高中数学网直线的方向向量与直线的向量方程 -.2平面的法向量与平面的向量表示
2.会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.
3.会利用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角.
4.理解并会应用三垂线定理及其逆定理.
1.用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)直线的方向向量.
给定一个定点$A$和一个向量$a$,再任给一个实数$t$,以$A$为起点作向量$\overrightarrow{A P}=t \mathbf{a}$,这时点$P$的位置被$t$的值完全确定.当$t$在实数集$R$中取遍所有值时,点$P$的轨迹是通过点$A$且平行于向量$a$的一条直线$l$,向量$a$称为该直线的方向向量.
名师点拨一条直线有无数个方向向量.
(2)空间直线的向量参数方程.
点$A$为直线$l$上的一个定点,$a$为直线$l$的一个方向向量,点$P$为直线$l$上任一点,$t$为一个任意实数,以$A$为起点作向量($\overrightarrow{A P}=t \mathbf{a}$. ①
对空间任一个确定的点$O$,点$P$在直线$l$上的充要条件是存在唯一的实数$t$,满足等式$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \mathbf{a}$. ②
如果在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}$,则②式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O A}+t(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})$,即$\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}$. ③
以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程.
(3)线段$AB$的中点$M$的向量表达式
设$O$是空间任一点,$M$是线段$AB$的中点,则$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$.
【做一做1】 若$A(-1,0,1), B(1,4,7)$在直线$l$上,则直线$l$的一个方向向量为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }(1,2,3)} & {\text { B. }(1,3,2)} \\ {\text { C. }(2,1,3)} & {\text { D. }(3,2,1)}\end{array}$
答案:A
名师点拨若空间三点$P, A, B$满足$\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}$,且$m+n=1$,则$P, A, B$三点共线.
2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)直线与直线平行
设直线$l_{1}$和$l_{2}$的方向向量分别为$\mathbf{V}_{1}$和$\mathbf{V}_{2}$,则$l_{1} / / l_{2}$或$l_{1}$与$l_{2}$重合$\Leftrightarrow \mathbf{v}_{1} / / \mathbf{v}_{2}$.
(2)直线与平面平行
已知两个不共线向量$\mathbf{V}_{1},\mathbf{V}_{2}$与平面$\alpha$共面,一条直线l的一个方向向量为$V$,则$l / / \alpha$或l在$\alpha$内$\Leftrightarrow$存在两个实数$x, y$,使$\mathbf{V}=x \mathbf{v}_{1}+y \mathbf{v}_{2}$.
(3)平面与平面平行
已知两个不共线的向量$\mathbf{V}_{1},\mathbf{V}_{2}$与平面$\alpha$共面,则$\alpha / / \beta$或$\alpha$与$\beta$重合$\Leftrightarrow \mathbf{v}_{1} / / \beta$且$\mathbf{v}_{2} / / \beta$.
【做一做2】$l_{1}$的方向向量$\mathbf{v}_{1}=(1,3,3), l_{2}$的方向向量$\mathbf{v}_{2}=(\lambda, 6,6)$,若$l_{1} / / l_{2}$,则$\lambda=$_________.
答案:2
3.用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为$\theta$,则直线方向向量间的夹角与$\theta$相等或互补;
(2)设直线$l_{1}$和$l_{2}$的方向向量分别为$\mathbf{V}_{1}$和$\mathbf{V}_{2}$,直线$l_{1}$与$l_{2}$的夹角为$\theta$,则
$l_{1} \perp l_{2} \Leftrightarrow \mathbf{y}_{1} \perp \mathbf{v}_{2}, \cos \theta=| \cos <\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \geq 1$.
【做一做3】 设直线$l_{1}$和$l_{2}$的方向向量的夹角为$120^{\circ}$,则$l_{1}$和$l_{2}$这两条直线所成的角为_________.
答案:$60^{\circ}$
名师点拨两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两直线所成的角.
