高中数学网“且”与“或”
2.能判断由“且”与“或”组成的新命题的真假.
1.“且”的含义及由“且”构成的新命题
(1)“且”的含义:逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”“及”“和”相当.
(2)由“且”构成的新命题:一般地,用逻辑联结词“且”把命题$p$和$q$联结起来,就得到一个新命题,记作:$p \wedge q$,读作“$p$且$q$”.
(3)“$p$且$q$”的真假:如果$p,q$都是真命题,则$p \wedge q$是真命题;如果$p,q$两个命题中,至少有一个是假命题,则$p \wedge q$是假命题.反过来,如果$p \wedge q$是真命题,则$p,q$一定都是真命题;如果$p \wedge q$为假命题,则$p,q$两个命题中,至少有一个是假命题.
注:在数理逻辑的书中,通常把如何由$p,q$的真假判定$p \wedge q$的真假总结为表Ⅰ:
表Ⅰ
$p$
$q$
$p \wedge q$
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
【做一做1】 用“且”联结命题p,q构成新命题,并判断新命题的真假:
$p:16$是2的倍数;$q:16$是8的倍数.
分析:由“且”联结写出新命题:16是2的倍数且是8的倍数;因为命题$p,q$都是真命题,所以新命题是真命题.
解:$p \wedge q$:16是2的倍数且是8的倍数.新命题是真命题.
归纳总结判断用“且”联成新命题的真假时,首先判断所给两个命题的真假,再利用表$Ⅰ$进行判定.
2.“或”的含义及由“或”构成的新命题
(1)“或”的含义:逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”是相当的.
(2)由“或”构成的新命题:一般地,用逻辑联结词“或”把命题$p,q$联结起来,就得到一个新命题,记作:$p \vee q$,读作“p或q”.
(3)“$p$或$q$”的真假:如果$p,q$两个命题中,至少有一个是真命题,则$p \vee q$是真命题;只有当两个命题都为假时,$p \vee q$是假命题.
注:在数理逻辑的书中,通常把如何由$p,q$的真假判定$p \vee q$的真假总结为表Ⅱ:
表Ⅱ
$p$
$q$
$p \vee q$
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
【做一做2】 用“或”联结命题$p,q$构成新命题,并判断新命题的真假:
$p:$菱形的对角线互相平分;$q:$菱形的对角线相等.
分析:由“或”联结写出新命题:菱形的对角线相等或互相平分;因为命题$p$是真命题,$q$是假命题,所以新命题是真命题.
解:$p \vee q$:菱形的对角线相等或互相平分.新命题是真命题.
归纳总结
判断“或”命题的真假时,首先判断所给两个命题的真假,再利用表$Ⅱ$进行判定.
1.如何理解联结词“且”
剖析:“且”与集合中“交集”的概念有关,与$A \cap B=\{x | x \in A$,且$x \in B \}$中的“且”意义相同,即“$x \in A$”与“$x \in B$”这两个条件都要满足.例如,电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.
2.如何理解联结词“或”
剖析:“或”与集合中“并集”的概念有关,与$A \cup B=\{x | x \in A$或$x \in B \}$中的“或”意义相同,它是指“$x \in A$”与“$x \in B$”中至少有一个是成立的,既可以是$x \in A$,且$x \notin B$,也可以是$x \in B$,且$x \notin A$,也可以是$x \in A$,且$x \in B$.这与生活中“或”的含义不完全相同,例如:“你去图书馆或去游泳馆”,两者不可能同时发生;再如,日常生活中,我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不正确的.
名师点拨“且”与“或”只有用来联结两个命题时,才称其为逻辑联结词.如:命题“方程$|x|=1$的解是$x=1$或$x=-1$”中的“或”就不是逻辑联结词.
“$p \wedge q$”形式的命题及其真假的判定
【例1】 分别写出由下列各组命题构成的“$p \wedge q$”形式的新命题,并判断它们的真假:
$(1)p:30$是5的倍数;$q:30$是8的倍数.
$(2)p:$矩形的对角线互相平分;$q:$矩形的对角线相等.
$(3)p:x=1$是方程$x-1=0$的根;$q:x=1$是方程$x+1=0$的根.
分析:用逻辑联结词“且”把命题$p,q$联结起来构成“$p \wedge q$”形式的命题;利用表Ⅰ判断其真假.
反思
1.写由“且”构成的新命题时,若两个命题有公共的主语,则后一个命题可省略主语.2.判断由“且”构成的新命题真假的方法和步骤:(1)先判断每一个命题的真假;(2)利用表Ⅰ判断“且”命题的真假.
“$p \vee q$”形式的命题及其真假的判定
【例2】 分别写出由下列各组命题构成的“$p \vee q$”形式的命题,并判断它们的真假:
$(1)p:$正多边形各边相等;$q:$正多边形各内角相等.
$(2)p:$线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等;$q$:角平分线上的点到角两边的距离不相等.
$(3)p:$正六边形的对角线都相等;$q:$偶数都是4的倍数.
分析:用逻辑联结词“或”把命题$p,q$联结起来构成“$p \vee q$”形式的命题;利用表Ⅱ判断其真假.
反思
1.写由“或”构成的新命题时,若两个命题有公共的主语,则后一个命题可省略主语.2.判断由“或”构成的新命题真假的方法和步骤:(1)先判断每一个命题的真假;(2)利用表Ⅱ判断“或”命题的真假.
易错题型
【例3】 (1)命题“等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边”是由“或”或“且”构成的新命题吗?若是,指出是哪种形式;若不是,说明理由.
真题
1.下列命题的构成是“$p \vee q$”形式的是( )
A.5既是奇数又是质数
B.$6 \leqslant 7$
C.$\pi$不是有理数
D.2是4的约数并且是7的约数
2.下列命题的构成不是“$p \wedge q$”形式的是( )
A.2是6的约数,也是8的约数
B.方程$x^{2}=1$的一个解是$x=1$,另一个解是$x=-1$
C.2和-2是方程$x^{2}-4=0$的根
D.函数$f(x)=0$既是奇函数又是偶函数
3.命题“方程$|x|=2$的解是$x=\pm 2$”中,使用逻辑联结词的情况是( )
A.使用了逻辑联结词“或”
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“或”与“且”
D.没有使用逻辑联结词
4.下列命题中既是“$p \wedge q$”形式的命题,又是真命题的是( )
A.15或20是5的倍数
B.1和2是方程$x^{2}-3 x+2=0$的根
C.方程$x^{2}+2=0$有实数根
D.有一个角大于$90^{\circ}$的三角形是钝角三角形
5.命题“集合$A$是集合$A \cup B$的子集或是集合$A \cap B$的子集”是_________命题(填“真”或“假”).
