向量的应用

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.会用向量方法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题.
2.会用向量方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解的问题.
知识点
  • 1.向量在平面几何中的应用

    (1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的长度;

    (2)证明线段、直线平行,转化为证明向量共线;

    (3)证明线段、直线垂直,转化为证明向量的数量积为零;

    (4)几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题;

    (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在的直线分别为$x$轴和$y$轴,建立平面直角坐标系,通过代数(坐标)运算解决平面几何问题.

    【做一做1-1】 在四边形$A B C D$中,若$\overrightarrow{A B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D C}$ ,则四边形$A B C D$是(  )

    A.平行四边形  B.梯形   

    C.菱形  D.矩形

    解析:由$\overrightarrow{A B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D C}$,得$A B / / C D$且$A B \neq C D$,故四边形$A B C D$为梯形,故选$B$.

    答案:$B$

    【做一做1-2】 在$\triangle A B C$中,已知$|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A C}|=4$,且$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=8$,则$\triangle A B C$的形状是_________. 

    解析:$\because \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{A C}| \cos \angle B A C=8$,

    $\therefore 4 \times 4 \times \cos \angle B A C=8$,

    $\therefore \angle B A C=60^{\circ}$,且$|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A C}|$,

    $\therefore \triangle A B C$为等边三角形.

    答案:等边三角形

  • 2.向量在解析几何中的应用

    (1)若直线l的倾斜角为$\alpha$,斜率为$k$,向量$\mathbf{a}=(m, n)$平行于$l$,则$k=\tan \alpha=\frac{n}{m}$,反之,若直线$l$的斜率$k=\frac{n}{m}$,则向量$(m, n)$一定与该直线平行;

    (2)向量$(1, k)$与直线l:$l : y=k x+b$平行;

    (3)与$\mathbf{a}=(m, n)$平行,且过点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$的直线方程为$n\left(x-x_{0}\right)-m\left(y-y_{0}\right)=0$;

    (4)过点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,且与向量$\mathbf{a}=(m, n)$垂直的直线方程为$m\left(x-x_{0}\right)+n\left(y-y_{0}\right)=0$.

    【做一做2-1】 已知直线$l : m x+2 y+6=0$,向量$(1-m, 1)$与$l$平行,则实数$m$的值为(  )

    A.-1  B.1

    C.2  D.-1或2

    答案:D

    【做一做2-2】 过点$A(3,-2)$,且垂直于向量$\mathbf{n}=(5,-3)$的直线方程是_________. 

    答案:$5 x-3 y-21=0$

  • 3.向量在物理中的应用

    (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与自由向量有所不同.大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.但是,在不考虑作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力.

    (2)速度是具有大小和方向的向量,因而可用三角形和平行四边形法则,求两个速度的合速度.

    归纳总结
    1.求力向量、速度向量常用的方法:向量几何法,借助于向量求和的平行四边形法则求解.

    2.用向量方法解决物理问题的步骤:(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;(3)把结果还原为物理问题.

    【做一做3】 已知两个力$\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}$的夹角为$90^{\circ}$,它们的合力大小为10 $\mathrm{N}$,合力与$\mathbf{F}_{1}$的夹角为$60^{\circ}$,则$\mathbf{F}_{1}$的大小为(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .5 \sqrt{3} \mathrm{N}} & {\mathrm{B.} .5 \mathrm{N}} \\ {\mathrm{C.} 10 \mathrm{N}} & {\mathrm{D} .5 \sqrt{2} \mathrm{N}}\end{array}$

    解析:$\left|\mathbf{F}_{1}\right|=|\mathbf{F}| \cos 60^{\circ}=5(\mathrm{N})$.

    答案:$B$

重难点
  • 1.用向量的方法证明有关直线平行、垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法

    剖析(1)要证两线段$A B=C D$,可转化为证明|$|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|$或$\overrightarrow{A B}^{2}=\overrightarrow{C D}^{2}$;

    (2)要证两线段$A B / / C D$,只要证明存在一实数$\lambda \neq 0$,使$\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{C D}$^成立;

    (3)要证两线段$A B \perp C D$,可转化为证明$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$;

    (4)要证$A, B, C$三点共线,只要证明存在一实数$\lambda \neq 0$,使$\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C}$,或若$O$为平面上任一点,则只需要证明存在实数$\lambda, \mu$(其中$\lambda+\mu=1$),使$\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$.

  • 2.教材中的“探索与研究”

    利用向量与向量平行、垂直的条件,再次研究两条直线$l_{1} : A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0, \\ l_{2} : A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0$
    平行和垂直的条件,以及如何求出两条直线夹角$\theta$的余弦.

    结论:

    $l_{1} / / l_{2}$(或重合)$\Leftrightarrow A_{1} B_{2}-A_{2} B_{1}=0$.

    $\begin{aligned} l_{1} \perp l_{2} & \Leftrightarrow A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}=0 \\ \cos \theta &=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}} \end{aligned}$


    剖析直线$l_{1} : A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0$的方向向量为$\mathbf{n}_{1}=\left(-B_{1}, A_{1}\right)$,直线$l_{2} : A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0$的方向向量为$\mathbf{n}_{2}=\left(-B_{2}, A_{2}\right)$.

    若$l_{1} / / l_{2}$,则$\mathbf{n}_{1} / / \mathbf{n}_{2}$,从而有$-B_{1} A_{2}=-A_{1} B_{2}$,即$A_{1} B_{2}-A_{2} B_{1}=0$.

    若$l_{1} \perp l_{2}$,则$\mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2}=0$,

    从而有$B_{1} B_{2}+A_{1} A_{2}=0$.

