高中数学网空间向量的线性运算
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.
3.能运用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何中的问题.
1.空间向量的概念
(1)向量:在空间中,具有大小和方向的量.
(2)相等的向量(同一向量):同向且等长的有向线段表示的向量.
(3)零向量:起点与终点重合的向量.(手写记作 $\overrightarrow{0}$ )
(4)向量$a$的长度或模:表示向量$a$的有向线段的长度,记作$|\mathbf{a}|$.
(5)向量的基线:表示向量的有向线段所在的直线.
(6)共线向量或平行向量:基线互相平行或重合的空间向量,规定:零向量与任意向量共线.
名师点拨在空间中,$A$为向量$\overrightarrow{A B}$的起点,$B$为向量$\overrightarrow{A B}$的终点.
【做一做1】正方体$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$中与向量$\overrightarrow{A A^{\prime}}$相等的
向量有________________个.
答案:3
2.空间向量的加法、减法和数乘运算
(1)加法$: \mathbf{a}+\mathbf{b}=\overrightarrow{O B}$
(2)减法:$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\overrightarrow{C A}$
(3)数乘:$|\lambda \mathbf{a}|=|\lambda||\mathbf{a}|$,
当$\lambda>0$时,$\lambda \mathbf{a}$与$\mathbf{a}$方向相同;
当$\lambda < 0$时,$\lambda \mathbf{a}$与$\mathbf{a}$方向相反;
当$\lambda=0$时,$\lambda \mathbf{a}$为零向量.
(4)线性运算律
①加法交换律:$a+b=b+a$;
②加法结合律:$(a+b)+c=a+(b+c)$;
③分配律:$(\lambda+\mu) \mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{a}, \lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}$.
名师点拨1.平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立.
2.三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.
【做一做2-1】在平行六面体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}$,
$\overrightarrow{A D}=\mathbf{b}, \overrightarrow{A A_{1}}=\mathbf{c}$,则$\overrightarrow{D_{1} B}$等于( )
$\begin{array}{ll}{A \cdot a+b+c} & {B \cdot a+b-c} \\ {C \cdot a-b-c} & {D-a+b+c}\end{array}$
解析:画图(图略)可得$\overrightarrow{D_{1} B}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D_{1}}=\overrightarrow{A B}-\left(\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A_{1} D_{1}}\right)$
$=\overrightarrow{A B}-\left(\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A D}\right)=\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}$.
答案:C
【做一做2-2】在棱长为1的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$\left|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C B_{1}}\right|=$______________.
答案:$\sqrt{2}$
1.如何理解空间向量的有关概念?
剖析:(1)空间向量的概念及表示与平面向量一样.
(2)零向量的方向是任意的,而不是零向量没有方向.
(3)向量只是用有向线段来表示,但向量不是有向线段.
(4)共线向量或平行向量,其基线平行或重合均可.共线向量的起点和终点未必共线,平行向量的基线未必平行(可能重合),应特别注意零向量与任意向量共线.
2.空间向量加法的运算要注意什么?
剖析:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.
如:$\overrightarrow{A_{1} A_{2}}+\overrightarrow{A_{2} A_{3}}+\overrightarrow{A_{3} A_{4}} \\ +\dots+\overrightarrow{A_{n-1} A_{n}}=\overrightarrow{A_{1} A_{n}}$
因此,求空间若干个向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量.
(2)首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.
即:$\overrightarrow{A_{1} A_{2}}+\overrightarrow{A_{2} A_{3}}+\overrightarrow{A_{3} A_{4}} \\ +\cdots+\overrightarrow{A_{n-1} A_{n}}+\overrightarrow{A_{n} A_{1}}=0$
(3)平面中两个向量相加的平行四边形法则及三角形法则在空间中仍然成立.
空间向量的概念
【例1】 下列命题是真命题的序号是______________.
①在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$\overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{C D}$这两个向量不是共线向量.
②若向量$a$与$b$平行,则$a,b$的方向相同或相反.
③若向量$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}$满足$|\overrightarrow{A B}|>|\overrightarrow{C D}|$,且$\overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{C D}$同向,则$\overrightarrow{A B}>\overrightarrow{C D}$.
④若向量$a=b$,则$|a|=|b|$.
反思
注意空间向量概念的理解,注意区别向量与向量的模以及向量的手写体与印刷体.空间向量的线性运算
【例2】 已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,M为CC'的中点(如图),化简下列向量表达式,并在图中表示化简结果.
$(1) \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B^{\prime} C}$
(2) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C C}$
分析:(1)利用$\overrightarrow{B^{\prime} C}=\overrightarrow{B C}$或$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$;
(2)利用$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$.
反思
注意结合图形使用相等向量转化.化简向量表达式
【例3】 化简向量$\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}$.
反思
空间向量的减法运算注意使用相反向量,无图形的空间向量的加减法运算注意使用交换律和结合律,同时注意运算结果是0,而不是0.真题
1.“两个向量共线”是“两个向量相等”的____________条件.
2.已知$M,N$分别是四面体$ABCD$的棱$AB,CD$的中点,则$\overrightarrow{M N}=$________$(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})$.
3.在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,分别写出与向量$\overrightarrow{A B}$共线的向量和相等的向量.
4.如图,在平行六面体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中化简下列各式:
$(1) \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A_{1} D_{1}}$
$(2) \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C C_{1}}$
