“非”(否定)
1.“非”的含义
逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的
“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来.
【做一做1】 下列词语与“非”的含义不同的是( )
A.是 B.不是
C.全盘否定 D.问题的反面
答案:A
2.命题p的否定(非p)
一般地,对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作
p,读作
“非p”或“p的否定”.
一般把如何由p的真假判定
p的真假总结为下表:
p
p
真
假
假
真
名师点拨(1)p的否定是
p,
p的否定是p,即p与
p是相互否定的.(2)命题“p且q”的否定是“
p或
q”;命题“p或q”的否定是“
p且
q”.
【做一做2】 已知命题p:函数$y=\sin x$是奇函数,写出命题p的否定,并判断其真假.
解:
p:函数$y=\sin x$不是奇函数.假命题.
3.存在性命题的否定
存在性命题$p : \exists x \in A, p(x)$;
它的否定是
名师点拨否定存在性命题时,首先把存在量词改为全称量词,再对性质$p(x)$进行否定.
【做一做3】 已知命题p:有些三角形是等腰三角形.写出命题p的否定.
解:
p:所有三角形都不是等腰三角形.
4.全称命题的否定
全称命题$q : \forall x \in A, q(x)$;
它的否定是
.
名师点拨否定全称命题时,首先把全称量词改为存在量词,再对性质$q(x)$进行否定.
【做一做4】 已知命题$q:$矩形的对角线相等.写出命题$q$的否定.
分析:此命题省略了全称量词“所有”,按全称命题的否定形式进行否定得到
q:有些矩形的对角线不相等.
解:
q:有些矩形的对角线不相等.
省略全称量词的全称命题的否定.
剖析:有的全称命题省略了全称量词,否定时要特别注意.例如,q:实数的绝对值是正数.将
q写成:“实数的绝对值不是正数”就错了.原因是q是假命题,
q也是假命题,这与q,
q一个为真一个为假相矛盾.正确的否定应为:“存在一个实数的绝对值不是正数.”为了避免出错,可用真值表加以验证.
归纳总结
(1)一般来说,全称命题的否定是一个存在性命题,存在性命题的否定是一个全称命题,因此在写其否定时,要把相应的全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.(2)下表是一些常用词语和它们的否定词语,理解它们对于今后解决问题大有帮助.
原词语
等于
大于(>)
小于(<)
是
都是
否定词语
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有$n$个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有$n+1$个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
“
p”形式的命题及其真假
【例1】 写出下列命题的否定,并判断其真假:
$(1) p :$fun88网上娱乐$(x-1)^{2}+y^{2}=4$的fun88网上娱乐心是(1,0);
$(2) q : 50$是7的倍数;
$(3) r :$一元二次方程至多有两个解;
$(4) s : 7 < 8$.
分析:(1)“是”的否定词语为“不是”,利用命题的否定的定义写出$\square \square p$.因原命题是真命题,故其否定是假命题.
(2)“是”的否定词语为“不是”.因原命题为假,故其否定为真.
(3)“至多有两个”的否定词是“至少有三个”,利用命题的否定的定义写出该命题的否定$\square \square r$.因原命题为真,故其否定为假.
(4)“小于”的否定词语是“不小于”.因原命题是真命题,故其否定为假.
反思
解决此类问题要依据命题的否定形式进行否定.注意:常用词语的否定词语不能写错.
存在性命题与全称命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定,并判断其真假:
$(1) p : \exists x \in \mathbf{R}, x^{2}+1 < 0$;
$(2) q$:每一个对角互补的四边形有外接fun88网上娱乐;
$(3) r$:有些菱形的对角线互相垂直;
$(4) s$:所有能被3整除的整数是奇数.
分析:命题$p, r$是存在性命题,按存在性命题的否定形式进行否定即可.
命题$q, s$是全称命题,按全称命题的否定形式进行否定即可.
反思
(1)解决此类问题首先分清命题是存在性命题还是全称命题,然后按存在性命题和全称命题的否定形式进行否定.(2)全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.
易错题型
【例3】 写出命题“菱形的对角线相等”的否定.
错解:其否定是:菱形的对角线不相等.
错因分析:没有注意到该命题是省略了全称量词的全称命题,从而没把全称量词改为存在量词.
正解:有些菱形的对角线不相等.
真题
1.命题“$p$”与命题“
p”的真假关系是( )
A.可能都是真命题 B.一定是一真一假
C.可能都是假命题 D.不能判断
2.命题$2 \neq 3$的形式是( )
A.
p $\mathrm{B} \cdot p \vee q$
$\mathrm{C}\cdot p \wedge q$ D.以上答案都不正确
3.已知命题$p:$存在实数m,使方程$x^{2}+m x+1=0$有实数根,则p是( )
A.存在实数$m$,使方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根
B.不存在实数$m$,使方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根
C.对任意的实数$m$,方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根
D.至多有一个实数$m$,方程$x^{2}+m x+1=0$无实数根
4.设命题$p:$函数$y=\sin 2 x$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$;命题q:函数$y=\cos x$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真B.
q为假
C.$p \wedge q$为假D.$p \vee q$为真
5.命题“存在$x_{0} \in \mathbf{R}, 2^{x_{0}} \leqslant 0$”的否定是( )
A.不存在$x_{0} \in \mathbf{R}, 2^{x_{0}}>0$B.存在$x_{0} \in \mathbf{R}, 2^{x_{0}} \geqslant 0$
C.对任意的$x_{0} \in \mathbf{R}, 2^{x_{0}} \leqslant 0$D.对任意的$x_{0} \in \mathbf{R}, 2^{x_{0}}>0$