高中数学网推出与充分条件、必要条件
2.理解充分条件和必要条件的意义.
3.掌握判断充分条件、必要条件的方法.
1.命题的条件和结论
“如果$p$,则(那么)$q$”形式的命题,其中p称为命题的条件,$q$称为命题的结论.
【做一做1】 指出命题“如果$a=-b$,则$a=-b$”,则$a^{2}=b^{2}$的条件和结论.
解:命题的条件是$: a=-b$,结论是:$a^{2}=b^{2}$.
2.推出符号“$\Rightarrow$”的含义
当命题“如果$p$,则$q$”是真命题时,就说由$p$成立可推出$q$成立.记作$p \Rightarrow q$,读作“$p$推出$q$”.
【做一做2】 用符号“$\Rightarrow$”表示命题:若$\angle A=60^{\circ}$,则$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$
解:$\angle A=60^{\circ} \Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$
名师点拨只有当一个命题是真命题时,才能使用符号“$\Rightarrow$”表示.例如:命题“如果两个三角形全等,那么它们的面积相等”,因该命题是真命题,故可用符号“$\Rightarrow$”表示为:两个三角形全等?它们的面积相等.命题“如果两个三角形面积相等,那么它们全等”是假命题,故此命题不能用推出符号“$\Rightarrow$”表示.
知识拓展
(1)符号“
”的含义:当命题“如果$p$,则$q$”是假命题时,就说由$p$不能推出$q$.记作
,读作“$p$不能推出$q$”.(2)推出的传递性:若$p \Rightarrow q$,且$q \Rightarrow r$,则$p \Rightarrow r$.
3.充分条件、必要条件
如果由$p$可推出$q$,则称$p$是$q$的充分条件或$q$是$p$的必要条件.
【做一做3】 已知$r : x=8, s : x>7$,问$r$是$s$的充分条件吗?$s$是$r$的必要条件吗?$s$是$r$的充分条件吗?
解:因为$x=8 \Rightarrow x>7$,所以$r$是$s$的充分条件,$s$是$r$的必要条件;又因为
,所以$s$不是$r$的充分条件. 4.充要条件
一般地,如果$p \Rightarrow q$,且$q \Rightarrow p$,则称$p$是$q$的充分且必要条件,简称$p$是$q$的充要条件,记作$p \Leftrightarrow q$.显然,$q$也是$p$的充要条件.$p$是$q$的充要条件,又常说成$q$当且仅当$p$,或$p$与$q$等价.
【做一做4】 已知$p:$两直线平行;$q:$内错角相等.试判断$p$是$q$的什么条件?
解:因为$p \Rightarrow q$,且$q \Rightarrow p$,所以$p$是$q$的充要条件.
名师点拨对充要条件的判定,首先要分清条件$p$和结论$q$,不但要有$p \Rightarrow q$,还要有$q \Rightarrow p$.
知识拓展
充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分也不必要条件:如果$p \Rightarrow q$,且
,则称$p$是$q$的充分不必要条件;如果
,且$q \Rightarrow p$,则称$p$是$q$的必要不充分条件;如果
,且
,则称$p$是$q$的既不充分也不必要条件.
1.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?
剖析:(1)充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是足以保证结论成立的.例如,说“$x>8$”是“$x>6$”的一个充分条件,就是说“$x>8$”这个条件,足以保证“$x>6$”成立.
(2)必要条件:说条件是必要的,就是说该条件必须要有,必不可少.例如,如果$x>6$,那么$x$可能大于8,也可能不大于8;但如果$x$不大于6,那么$x$不可能大于8.因此要使$x>8$必须要有$x>6$这个条件.必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.
2.怎样从集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件?
剖析:首先建立与p,q相对应的集合,即$p : A=\{x | p(x)\}$,
$q : B=\{x | q(x)\}$.
若$A \subseteq B$,则p是q的充分条件,若
,则$p$是$q$的充分不必要条件
若$B \subseteq A$,则p是q的必要条件,若
,则$p$是$q$的必要不充分条件
若$A=B$,则$p, q$互为充要条件
若$A \nsubseteq B, B \nsubseteq A$,则$p$既不是$q$的充分条件,也不是$q$的必要条件
充分条件、必要条件的判断
【例1】 在下列各题中,试判定$p$是$q$的什么条件:
$(1) p :(x-2)(x-3)=0, q : x=2$;
$(2) p$:同位角相等,$q:$两直线平行;
$(3) p : x=3, q : x^{2}=9$;
(4)$p:$四边形的对角线相等,$q:$四边形是平行四边形.
分析:(1)利用“两个因式的积等于零?两个因式中至少有一个等于零”以及充分条件、必要条件的定义判断.
(2)利用平行线的判定定理和性质定理以及充分条件、必要条件的定义判断.
(3)利用平方与开平方的意义,通过计算进行判断.
(4)利用平行四边形的判定定理和性质定理进行判断.
反思
判断$p$是$q$的充分条件、必要条件的方法与步骤:
①分清条件$p$和结论$q$;②判断命题“若$p$,则$q$”和命题“若$q$,则$p$”的真假;③依据充分条件、必要条件的定义给出结论.
利用充分条件、必要条件求参数的范围
【例2】 已知$p :\left\{x | x^{2}-5 x+4 < 0\right\}, \\ q :\{x | 1-m < x < 1+m\}$
,
$p$是
$q$的必要不充分条件,求$m$的取值范围.分析:先化简集合,“
$p$是
$q$的必要不充分条件”$\Leftrightarrow$“
$ q \Rightarrow \square p$,且$ p$
$ q$”,从而明确两集合之间的关系,再利用数轴分析得到关于$m$的不等式组,进而求得$m$的取值范围.反思化简集合,实施等价转化,明确集合之间的关系是解决本题的关键.本题也可将“
$ p$是$q$的必要不充分条件”转化为“$p$是$q$的充分不必要条件”来解决.求充要条件
【例3】 求函数$f(x)=\left(a^{2}+4 a-5\right) x^{2}-4(a-1) x+3$的图象全在$x$轴的上方的充要条件.
分析:先求“函数$f(x)=\left(a^{2}+4 a-5\right) x^{2}-4(a-1) x+3$的图象全在$x$轴的上方”的必要条件,然后再看该条件能否推出“函数$f(x)=\left(a^{2}+4 a-5\right) x^{2}-4(a-1) x+3$的图象全在x轴的上方”,即判断其充分性是否成立.
易错题型
【例4】 已知命题$D : A=\left\{x | x^{2}-5 x-6 < 0\right\},\\ q : B=\{x |-1 < x < 2 a\}$,且$p$是$q$的充分条件,求$a$的取值范围.
真题
1.设$a>0$,且$a \neq 1$,则“函数$f(x)=a^{x}$在$R$上是减函数”是“函数$g(x)=(2-a) x^{3}$在$\mathbf{R}$上是增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知$p : x=0, q : x(x-1)=0$,则$p$是$q$的_________条件.
3.已知在$\triangle A B C$中,有$p : A B=A C, q : \angle C=\angle B$,则$p$是$q$的_________条件.
4.已知$p : x^{2}=1, q : x=1$,则$p$是$q$的_________条件.
5.已知$p : x(x-3) < 0, q :|x| < 2$,则$p$是$q$的_________条件.
6.已知$p :\left\{x | x^{2} < 1\right\}, q="" x="">a\}$,若$p$是$q$的充分不必要条件,求$a$的取值范围.
