高中数学网向量的正交分解与向量的直角坐标运算
2.会用坐标进行平面向量的加、减与数乘向量运算.
3.能借助向量坐标,用已知向量表示其他向量.
1.向量的坐标
(1)若两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直.
(2)若基底的两个基向量$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量,叫做正交分解.
(3)在平面直角坐标系$x O y$内,分别取与$x$轴和$y$轴方向相同的两个单位向量$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$,则对任一向量$a$,存在唯一的有序实数对$\left(a_{1}, a_{2}\right)$,使得$\mathbf{a}=a_{1} \mathbf{e}_{1}+a_{2} \mathbf{e}_{2},\left(a_{1}, a_{2}\right)$就是向量$a$在基底$\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\}$下的坐标,即$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right)$.其中$a_{1}$叫做向量$a$在$x$轴上的坐标分量,$a_{2}$叫做$a$在$y$轴上的坐标分量.
(4)向量的坐标:设点$A$的坐标为$(x, y)$,则$\overrightarrow{O A}=x \mathbf{e}_{1}+y \mathbf{e}_{2}=(x, y) \cdot(x, y)$在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点$(x, y)$,或向量$(x, y)$.
【做一做1】 已知$\mathbf{a}=(2016,-2017)$,且$\mathbf{a}=x \mathbf{e}_{1}+y \mathbf{e}_{2},\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\}$为正交基底,且$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$为单位向量,则$x=$________,$y=$________.
答案:2 016 -2 017
2.向量的直角坐标运算
(1)设$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right), \mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right)$,则$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left(a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}\right)$,即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差;
若$\lambda \in \mathbf{R}$,则$\lambda \mathbf{a}=\left(\lambda a_{1}, \lambda a_{2}\right)$,即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.
(2)已知$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_{2}, y_{2}\right)-\left(x_{1}, \\ y_{1}\right)=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}\right)$
,即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.归纳总结
1.两个向量的坐标相同时,这两个向量相等,但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同,如$A(3,5), B(6,8), C(-5,3), D(-2,6)$,则 $\overrightarrow{A B}=(3,3), \overrightarrow{C D}=(3,3)$,显然$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$但$A,B,C,D$各点的坐标却不相同.2.在平面直角坐标系中,给出了向量的坐标,将向量的运算代数化,同时也给出一种用向量运算解决问题的方法??向量坐标法.
【做一做2-1】 已知$\mathbf{a}=(1,-1), \mathbf{b}=(3,0)$,则$3 a-2 b$等于( )
A.(5,3) B.(4,-1)C.(-2,-1) D.(-3,-3)
答案:D
【做一做2-2】 已知向量$\overrightarrow{O N}=(9,-7)$(O为原点),则点$N$的坐标为( )
A.(9,-7) B.(9,7)C.(-9,7) D.(-9,-7)
答案:A
【做一做2-3】 已知$\mathbf{a}=(2-x, y), \mathbf{b}=(2 y-1,3)$,且$a=b$,求$x,y$的值.
解:由$a=b$,得$(2-x, y)=(2 y-1,3)$,
故$\left\{\begin{array}{l}{2-x=2 y-1} \\ {y=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3} \\ {y=3}\end{array}\right.$
从多个角度来理解向量的坐标
剖析若在平面直角坐标系下,我们分别取与$x$轴、$y$轴正方向相同的两个单位向量$i,j$作为基底,任作一个向量$a$,则
(1)$\mathbf{i}=(1,0), \mathbf{j}=(0,1), \mathbf{0}=(0,0).$
(2)在平面直角坐标系内,以原点为始点作向量$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}$,则点$A$的位置由向量$a$唯一确定.
(3)设$\overrightarrow{O A}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}$,则向量$\overrightarrow{O A}$的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点$A$的坐标就是向量$\overrightarrow{O A}$的坐标$(x,y)$.因此,在直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.
(4)两个向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等.
(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来,相等的向量的坐标是相同的,但起点和终点的坐标却不一定相同.
名师点拨向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同
题型一 向量的坐标表示
【例1】 在平面直角坐标系中,质点从坐标平面内原点处开始做直线运动,分别求出下列位移向量的坐标(如图).
