高中数学网瞬时速度与导数 -3.3导数的几何意义
2.知道瞬时变化率就是导数.
3.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.
1.瞬时变化率
设函数$y=f(x)$在$x_{0}$附近有定义,当自变量在$x=x_{0}$附近改变$\Delta x$时,函数值相应地改变$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$,如果当$\Delta x$趋近于0时,平均变化率$\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$趋近于一个常数l,则数l称为函数$f(x)$在点$x_{0}$的瞬时变化率.用趋近于符号“$\rightarrow$”记作当$\Delta x \rightarrow 0$时,$\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \rightarrow l$.这时,还可以说,当$\Delta x \rightarrow 0$时,函数平均变化率的极限等于函数在$x_{0}$的瞬时变化率l.记作“$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}+\Delta \mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)}{\Delta \mathrm{x}}=l$”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数$y=s(t)$的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数$y=v(t)$的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移$S$与时间$t$的关系是$s=3 t-t^{2}$,则质点的初速度为_________.
解析:质点的初速度即为$s=3 t-t^{2}$在$t=0$处的瞬时变化率.
$\Delta s=s(0+\Delta t)-s(0)=3(\Delta t)-(\Delta t)^{2}$,
则$\frac{\Delta s}{\Delta t}=3-\Delta t$
当$\Delta t \rightarrow 0$时,$3-\Delta t \rightarrow 3$,故质点的初速度为3.
答案:3
2.某点处的导数
函数在$x_{0}$的瞬时变化率,通常就定义为$f(x)$在$x=x_{0}$处的导数,并记作$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$或$\left.y^{\prime}\right|_{x}=x_{0}$.
于是可写作$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}+\Delta \mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)}{\Delta \mathrm{x}}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
【做一做2】 函数$f(x)=x^{2}$在$x=1$处的导数为_________.
解析:$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)^{2}-1^{2}}{\Delta x}=\Delta x+2$,当$\Delta x \rightarrow 0$时,$\Delta x+2 \rightarrow 2$,故所求导数为2.
答案:2
3.导函数
如果$f(x)$在开区间$(a, b)$内每一点x处导数都存在,则称$f(x)$在区间$(a, b)$内可导.这样,对开区间$(a, b)$内每个值x,都对应一个确定的导数$f^{\prime}(x)$,于是在区间$(a, b)$内$f^{\prime}(x)$构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数$y=f(x)$的导函数.记为$f^{\prime}(x)$(或$y_{x}^{\prime}, y^{\prime}$).
导函数通常简称为导数.如不特别指明求某一点的导数,求导数指的就是求导函数.
名师点拨函数$f(x)$在$x_{0}$处可导,是指当$\Delta x$趋近于0时,$\frac{\Delta y}{\Delta x}$趋近于某个常数(极限存在),如果$\frac{\Delta y}{\Delta x}$不趋近于某个常数(极限不存在),就说函数在点$x_{0}$处不可导,也说无导数.
【做一做3】 函数$f(x)=x^{2}$的导数为_________.
解析:求函数$f(x)=x^{2}$的导数就是求其在其定义域内任一点$x$处的导数.
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}=2 x+\Delta x$
当$\Delta x \rightarrow 0$时,$2 x+\Delta x \rightarrow 2 x$,
故函数$f(x)=x^{2}$的导数为2$x$,即$f^{\prime}(x)=2 x$.
答案:2$x$
4.导数的几何意义
函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处的导数的几何意义是曲线$y=f(x)$在点$P\left(x_{0} f\left(x_{0}\right)\right)$处的切线的斜率.也就是说,曲线$y=f(x)$在点$P\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$处的切线的斜率为$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$,相应的切线方程为$y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$.
名师点拨如果函数在$x_{0}$处的导数不存在,那么说明斜率不存在,此时切线方程为$x=x_{0}$.
【做一做4】 曲线$y=x^{2}$在点(2,4)处的切线的斜率为_________.
解析:曲线$y=x^{2}$在点$(2,4)$处的切线的斜率就是函数$y=x^{2}$在$x=2$处的导数.
因此其斜率$k=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2+\Delta x)^{2}-2^{2}}{\Delta x} \\ =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+4)=4$
答案:4
1.如何求函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处的导数?
