高中数学网数列的递推公式(选学)
2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.
3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.
1.数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项$a_{n}$与它的前一项$a_{n-1}$(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
名师点拨1.与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式.
2.递推公式也是给出数列的一种重要方法.事实上,递推公式与通项公式一样,都是关于n的恒等式,我们可用符合要求的正整数依次去替换n,从而可以求出数列的各项.
【做一做1】 数列$2,4,6,8,10, \cdots$的递推公式是( )
A. $a_{n}=a_{n-1}+2(n \geqslant 2)$
B. $a_{n}=2 a_{n-1}(n \geqslant 2)$
$\mathrm{C} \cdot a_{n}=a_{n-1}+2, a_{1}=2(n \geqslant 2)$
D. $a_{n}=2 a_{n-1}, a_{1}=2(n \geqslant 2)$
答案:$C$
2.通项公式与递推公式的区别与联系
区别
联系
通项公式
项$a_{n}$是序号n的函数$a_{n}=f(n)$
都是给出数列的方法,可求出数列中任意一项
递推公式
已知$a_{1}$(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式
名师点拨1.数列的通项公式是给出数列的主要形式,如果已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=f(n)$,则可求出数列中的各项与指定项,还可进一步探讨数列的增减性及数列中项的最大值或最小值.
2.数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式,只要给出数列的递推公式,就可依次求出数列的各项,有时递推公式与通项公式之间可以互化.
【做一做2】已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=1, a_{2}=2$,且$a_{n+1}-a_{n}=1+(-1)^{n}(n \geqslant 2)$,则$a_{10}=$________.
解析:由题意,知$a_{10}-a_{9}=1+(-1)^{9}, \\ a_{9}-a_{8}=1+(-1)^{8}, \\ a_{8}-a_{7}=1+(-1)^{7}, \\ \cdots \cdots, a_{3}-a_{2}=1+(-1)^{2}$
,累加上述各式,可得$a_{10}-a_{2}=8$.又$a_{2}=2$,所以$a_{10}=10$.答案:10
一、通项公式与递推公式
剖析:递推公式是:已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项$a_{n}$与它的前一项$a_{n-1}$(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.通项公式是:一个数列$\left\{a_{n}\right\}$的第$n$项$a_{n}$与项数$n$之间的关系,如果可以用一个公式$a_{n}=f(n)$来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.
通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系.
对于通项公式,只要将公式中的$n$依次取值$1,2,3, \cdots$即可得到相应的项;而递推公式则要已知首项(或前几项),才可求得其他的项.往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式,从而能够更直接地研究数列.
二、教材中的“?”
(1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗?
剖析:数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{2}{3-2 n}$.
(2)你能比较例2中$a_{n}$与$a_{n+1}$的大小吗?你能比较$a_{n}$与$a_{n+2}$的大小吗?
剖析当$n$为奇数时,$a_{n+1}>a_{n}$;当n为偶数时,$a_{n+1} < a_{n}$.
当$n$为奇数时,$a_{n+2}>a_{n}$;当n为偶数时,$a_{n+2} < a_{n}$.
三、教材中的“思考与讨论”
章前图中的左图说明,一对小兔子(一雄一雌)一个月后长成一对成年兔,又一个月后生出一对小兔子(一雄一雌);再过一个月小兔子长成成年兔,同时,成年兔又生出一对小兔子(一雄一雌).以此规律,每过一个月小兔子长成成年兔,成年兔生出一对小兔子.假定每次生出的小兔子都是一雄一雌,并且排除兔子发生死亡的情况,这样每个月兔子的对数,依次可以排成一个数列,请写出此数列的前6项,你能通过递推公式表示这个数列吗?
剖析:$a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=2, a_{4}=3, a_{5}=5, a_{6}=8$,递推公式为$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}(n=3,4,5, \cdots), \\ a_{1}=1, a_{2}=1$
由递推公式写出数列的项
【例1】 在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$a_{1}=2, a_{2}=3, a_{n+2}=3 a_{n+1}-2 a_{n}(n \geqslant 1)$,写出此数列的前六项.
分析:通过观察,此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式,知道前两项就可以求出后一项.
反思
由递推公式写出数列的项的方法:
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可;
(2)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;
(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【变式训练1】 在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$a_{1}=1$,且当$n \geqslant 2$时,$a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}=n^{2}$,则$a_{3}+a_{5}$等于( )
$\mathrm{A}_{3}^{7} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{61}{16} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{31}{15} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{11}{4}$
由递推公式求通项公式
【例2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}, a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+\frac{1}{n(n-1)}(n \geqslant 2)$.
(1)写出数列$\left\{a_{n}\right\}$的前5项;
(2)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.
分析:(1)中只需利用代入法依次求出$a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$即可.
(2)利用下列关系式:
①$a_{n}=\left(a_{n^{-}} a_{n-1}\right) \\ +\left(a_{n-1^{-}}-a_{n-2}\right) \\ +\cdots+\left(a_{3}-a_{2}\right) \\ +\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{1}$
②$\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$进行累加与裂项相消即可求出$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.
反思
1.累加法当$a_{n}-a_{n-1}=f(n)$满足一定条件时,常用$a_{n}=\left(a_{n}-a_{n-1}\right) \\ +\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right) \\ +\cdots+\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{1}$
累加来求通项公式an.2.累乘法
如果递推关系可以变形为$a_{n+1}=g(n) \cdot a_{n}$的形式,且$g(n)$能够求积,则可用累乘法求数列的通项公式.
【变式训练2】 设$\left\{a_{n}\right\}$是首项为1的正项数列,且 $(n+1) \cdot a_{n+1}^{2}-n a_{n}^{2}+a_{n+1} a_{n}=0\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,则它的通项公式$a_{n}=$________.
易错辨析
易错点:不完全归纳结论未加验证而致误
【例3】 数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{1}=1$,以后各项由$a_{n+1}=a_{n}+2\left(2 n^{3}-12 n^{2}+22 n-11\right)$给出,写出这个数列的前4项,并写出其通项公式.
真题
1.下列说法错误的是( )
A.递推公式也是数列的一种表示方法
B.$a_{n}=a_{n-1}, a_{1}=1(n \geqslant 2)$是递推公式
C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式
D.$a_{n}=2 a_{n-1}, a_{1}=2(n \geqslant 2)$是递推公式
2.已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的首项$a_{1}=1$,且$a_{n}=3 a_{n-1}+1(n \geqslant 2)$,则$a_{4}$为( )
A.13 B.15 C.30 D.40
3.已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的第1项是1,第2项是2,以后各项由$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}(n>2)$给出,则该数列的第5项等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
4.在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$a_{1}=a_{2}=2, a_{n+2}=3 a_{n+1}-a_{n}$,则$a_{4}=$_________.
5.已知$a_{1}=0, a_{n+1}=a_{n}+(2 n-1)$,依次写出数列$\left\{a_{n}\right\}$的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.
