两个向量的数量积
2.理解两个向量的数量积的概念.
3.会利用数量积的定义及运算律,计算两个向量的数量积及向量的模.
1.两个向量的夹角
(1)定义及表示:
已知两个非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,在空间中任取一点O,作$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$
则$\angle A O B$叫做向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角,记作$<\mathbf{a},>$;
(2)范围和性质:
规定$0 \leqslant<\mathbf{a},>\leqslant \pi$,显然有$<\mathbf{a},>=<\mathbf{b},>$;
如果$<\mathbf{a},>=90^{\circ}$,则称$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$互相垂直,记作$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$.
【做一做1】已知向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$不共线且模相等,$\mathbf{m}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{n}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$,则$<\mathbf{m},>=$_________.
解析:用向量加减法的几何意义及菱形的性质可求得$<\mathbf{m},>=\frac{\pi}{2}$.
答案:$\frac{\pi}{2}$
2.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线;
(2)两条异面直线所成的角:把异面直线平移到一个平面内,这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.
【做一做2】 在正四面体$A B C D$中,$A B$与$C D$的位置关系是( )
A.平行 B.垂直但不相交
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
答案:B
名师点拨对异面直线定义的理解需注意的问题:(1)“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性.(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线.
3.两个向量的数量积
已知空间两个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,则$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos <\mathbf{a},>$叫做两个空间向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的数量积(或内积),记作$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$,即,$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos <\mathbf{a},>$.
【做一做3】已知$|\mathbf{a}|=2,|\mathbf{b}|=3,<\mathbf{a},>=60^{\circ}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=$_________.
答案:3
4.空间向量数量积的性质
$(1) \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}=|\mathbf{a}| \cos <\mathbf{a},>(\mathbf{e}$为单位向量$)$;
(2) $\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$
$(3)|\mathbf{a}|^{2}=\underline{a} \cdot \mathbf{a}$
(4) $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leqslant|\mathbf{a} \| \mathbf{b}|$
.
名师点拨两个向量的数量积的性质的作用:
性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角.
性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直.
性质(3)主要用于计算向量的模.
性质(4)主要用于不等式的证明.
5.两个空间向量的数量积满足的运算律
(1)(λa)?b=λ(a?b);
(2)a?b=b?a(交换律);
(3)(a+b)?c=a?c+b?c(分配律).
【做一做4】下列各式不正确的是 .(填序号)
① $\sqrt{a \cdot a}=\mathbf{a}$
② $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0 \Rightarrow \mathbf{a}=0$或$\mathbf{b}=\mathbf{0}$
③ $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a} \| \mathbf{b}|$
④ $\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=(\mathbf{b}+\mathbf{c}) \cdot \mathbf{a}$
解析:①$\because \sqrt{a \cdot a}=|\mathbf{a}|, \therefore$命题错误;
②$\because \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0 \Rightarrow \mathbf{a} \perp \mathbf{b}, \therefore$命题错误;
③$\because|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}\|\mathbf{b}\|| \cos <\mathbf{a},>|, \therefore$命题错误;
④正确.
答案:①②③
1.如何理解空间向量的夹角?
剖析:(1)只有两个非零向量才可以定义夹角,求向量的夹角注意把向量平移到同一起点;
(2)向量夹角的范围是$[0, \pi]$,向量同向时夹角为0,向量反向时夹角为π;
(3)注意零向量与任意向量平行,零向量与任意向量垂直.
2.如何理解异面直线?
剖析:(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线,异面直线是不同在任何一个平面内,异面直线既不平行也不相交;
(2)注意异面直线所成角的范围是$\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$;
(3)在空间中两直线垂直但未必相交.
3.如何理解空间向量的数量积?
剖析:(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广;
(2)空间向量的数量积的运算符号是“?”,不能省略,更不能写成“×”;
(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;
(4)空间向量的数量积不满足结合律,即$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \neq(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$;
(5)若$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=k$,不能得出$\mathbf{a}=\frac{k}{b}$;
(6)$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$的充要条件是$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法.
求空间向量的夹角
【例1】 如图,在正方体$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$中,求下列各向量的夹角:
$(1) \overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{C C^{\prime}}$;
$(2) \overrightarrow{A C}$与$\overrightarrow{C D}$.
分析:结合图形,利用空间向量的夹角的定义求解
反思求两个向量的夹角,一种方法是结合图形平移向量,利用空间向量的夹角的定义通过解三角形来求,但要注意向量夹角的范围;另一种方法是先求$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$,然后利用公式$\cos <\mathbf{a},>=\frac{a \cdot b}{|a||b|}$求$\cos <\mathbf{a},>$,最后确定$<\mathbf{a},>$.
求空间向量的数量积
【例2】 已知长方体$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} A B=A A^{\prime}=2, A D=4$, $E$为侧面$A B^{\prime}$的中心,F为$A^{\prime} D^{\prime}$的中点,计算下列数量积:$(1) \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B^{\prime}} ;(2) \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{E D^{\prime}} ;(3) \overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{F C^{\prime}}$.
反思求两个向量$\mathbf{m}, \mathbf{n}$的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量$\mathbf{m}, \mathbf{n}$的模及$<\mathbf{m},>$的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量$\mathbf{m}, \mathbf{n}$,从而把$\mathbf{m}, \mathbf{n}$的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.
空间向量的数量积的应用
【例3】 如图所示,在平行四边形$ABCD$中,$A B=A C=1, \angle A C D=90^{\circ}$,将它沿对角线$AC$折起,使$AB$与$CD$成$60^{\circ}$角,求$B,D$间的距离.
分析:可选基底表示出$\overrightarrow{B D}$,利用性质$|\mathbf{a}|^{2}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$来求$|\overrightarrow{B D}|$.
反思通过向量数量积的性质,可证明空间中的垂直关系,求空间中两点间的距离,求空间中角的度数.
真题
1.已知$| \mathbf{a}|=13,| \mathbf{b}|=19,| \mathbf{a}+\mathbf{b} |=24$,则$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=(\quad)$
$\begin{array}{ll}{\text { A. } 22} & {\text { B. } 48} \\ {\text { C. } \sqrt{46}} & {\text { D. } 32}\end{array}$
2.若$\cos <\mathbf{a},b>=\frac{1}{2}$,则$<\mathbf{a},b>=( )$
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A.60}^{\circ}} & {\mathrm{B.30}^{\circ}} \\ {\mathrm{C.45}^{\circ}} & {\mathrm{D.90}^{\circ}}\end{array}$
3.已知$|a|=3 \sqrt{2}|b|=4, m=a+b,$ $\mathbf{n}=\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}, < \mathbf{a}, \mathbf{b} > =135^{\circ}, \mathbf{m} \perp \mathbf{n}$,则$\lambda=$______.
4.已知$|\mathbf{a}|=2 \sqrt{2},|\mathbf{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2}, \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=-\sqrt{2}$,则$ <\mathbf{a},b> =$_________.
5.根据下列等式,求$<\mathbf{a},b>$.
$(1) \cos <\mathbf{a},b>=1$
$(2) \cos <\mathbf{a},b>=0$
$(3) \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=-|\mathbf{a} \| \mathbf{b}|$.