剖析:(1)求函数值的改变量$\Delta y$;
(2)求平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$;
(3)取极限得导数$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联系?
剖析(1)函数在一点处的导数$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$是一个常数,不是变量.
(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数$f(x)$在区间$(a, b)$内每一点都可导,是指对于区间$(a, b)$内每一个确定的值$x_{0}$,都对应着一个确定的导数$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$.根据函数的定义,在开区间$(a, b)$内就构成了一个新的函数,就是函数$f(x)$的导函数$f^{\prime}(x)$.
(3)函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处的导数$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$就是导函数$f^{\prime}(x)$在点$x=x_{0}$处的函数值,即$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left.(x)\right|_{x=x_{0}}$
3.“$\Delta x \rightarrow 0$”的意义.
剖析:$\Delta x$与0的距离要多近有多近,即$|\Delta x-0|$可以小于给定的任意小的正数,但始终有$\Delta x \neq 0$.
导数的定义
【例1】 已知函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处可导,试求下列各极限的值.
(1) $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$
$(2) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2 h}$
分析:利用函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处可导的条件,可将给定的极限式变形成导数定义的形式来解决问题.导数定义中增量$\Delta x$的形式是多种多样的,但不论$\Delta x$选择哪种形式,$\Delta y$也应与之相对应.
反思解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的形式即可解决.
求导数
【例2】 已知函数$y=\sqrt{x}$,求$y^{\prime}, y^{\prime} | x=1$
分析按求导数的步骤求解即可,但要注意变形的技巧.
反思
函数的导数与在点$x_{0}$处的导数不是同一概念,在点$x_{0}$处的导数是函数的导数在$x=x_{0}$处的函数值.分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧,要认真体会.利用导数求曲线的切线方程
【例3】 求曲线y$y=\frac{1}{x}$在点$\left(\frac{1}{3}, 3\right)$处的切线的斜率,并写出切线方程.
分析先利用导数的几何意义求斜率,然后用点斜式写出直线方程.
反思(1)求曲线$y=f(x)$在某点处的切线方程的一般步骤:①求出函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处的导数$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$;②根据点斜式得切线方程$y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$.注意$\left(x_{0}, y_{0}\right)$为曲线上的点并且是切点.
(2)函数$f(x)$在点$x_{0}$处有导数,则在该点处曲线$f(x)$必有切线,且导数值是该切线的斜率;反之,不成立.例如,$f(x)=\sqrt{x}$在点$x=0$处有切线,但它不可导.
易错题型
【例4】 试求过点$P(3,5)$且与曲线$y=x^{2}$相切的直线的方程.
反思求曲线上在点$P$处的切线与过点$P$的切线有区别,在点$P$处的切线,点$P$必为切点;求过点$P$的切线,点$P$未必是切点,点$P$也不一定在已知曲线上.应注意概念区别,其求解方法上也有所不同,要认真体会.若点$P$在曲线上,要分点$P$是切点和不是切点两种情况解决.
真题
1.设函数$f(x)$可导,则$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{2 \Delta x}$等于( )
$\mathrm{A} \cdot f^{\prime}(1)$ $\mathrm{B} .2 f^{\prime}(1)$
$\mathrm{C} \cdot \frac{1}{2} f^{\prime}(1)$ $\mathrm{D} \cdot f^{\prime}(2)$
2.设函数$f(x)$可导,则$\lim _{m \rightarrow 0} \frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}+\mathrm{m}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}-\mathrm{m}\right)}{\mathrm{m}}$等于( )
A. 2$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ $\mathrm{B} \cdot f^{\prime}\left(x_{0}\right)$
$\mathrm{C} \cdot \frac{1}{2} f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ $\mathrm{D} . f^{\prime}(m)$
3.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$处的导数是_________.
4.曲线$y=x^{2}$在点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$)处的切线的斜率为2,则$x_{0}=$_________.
5.试求过点$P(0,-1)$且与曲线$y=f(x)=x^{2}+3$相切的直线方程.
分析点P不在曲线上,可设切点为$A\left(x_{0}, y_{0}\right)$.切线的斜率$k=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$,又$k=\frac{y_{0}-(-1)}{x_{0}-0}=\frac{y_{0}+1}{x_{0}}$ ,利用二者相等列出方程即可解决.
