两角和与差的余弦
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.
两角和与差的余弦公式
两角和的余弦公式
$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$
两角差的余弦公式
$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$
温馨提示:这两个公式分别记作$\mathrm{C}_{\alpha+\beta}, \mathrm{C}_{\alpha-\beta}$.记忆两角和与差的余弦公式时,可注意到:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反.
【做一做1】 $\cos 75^{\circ}$等于$( )$
$\begin{array}{lll}{\text { A. } \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}} \\ {\text { B. } \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}} & {\text { C. } \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} & {\text { D. } \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}$
答案:$\mathrm{C}$
【做一做2】$\cos 32^{\circ} \cos 28^{\circ}-\sin 32^{\circ} \sin 28^{\circ}$的值为$( )$
$\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{1}{3} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$
答案:$A$
【做一做3】 已知$\sin \alpha=\frac{4}{5}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$,则$\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$_________.
答案:$\frac{\sqrt{2}}{10}$
评析公式$\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
剖析(1)公式的特征是:两角和(差)的余弦等于这两角的余弦之积与正弦之积的差(和),等式两边的运算符号相反,即“同名相乘,异号连接”.
(2)公式的适用范围是:对任意角$\alpha, \beta$均成立,其中角$\alpha, \beta$可以是单独一个角,也可以是几个角的组合,例如:$\mathrm{cos}$$[(\alpha+\beta)+2 \theta] \\ =\cos (\alpha+\beta) \cos 2 \theta-\sin (\alpha+\beta) \sin 2 \theta$
等.(3)一般情况下,$\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \pm \cos \beta$不成立,即不能按照分配律展开.但也并不是$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha+\cos \beta, \\ \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha-\cos \beta$
恒不成立,对于某些特殊的角,这两个等式是成立的,例如:当$\alpha=\frac{\pi}{2}, \beta=\frac{3 \pi}{4}$时满足$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha+\cos \beta$等.(4)公式的逆用、变形应用是灵活使用公式的前提,如:$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta=\cos (\alpha \pm \beta), \\ (\cos \alpha+\cos \beta)^{2} \pm(\sin \alpha+\sin \beta)^{2} \\ =2+2 \cos (\alpha \mp \beta)$
等.(5)利用该公式还可以来推导和证明诱导公式,如$\cos (\pi+\alpha)=\cos \pi \cos \alpha-\sin \pi \sin \alpha \\ =-\cos \alpha, \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \\ =\cos \frac{\pi}{2} \cos \alpha-\sin \frac{\pi}{2} \sin \alpha=-\sin \alpha$等
题型一 直接利用两角和与差的余弦公式求值
【例1】 求值:$(1) \cos ^{2} 15^{\circ}-\sin ^{2} 15^{\circ}$;
$(2) \sin \left(110^{\circ}+x\right) \cos \left(x-40^{\circ}\right)+ \\ \cos \left(x-70^{\circ}\right) \cdot \sin \left(220^{\circ}-x\right)$
分析$(1)$逆用两角和的余弦公式;
$(2)$统一函数名称和角,使其符合两角和与差的余弦公式的.
反思
公式$\mathrm{C}_{\alpha \pm \beta}$是三角恒等式,既可正用,也可逆用,一定要注意公式的特征,灵活变换角或名称,同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角$($如$30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ} \ldots \ldots)$之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值.
【变式训练1】 求下列各式的值:
(1) $\cos \frac{7 \pi}{12}$
(2) $\cos 100^{\circ} \cos 40^{\circ}+\sin 100^{\circ} \sin 40^{\circ} ;$
(3) $\frac{1}{2} \cos 15^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 15^{\circ}$
题型二 给值求值问题
【例2】 已知$\alpha, \beta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \\ \pi\right), \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5} \sin \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{12}{13}$
,则$\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$_________.反思
本题属于“给值求值”的题目,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:$\alpha=(\alpha+\beta)-\beta \\ =\beta-(\beta-\alpha)=\frac{1}{2}[(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)] \\ =\frac{1}{2}$$[(\alpha+\beta)-(\beta-\alpha)], 2 \alpha \\ =(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)=(\alpha+\beta)-(\beta-\alpha), 4 \alpha \\ =2 \cdot 2 \alpha, \alpha=2 \cdot \frac{\alpha}{2}, \\ \alpha+2 \beta=(\alpha+\beta)+\beta$
等.变换的方式很多,需要自己慢慢地体会和探索.【变式训练2】 在$\triangle A B C$中,$\cos A=\frac{3}{5}, \cos B=\frac{5}{13}$,则$\cos C$的值是_________.
题型三 给值求角问题
【例3】 已知锐角$\alpha, \beta$满足$\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos \beta=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$,求$\alpha+\beta$.
分析利用两角和的余弦公式求$\alpha+\beta$的余弦值,并结合角$\alpha+\beta$的范围进行求解.
反思
此类题是“给值求角”的题目,解题步骤:(1)求所求角的某一个三角函数值;(2)确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,会使求出的角不符合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定求该角的哪一种三角函数值.
【变式训练3】 在锐角三角形$A B C$中,已知$\sin A=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \cos B=\frac{\sqrt{10}}{10}$,求角$C$.
题型四 利用公式研究函数的性质
【例4】 求函数$f(x)=\cos x-\sqrt{3} \sin x$的单调递增区间
分析将$f(x)$化为$y=A \cos (\omega x+\varphi)$的形式后,再求其单调递增区间.
反思
形如$y=a \sin \omega x+b \cos \omega x$的函数,均可利用两角和与差的余弦公式将其转化为$y=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (\omega x+\varphi)$的形式,进而可研究该函数的性质.
【变式训练4】 求函数$f(x)=2 \sqrt{3} \cos 2 x+2 \sin 2 x$在$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$上的值域.
真题
1.sin 22°sin 23°-cos 23°cos 22°的值为( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{1}{2}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$
2.满足$\cos \alpha \cos \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin \alpha \sin \beta$的一组$\alpha, \beta$的值是 ( )
A. $\alpha=\frac{13 \pi}{12}, \beta=\frac{3 \pi}{4} \quad$ B. $\alpha=\frac{\pi}{2}, \beta=\frac{\pi}{3}$
$\mathrm{C} . \alpha=\frac{\pi}{2}, \beta=\frac{\pi}{6} \quad$ D. $\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{6}$
3.$\cos 555^{\circ}$的值为( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}} & {\mathrm{D} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\end{array}$
4.已知$\sin \alpha=\frac{4}{5}, \alpha \in(\mathbf{O}, \pi), \cos \beta=-\frac{5}{13}, \beta$是第三象限的角,求$\cos (\alpha-\beta)$)的值.