高中数学网利用导数研究函数的极值
2.会用函数的导数求函数的极值和最值.
1.极值的概念
已知函数$y=f(x)$及其定义域内一点$x_{0}$,对于存在一个包含$x_{0}$的开区间内的所有点x,如果都有$f(x) < f\left(x_{0}\right)$,则称函数$f(x)$在点$x_{0}$处取极大值,记作
,并把$x_{0}$称为函数f(x)的一个极大值点;如果都有$f(x)>f\left(x_{0}\right)$,则称函数$f(x)$在点$x_{0}$处取极小值,记作
,并把$x_{0}$称为函数$f(x)$的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.
名师点拨(1)函数$f(x)$在点$x_{0}$及其附近有定义是指在点$x_{0}$及其附近都有意义.
(2)极值是一个局部概念,是相对某一点附近而言.
(3)极值总是函数$f(x)$定义域中的内点,因而端点绝对不是函数的极值点.
(4)函数$f(x)$在其定义域内的极值点可能不止一个,也可能没有.函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的一个极小值不一定小于极大值.
【做一做1】 在下图中$x_{1}$是函数的极________值点,$x_{2}$是函数的极________值点.(填“大”或“小”)
答案:大 小
2.求可导函数$y=f(x)$极值的步骤
(1)求导数$f^{\prime}(x)$.
(2)求方程$f^{\prime}(x)=0$的所有实数根.
(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数$f^{\prime}(x)$的符号如何变化.如果$f^{\prime}(x)$的符号由正变负,则$f\left(x_{0}\right)$是极大值;如果$f^{\prime}(x)$的符号由负变正,则$f\left(x_{0}\right)$是极小值;如果在$f^{\prime}(x)=0$的根$x=x_{0}$的左右侧符号不变,则$f\left(x_{0}\right)$不是极值.
名师点拨极值点与导数为0的点的关系:
①导数为0的点不一定是极值点.
如函数$f(x)=x^{3}$在$x=0$处的导数是0,但它不是极值点.
对于可导函数,导数为0是点为极值点的必要不充分条件.
②函数的导数不存在的点也可能是极值点.
如函数$f(x)=|x|$,在$x=0$处,左侧$(x < 0$时),$f^{\prime}(x)=-1 < 0$,右侧($x>0$时),$f^{\prime}(x)=1>0$,当$x=0$时,$f(x)=0, x=0$是$f(x)$的极小值点,但$f^{\prime}(0)$不存在.
【做一做2】 方程$f^{\prime}(x)=0$的根一定是函数$f(x)$的极值点吗?
答案:不一定
3.求可导函数$y=f(x)$在$[a, b]$的最大(小)值的步骤
(1)求$f(x)$在开区间$(a,b)$内的所有极值点.
(2)计算函数$f(x)$在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
名师点拨(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是对函数局部的函数值的比较;函数的最值表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.
(2)函数的极值不一定是最值,需要极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性.
(3)如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a, b]$上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间$(a,b)$内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
【做一做3】 函数的最大值一定是函数的极大值吗?
答案:不一定.
1.如何理解极值的概念?
剖析:极大值与极小值统称为极值.
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内,极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,$x_{1}$是极大值点,$x_{4}$是极小值点,而$f\left(x_{4}\right)>f\left(x_{1}\right)$.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点处.
2.导数为零的点一定是极值点吗?
剖析:可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如$f(x)=x^{3}$在$x=0$处的导数$f^{\prime}(0)=0$,但$x=0$不是它的极值点,也就是可导函数在点$x_{0}$处的导数$f^{\prime}(0)=0$是该函数在$x_{0}$处取得极值的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点.
求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值:
(1) $y=f(x)=3 x^{3}-x+1 ;(2) f(x)=x^{2} e^{x}$.
分析:首先对函数求导,求得$f^{\prime}(x)$,然后求方程$f^{\prime}(x)=0$的根,再检验方程根的左右两侧导数$f^{\prime}(x)$的符号.如果左正右负,那么$f(x)$在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么$f(x)$在这个根处取得极小值.
反思
按照求函数极值的一般步骤求解即可.解答此类问题时要注意$f^{\prime}(x)=0$只是函数$f(x)$在$x_{0}$处有极值的必要条件,如果再加上$x_{0}$左右两侧导数值异号,才能判断函数在$x_{0}$处取得极值.解题时,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误.
求函数的最值
【例2】 (1)求函数$f(x)=x^{3}-2 x^{2}+1$在区间$[-1,2]$上的最值.
(2)设函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{x}+a x(a>0)$.若$f(x)$在$(1,2]$内的最大值为$\frac{5}{2}$,求$a$的值.
分析(1)按照求最值的一般步骤求解即可.
(2)按照求最值的方法求其最大值,其最大值是关于a的表达式.由题意知,最大值等于$\frac{5}{2}$,解方程即可求得a.
反思
(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题.(2)函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中:导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点;若函数在区间$[a, b]$上连续且可导,则其最大值应在极大值点或区间端点处取得,最小值应在极小值点或区间端点处取得.
易错题型
【例3】 已知函数$f(x)=x^{3}-a x^{2}-b x+a^{2}$在$x=1$处有极值10,求$a, b$的值.
真题
1.函数$y=x^{2}-x+1$的极小值是( )
A.1 $\mathrm{B} \cdot \frac{3}{4} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{7}{4}$ D.2
2.函数$y=x^{3}-3$的极大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.不存在
3.函数$y=x+\frac{1}{x}(x>0)$在$x=1$处取得( )
A.极小值 B.极大值
C.既有极大值又有极小值 D.最大值
4.若$a>0$,函数$y=x+\frac{a}{x}$在$(0,+\infty)$的最小值为4,则$a=$_________.
5.已知函数$f(x)=x^{3}-2 a x^{2}+a^{2} x$在$x=1$处有极大值,求$a$的值.
分析函数$f(x)=x^{3}-2 a x^{2}+a^{2} x$在$x=1$处有极大值,则$x=1$是$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 a x+a^{2}=0$的根,将$x=1$代入上式,求出$a$的值,要验证函数$f(x)$是否在$x=1$处取得极大值.