    所以直线$l_{1} / / l_{2} \Leftrightarrow A_{1} B_{2}-A_{2} B_{1}=0$,

    直线$l_{1} \perp l_{2} \Leftrightarrow A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}=0$.

    因为$\mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2}=A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}$,


    $\left|\mathbf{n}_{1}\right|=\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}},\left|\mathbf{n}_{2}\right|=\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}$,

    所以$\cos <\mathbf{n}_{1},>=\frac{A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$.

    所以直线$l_{1}$与$l_{2}$夹角$\theta$的余弦值为

    $\cos \theta=\left|\cos <\mathbf{n}_{1},>\right|=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$.

例题解析
  • 题型一 向量在平面几何中的应用

    【例1】 如图,已知$A D, B E, C F$是$\triangle A B C$的三条高,$D G \perp B E$于$G, D H \perp C F$于$H$,求证:$H G / / E F$.

    blob.png

    分析要证明$H G / / E F$,可设法证明$\overrightarrow{F E}=\lambda \overrightarrow{H G}$(其中$\lambda \neq 0$).

    反思

    用向量解决平面几何问题的步骤如下:

    (1)建立平面几何与向量的联系,即用向量表示问题中涉及的几何元素,从而将平面几何问题转化为向量问题;

    (2)通过向量运算(线性运算、数量积运算),研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等;

    (3)把向量运算结果翻译成几何关系.

    【变式训练1】 如图,若$D$是$\triangle A B C$内的一点,且$A B^{2}-A C^{2}=D B^{2}-D C^{2}$,求证:$A D \perp B C$.

    blob.png

  • 题型二 向量在解析几何中的应用

    【例2】 过点$A(-2,1)$,求:

    (1)与向量$\mathbf{a}=(3,1)$平行的直线方程;

    (2)与向量$\mathbf{b}=(-1,2)$垂直的直线方程.

    分析在直线上任取一点$P(x, y)$,则$\overrightarrow{A P}=(x+2, y-1)$.根据$\overrightarrow{A P} / / \mathbf{a}$和$\overrightarrow{A P} \perp \mathbf{b}$解题即可.

    反思

    已知直线l的方程$A x+B y+C=O\left(A^{2}+B^{2} \neq 0\right)$,则向量$(A, B)$与直线$l$垂直,即向量$(A, B)$为直线$l$的法向量;向量$(-B, A)$与$l$平行.

    【变式训练2】 已知$\triangle A B C$的三个顶点$A(0,-4), B(4,0), C(-6,2)$,点$D, E, H$分别为边$B C, C A, A B$的中点.

    (1)求直线$D E, E F, F D$的方程;

    (2)求$A B$边上的高线$CH$所在的直线方程.

  • 题型三 向量在物理中的应用

    【例3】 一条河的两岸平行,河的宽度为$d=500 \mathrm{m}$,一艘船从$A$处出发航行到河的正对岸B处,船的航行速度为$\left|\mathbf{v}_{1}\right|=10 \mathrm{km} / \mathrm{h}$,水流速度为$\left|\mathbf{v}_{2}\right|=4 \mathrm{km} / \mathrm{h}$.

    blob.png

    (1)试求$v_{1}$与$v_{2}$的夹角(精确到$1^{\circ}$)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 $\mathrm{min}$);

    (2)要使船到达对岸所用时间最少,$v_{1}$与$v_{2}$的夹角应为多少?

    分析若船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直,则船速的方向不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度.

    反思

    注意“速度”是一个向量,既有大小又有方向.结合具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫.将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.

    【变式训练3】 已知三个力$f_{1}=(-2,-1), f_{2}=(-3,2), f_{3}=(4,-3)$同时作用于某一物体上的一点,为使物体保持平衡,现加上一个力$\mathbf{f}_{4}$,则$\mathbf{f}_{4}$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .(-1,-2)} & {\mathrm{B} \cdot(1,-2)} \\ {\mathrm{C.}(-1,2)} & {\mathrm{D.}(1,2)}\end{array}$

  • 真题

    1.点$P$是$\triangle A B C$所在平面内一点,若$\overrightarrow{C B}=\lambda \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}$,其中$\lambda \in \mathbf{R}$,则点$P$一定在(  )

    A.$\triangle A B C$内部            B.$A C$边所在的直线上

    C.$A B$边所在的直线上  D.$B C$边所在的直线上

    2.若向量$\mathbf{n}$与直线$l$垂直,则称向量$\mathbf{n}$为直线$l$的法向量,则直线$x+2 y+3=0$的一个法向量为(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A.}(1,2)} & {\mathrm{B} \cdot(1,-2)} \\ {\mathrm{C} \cdot(2,1)} & {\mathrm{D} \cdot(2,-1)}\end{array}$

    3.在重600 $\mathrm{N}$的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为$30^{\circ}, 60^{\circ}$,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为(  )

    A. $300 \sqrt{3} \mathrm{N}, 300 \sqrt{3} \mathrm{N}$

    $\mathrm{B.} 150 \mathrm{N}, 150 \mathrm{N}$

    $\mathrm{C} .300 \sqrt{3} \mathrm{N}, 300 \mathrm{N}$

    $\mathrm{D} .300 \mathrm{N}, 300 \sqrt{3} \mathrm{N}$

    4.经过点$A(3,2)$,且与直线$l : 4 x-3 y+9=0$平行的直线方程为_________. 

    5.已知两个粒子$A, B$从同一点发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为$\mathbf{s}_{a}=(4,3), \mathbf{s}_{b}=(3,4)$,则$\mathbf{s}_{a}$在$\mathbf{s}_{b}$方向上的射影的数量为_________. 

    6.如图,已知blob.png是菱形,$A C$和$B D$是它的两条对角线,求证:$A C \perp B D$.

    blob.png

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