空间向量的基本定理

【做一做1】若$\mathbf{m}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{n}=-3 \mathbf{b}-3 \mathbf{a}$,则$\mathbf{m}$与$\mathbf{n}$共线吗?

解:$\because$存在唯一的实数$x=-\frac{1}{3}$ 使$\mathbf{m}=-\frac{1}{3} \mathbf{n}$

$\therefore \mathrm{m} / / \mathrm{n}, \therefore \mathrm{m}$与n共线.

【做一做2-1】空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明.

解:空间中的任意三个向量不一定是共面向量.

例如:对于空间四边形$A B C D, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}$这三个向量就不是共面向量.

【做一做2-2】若向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$不共线,$\mathbf{p}=2 \mathbf{b}, \mathbf{m}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{n}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$,则$\mathbf{p}, \mathbf{m}, \mathbf{n}$共面吗?

分析:利用向量共面的条件,存在唯一的一对实数$x=1, y=-1$,使$\mathbf{p}=x \mathbf{m}+y \mathbf{n}$.

解:因为$\mathbf{p}=\mathbf{m}-\mathbf{n}$,所以$\mathbf{p}, \mathbf{m}, \mathbf{n}$共面.

【做一做3】已知空间的一个基底$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}, \mathbf{m}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{n}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$,则$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$中能与$\mathbf{m}, \mathbf{n}$构成空间的一个基底的是_________. 

答案:c

【例1】 下列命题正确的是(　　)

A.若$\mathbf{a}$与b共线,b与$\mathbf{c}$共线,则$\mathbf{a}$与$\mathbf{c}$共线

B.向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$共面即它们所在的直线共面

C.若向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$是非零向量,则$\mathbf{a}+\mathbf{b}$可成为空间向量的一个基向量

D.若存在唯一的一对实数$x, y$,使$\mathbf{p}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}$,那么向量$\mathbf{p}$与向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共面

【例2】 如图所示,设$E, F$分别为$A B, C D$的中点,求证:$\overrightarrow{E F}$与$\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B C}$共面.

分析:在图中找封闭的四边形,建立向量相等的关系式.

【例3】已知空间四边形$O A B C, M, N$分别是对边$O A, B C$的中点,点$G$在$M N$上,且MG=2GN,设$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}, \overrightarrow{O C}=\mathbf{c}$,试求向量$\overrightarrow{O G}$在基底$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$下的分解式.

分析:在$\triangle O M G$中,将$\overrightarrow{O G}$用$\overrightarrow{O M}$和$\overrightarrow{M G}$表示出来,再逐步将$\overrightarrow{O M}$和$\overrightarrow{M G}$用向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$来表示.

1.已知向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$不共线$\mathbf{p}=k \mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{q}=\mathbf{a}-k^{2} \mathbf{b}$,若$\mathbf{p}, \mathbf{q}$共线,则$k$的值是(　　)

A.0  B.1 

C.-1  D.2

2.当$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}| \neq 0$,且$\mathbf{a}, \mathbf{b}$不共线时,$\mathbf{a}+\mathbf{b} |$与$\mathbf{a}-\mathbf{b} $的关系是(　　)

A.共面  B.不共面

C.共线  D.无法确定

3.在四面体$A B C D$中,$\overrightarrow{A D}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A B}=\mathbf{b}, \overrightarrow{A C}=\mathbf{c}, \overrightarrow{B E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{E C}$,则$\overrightarrow{D E}=$(　　)

$A .-a+\frac{2}{3} \mathbf{b}+\frac{1}{3} \mathbf{c} \mathrm{B} \cdot \mathbf{a}+\frac{2}{3} \mathbf{b}+\frac{1}{3} \mathbf{c}$

$\mathrm{C} \cdot \mathbf{a}-\frac{2}{3} \mathbf{b}+\frac{1}{3} \mathbf{c D} \cdot \frac{2}{3} \mathbf{a}-\mathbf{b}+\frac{1}{3} \mathbf{c}$

4.如图,$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$是平行六面体,则下列错误的一个命题是(　　)

A.存在唯一的实数对$x,y,$使得$\overrightarrow{A C_{1}}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$

B.存在唯一的实数对$x,y,$使得$\overrightarrow{A C}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$

C.存在唯一的有序实数组$x, y, z$,使得$\overrightarrow{A C_{1}}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}+z \overrightarrow{A A_{1}}$

D.存在唯一的有序实数组$x, y, z$,使得$\overrightarrow{A C}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}+z \overrightarrow{A A_{1}}$

5.已知$a=i+k-2 j, b=-i+2 k+3 j, \\  c=-3 i+7 j$
,证明这三个向量共面.