知四边形$B B^{\prime} C^{\prime} C$是平行四边形,则$B B^{\prime} \square C C^{\prime}$,所以$A A^{\prime} \square C C^{\prime}$,即四边形$A A^{\prime} C^{\prime} C$为平行四边形,则$A C \square A^{\prime} C^{\prime}$.又$\overrightarrow{A C}$与$\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}$的方向相同,所以$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}$.故选择不同的始点作出的向量和都相等.

例题解析
  • 题型一  对向量加法两种运算法则的理解

    【例1】 已知点$O$是blob.png对角线的交点,则下列结论中正确的是(  )

    A. $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}$

    B. $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$

    C. $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C D} \neq \overrightarrow{B D}$

    D. $\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D} \neq 0$

    分析按照向量加法的运算法则进行分析判断. 

    【变式训练1】 若向量$a,b,c$满足$a+b+c=0$,则$a,b,c$(  )

    A.一定能构成一个三角形

    B.一定不能构成一个三角形

    C.都是非零向量时,一定能构成三角形

    D.都是非零向量时,也可能无法构成三角形

  • 题型二 向量的加法运算

    【例2】 化简下列各式:

    (1) $\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B M}$

    (2) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O P}$

    (3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D F}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{F A}$

    分析多个向量相加,可以利用向量加法的三角形法则,也可以观察向量的字母表示直接运算(必要时,注意利用向量加法的运算律).

    反思在解答本题(3)时,易出现$\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D F}+\overrightarrow{F A}=0$的情况,导致此种错误的原因是不清楚向量的和仍为向量.

    【变式训练2】 化简下列各式:

    $(1) \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}$

    (2) $\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C}$

    $(3)(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O})+(\overline{O M}+\overrightarrow{M B})$

  • 题型三 向量模的有关问题

    【例3】 若向量$a,b$满足$|\mathbf{a}|=7,|\mathbf{b}|=13$,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$的最大值是________,最小值是________. 

    分析根据向量模的不等式$\| \mathbf{a}|-| \mathbf{b}| | \leq|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \leq|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$求解.

    反思在公式$\|\mathbf{a}|-| \mathbf{b}\|| \leq| \mathbf{a}+\mathbf{b}| \leq| \mathbf{a}|+| \mathbf{b} |$中,当a与b方向相反,且$|\mathbf{a}| \geq|\mathbf{b}|$时,$|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$;当$a$与$b$方向相同时,$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$.

    【变式训练3】 (1)在矩形$ABCD$中,若$A B=2, B C=1$,

    则$|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=$________.

    (2)若向量$a,b$不共线,且$|\mathbf{a}|=2,|\mathbf{b}|=3$,则$|a+b|$的取值范围是________. 

  • 真题

    1.向量$(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B})+(\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{B C})+\overrightarrow{O M}$化简后等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \overrightarrow{B C}} & {\mathrm{B} \cdot \overrightarrow{A B}} \\ {\mathrm{C}. \overrightarrow{A C}} & {\mathrm{D}. \overrightarrow{A M}}\end{array}$

    2.如图,在blob.png中,$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{B A}$等于

    (  )

    blob.png

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .\overrightarrow{A D}} & {\mathrm{B} . \overrightarrow{D A}} \\ {\mathrm{C}. \overrightarrow{A C}} & {\mathrm{D} . \overrightarrow{C B}}\end{array}$

    3.下列命题中,真命题的个数为(  )

    ①如果非零向量$a$与$b$的方向相同或相反,那么$a+b$的方向必与$a,b$之一的方向相同;②在$\Delta A B C$中,必有$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=0$;③若$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=0$,则$A,B,C$为一个三角形的三个顶点;④若$a,b$均为非零向量,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$一定相等.

    4.在边长为1的正方形$A B C D$中,$|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}|=$_________. 

    5.若$P$为$\triangle A B C$的外心,且$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P C}$,则$\triangle A B C$的内角$\angle A C B=$_________.

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关推荐

数列的递推公式(选学)

1.了解递推公式是数列的一种表示方法. 2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项. 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.