4.法向量的概念
已知平面$\alpha$,如果向量$\mathbf{n}$的基线与平面$\alpha$垂直,则向量$\mathbf{n}$叫做平面$\alpha$的法向量或说向量$\mathbf{n}$与平面$\alpha$正交.
【做一做4】 若$\mathbf{n}=(2,2,1)$是平面$\alpha$的一个法向量,下列向量中能作平面$\alpha$的法向量的是( )
A. $\left(1,1, \frac{1}{2}\right) \mathrm{B} \cdot(2,3,1)$
C. $\left(-1,1, \frac{1}{2}\right)$ D. $(2,2,2)$
答案:A
5.平面的向量表示式
设$A$是空间任一点,$\mathbf{n}$为空间内任一非零向量,适合条件$\overrightarrow{A M} \cdot \mathbf{n}=0$的点$M$构成的图形是过空间内一点并且与一个向量垂直的平面,
$\overrightarrow{A M} \cdot \mathbf{n}=0$通常称为一个平面的向量表示式.
【做一做5】 $\mathbf{n}$为空间任一非零向量,若$\overrightarrow{A M} \cdot \mathbf{n}=0, \overrightarrow{B N} \cdot \mathbf{n}=0$,则$A, M, B, N$四点是否在同一平面内?
6.利用法向量判断平面与平面的平行与垂直
设$\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}$分别是平面$\alpha, \beta$的法向量,则容易得到
平面$\alpha / /$平面$\beta$或$\alpha$与$\beta$重合$\Leftrightarrow \mathbf{n}_{1} / / \mathbf{n}_{2}$;
平面$\alpha \perp$平面$\beta \Leftrightarrow \mathbf{n}_{1} \perp \mathbf{n}_{2} \Leftrightarrow \mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2}=0$.
【做一做6】 已知平面$\alpha, \beta$的法向量分别是$\mathbf{a}=(4,0,-2), \mathbf{b}=(1,0,2)$,则平面$\alpha, \beta$的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.无法判断
答案:B
名师点拨1.用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理.
2.用向量方法证明平行或垂直问题的步骤:
(1)建立空间图形与空间向量之间的关系(可以建立空间直角坐标系,也可以不建立).
(2)通过向量运算研究垂直关系问题.
(3)根据运算结果解释相关问题.
7.三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理:如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
名师点拨定理中的已知直线必须是已知平面内的直线.三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题.
【做一做7】 已知斜线$b$在平面$\alpha$内的射影为$c$,且直线$a \perp c$,则$a$与$b$_________垂直.(填“一定”或“不一定”)
答案:不一定(因为$a$不一定在平面$\alpha$内)
1.空间直线的向量参数方程有什么作用?
剖析:直线的向量参数方程$\overrightarrow{A P}=t \mathbf{a}$是$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \mathbf{a}$和$\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}(\overrightarrow{A B}=\mathbf{a})$的基础.空间中$P, A, B$三点共线的充要条件是$\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}(\lambda+\mu=1)$.
2.如何用向量的方法证明空间中的平行关系?
剖析:空间中的平行关系本质上是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,即$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}(\lambda \in \mathbf{R})$.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可;证明面面平行也可用证明平面的法向量平行的方法.
3.如何理解平面的法向量?
剖析:平面的法向量并不唯一,并且平面的法向量垂直于平面内的所有向量.
设$\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}$分别是平面$\alpha, \beta$的法向量:
平面$\alpha / /$平面$\beta$或α与$\beta$重合$\Leftrightarrow \mathbf{n}_{1} / / \mathbf{n}_{2}$;
平面$\alpha \perp$平面$\beta \Leftrightarrow \mathbf{n}_{1} \perp \mathbf{n}_{2} \Longleftrightarrow \mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2}=0$.