(1)向量$a$表示质点沿东北方向移动了2个单位长度;
(2)向量$b$表示质点沿西偏北$60^{\circ}$方向移动了4个单位长度;
(3)向量$c$表示质点沿东偏南$30^{\circ}$方向移动了6个单位长度.
分析解答本题可利用向量正交分解的定义写出向量的坐标.
反思
向量的坐标表示是向量的另一种表示方法.解答本题的关键是选取$x$轴、$y$轴正方向上的单位向量$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$作为正交基底,其中向量的始点在原点,则终点坐标即为向量的坐标.
【变式训练1】 已知$O$是坐标原点,点$A$在第一象限,$|\overrightarrow{O A}|=8$.,$\angle x O A=60^{\circ}$,则向量$\overrightarrow{O A}$的坐标为_________.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】 已知向量$a=\left(x+3, x^{2}-3 x-4\right)$与 $\overrightarrow{M N}$相等,其中$M(-1,3), N(1,3)$,求$x$的值.
分析先用坐标表示出向量$\overrightarrow{M N}$,再根据两个向量相等列出关于$x$的关系式.
反思
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【变式训练2】 已知向量$\mathbf{a}=(1,1), \mathbf{b}=(1,-1)$,则$\frac{1}{2} \mathbf{a}-\frac{3}{2} \mathbf{b}$等于( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .(2,1)} & {\mathrm{B} \cdot(-2,1)} \\ {\mathrm{C} \cdot(1,2)} & {\mathrm{D} \cdot(-1,2)}\end{array}$
【例3】 已知$A(1,-2), B(2,1), C(3,2)$和$D(-2,3)$,以$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$为一组基底来表示$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}$.
分析首先由点A,B,C的坐标求得向量$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{C D}$等的坐标,然后根据平面向量基本定理得到等式$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}$,列出关于$m,n$的方程组,最后解方程组求出所表示的系数.
反思
本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目,求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点,尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标.
【变式训练3】 (1)已知$\mathbf{a}=(1,0), \mathbf{b}=(1,1), \mathbf{c}=(-1,1)$,满足$\mathbf{c}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}$,其中$\lambda_{\lambda} u \in \mathbf{R}$,则$\lambda=$_________.
(2)已知点$A(2,3), B(-1,5), \overrightarrow{A C}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{A B}$ ,则点$C, D$的坐标分别为_________.
题型三 易错辨析
易错点:忽视向量平移的性质致错
【例4】 已知$A(3,5), B(-2,-3)$,将线段AB向左平移6个单位长度,再向上平移1个单位长度得到线段$A^{\prime} B^{\prime}$,则向量$\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$的坐标为________.
【变式训练4】 已知
,$A(-2,1), B(-1,3), C(3,4)$,求顶点$D$的坐标________.真题
1.已知$\mathbf{a}=(-1,2), \mathbf{b}=(1,-2)$,则$a+b$与$a-b$的坐标分别为( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .(0,0),(-2,4)} & {\mathrm{B.}(0,0),(2,-4)} \\ {\mathrm{C} \cdot(-2,4),(2,-4)} & {\mathrm{D} \cdot(1,-1),(-3,3)}\end{array}$
2.若$\overrightarrow{A B}=(2,4), \overrightarrow{A C}=(1,3)$ ,则$\overrightarrow{B C}$等于( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }(1,1)} & {\text { B. }(-1,-1)} \\ {\text { C. }(3,7)} & {\text { D. }(-3,-7)}\end{array}$
3.已知$\overrightarrow{A B}=(x, y)$,点$B$的坐标为(-2,1),则$\overrightarrow{O A}$的坐标为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }(x-2, y+1)} & {\text { B. }(x+2, y-1)} \\ {\text { C. }(-2-x, 1-y)} & {\text { D. }(x+2, y+1)}\end{array}$
4.已知$A(3,4), B(-5,5)$,且$a=\left(x-3, x^{2}+4 x-4\right)$.若$\mathbf{a}=\overrightarrow{A B}$,则$x$的值等于( )
A.1或-5 B.1
C.-5 D.-1或5
5.已知$A(\sqrt{3},-1)$,则$\overrightarrow{O A}$所在的直线与x轴所夹的锐角为_________.
