向量的加法

【做一做1】 在$\triangle A B C$中,$\overrightarrow{A C}=\mathbf{a}, \overrightarrow{C B}=\mathbf{b}$,则a+b等于(　　)

$A \overrightarrow{C A}$   $\mathrm{B}. \overrightarrow{B C}$   $\mathrm{C} . \overrightarrow{A B}$ $\mathrm{D} . \overrightarrow{A C}$

答案:C

【做一做2】 在四边形$ABCD$中,$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$,则四边形$ABCD$是(　　)

A.梯形  B.矩形

C.正方形  D.平行四边形

答案:D

【做一做3】 在五边形$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$中,$\overrightarrow{A_{1} A_{3}}+\overrightarrow{A_{3} A_{5}}+\overrightarrow{A_{5} A_{2}}+\overrightarrow{A_{2} A_{4}}=$=_________.

解析:原式$=\overrightarrow{A_{1} A_{5}}+\overrightarrow{A_{5} A_{4}}=\overrightarrow{A_{1} A_{4}}$ 

答案:$\overrightarrow{A_{1} A_{4}}$

【做一做4-1】 在,$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{B D}$等于(　　)

$\mathrm{A} .\overrightarrow{A B}$ $B . \overrightarrow{B D}$ $\mathrm{C}. \overrightarrow{B C}$    $D . \overrightarrow{C D}$

答案:D

【做一做4-2】 下列等式不正确的是(　　)

$A \cdot c+d=d+c$

$\mathrm{B} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D B}$

$\mathrm{C}. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=2 \overrightarrow{A B}$

$\mathrm{D} . \mathrm{a}+(\mathrm{a}+\mathrm{b})=(\mathrm{a}+\mathrm{a})+\mathrm{b}$

答案:C

【例1】 已知点$O$是对角线的交点,则下列结论中正确的是(　　)

A. $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}$

B. $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$

C. $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C D} \neq \overrightarrow{B D}$

D. $\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D} \neq 0$

分析按照向量加法的运算法则进行分析判断. 

【变式训练1】 若向量$a,b,c$满足$a+b+c=0$,则$a,b,c$(　　)

A.一定能构成一个三角形

B.一定不能构成一个三角形

C.都是非零向量时,一定能构成三角形

D.都是非零向量时,也可能无法构成三角形

【例2】 化简下列各式:

(1) $\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B M}$

(2) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O P}$

(3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D F}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{F A}$

分析多个向量相加,可以利用向量加法的三角形法则,也可以观察向量的字母表示直接运算(必要时,注意利用向量加法的运算律).

【变式训练2】 化简下列各式:

$(1) \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}$

(2) $\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C}$

$(3)(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O})+(\overline{O M}+\overrightarrow{M B})$

【例3】 若向量$a,b$满足$|\mathbf{a}|=7,|\mathbf{b}|=13$,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$的最大值是________,最小值是________. 

分析根据向量模的不等式$\| \mathbf{a}|-| \mathbf{b}| | \leq|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \leq|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$求解.

【变式训练3】 (1)在矩形$ABCD$中,若$A B=2, B C=1$,

则$|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=$________.

(2)若向量$a,b$不共线,且$|\mathbf{a}|=2,|\mathbf{b}|=3$,则$|a+b|$的取值范围是________. 

1.向量$(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B})+(\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{B C})+\overrightarrow{O M}$化简后等于(　　)

$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \overrightarrow{B C}} & {\mathrm{B} \cdot \overrightarrow{A B}} \\ {\mathrm{C}. \overrightarrow{A C}} & {\mathrm{D}. \overrightarrow{A M}}\end{array}$

2.如图,在中,$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{B A}$等于

(　　)

$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .\overrightarrow{A D}} & {\mathrm{B} . \overrightarrow{D A}} \\ {\mathrm{C}. \overrightarrow{A C}} & {\mathrm{D} . \overrightarrow{C B}}\end{array}$

3.下列命题中,真命题的个数为(　　)

①如果非零向量$a$与$b$的方向相同或相反,那么$a+b$的方向必与$a,b$之一的方向相同;②在$\Delta A B C$中,必有$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=0$;③若$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=0$,则$A,B,C$为一个三角形的三个顶点;④若$a,b$均为非零向量,则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$一定相等.

4.在边长为1的正方形$A B C D$中,$|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}|=$_________. 

5.若$P$为$\triangle A B C$的外心,且$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P C}$,则$\triangle A B C$的内角$\angle A C B=$_________.