利用向量方法判定线、面的位置关系
【例1】 (1)设$\mathbf{a}, \mathbf{b}$分别是直线$l_{1}, l_{2}$的方向向量,根据下列条件判断$l_{1}, l_{2}$的位置关系:
① $\mathbf{a}=(2,3,-1), \mathbf{b}=(-6,-9,3)$
$② \mathbf{a}=(5,0,2), \mathbf{b}=(0,4,0)$
(2)设$\mathbf{u}, \mathbf{V}$分别是平面$\alpha, \beta$的法向量,判断$\alpha, \beta$的位置关系:
$① \mathbf{u}=(1,-1,2), \mathbf{v}=\left(3,2,-\frac{1}{2}\right)$
② $\mathbf{u}=(0,3,0), \mathbf{v}=(0,-5,0)$
(3)设$\mathbf{u}$是$\alpha$的法向量,$a$是直线$l$的方向向量,判断$\alpha, l$的位置关系:
① $\mathbf{u}=(2,2,-1), \mathbf{a}=(-3,4,2)$
② $\mathbf{u}=(0,2,-3), \mathbf{a}=(0,-8,12)$
反思
解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.
平面的法向量的求法
【例2】 已知四边形$ABCD$是直角梯形,$\angle A B C=90^{\circ}, S A \perp$平面$A B C D, S A=A B=B C=2, A D=1$,求平面SCD和平面$SAB$的法向量.
分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.
反思
平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的两个向量是不共线的,赋值时保证所求法向量为非零向量.
利用向量法证明空间中的平行关系
【例3】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$A A_{1}=2 A B=2 B C, E, F, E_{1}$分别是棱$A A_{1}, B B_{1}, A_{1} B_{1}$的中点.
求证:$C E / /$平面$C_{1} E_{1} F$.
反思
解决此类题目,能建立坐标系的先建立坐标系,找出相应直线的方向向量和平面的法向量,并确定它们对应的坐标,进行求解、证明;不方便建立坐标系的可以用基向量法.
向量法证明线线垂直、线面垂直
【例4】 如图,在四棱锥$P-A B C D$中,PA⊥底面$A B C D, A B \perp A D$,
$A C \perp C D, \angle A B C=60^{\circ} P A=A B=B C, E$是$P C$的中点.
求证:$(1) A E \perp C D$;
$(2) P D \perp$平面$A B E$.
反思
1.证明线线垂直一般转化为证明直线上的向量的数量积为零.2.证明线面垂直有两种方法.
一是用线面垂直的判定定理证明;
二是通过证明直线上的向量与平面的法向量平行来证明.
向量法证明面面垂直
【例5】 在四面体$A B C D$中,$A B \perp$平面$B C D, B C=C D$,
$\angle B C D=90^{\circ}, \angle A D B=30^{\circ}, E, F^{\prime}$分别是$A C, A D$的中点,求证:平面$B E F \perp$平面$A B C$.
分析:本题首先可证出$\overrightarrow{C D}$为平面ABC的一个法向量,然后再证明两平面的法向量垂直.
反思
证明面面垂直的传统方法是转化为线面垂直、线线垂直,另一种方法是证明两个平面的法向量垂直.应用后一种方法的关键是:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出平面的一个法向量;(3)判断两个法向量的关系;(4)由法向量的关系转化为平面关系.
真题
1.两条不重合的直线$l_{1}$和$l_{2}$的方向向量分别为$\mathbf{v}_{1}=(1,0,-1), \mathbf{v}_{2}=(-2,0,2)$,则$l_{1}$与$l_{2}$的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定
2.已知动点P的竖坐标为0,则动点P的轨迹是( )
A.平面
B.直线
C.不是平面也不是直线
D.以上都不对
3.已知两条异面直线$l_{1}, l_{2}$的方向向量分别为$\mathbf{v}_{1}$和$\mathbf{v}_{2}$,若$\cos <\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}>=-\frac{1}{2}$,则$l_{1}$与$l_{2}$所成角的余弦值为______________.
4.已知点$A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)$,则平面$ABC$的单位法向量的坐标为______________.
5.已知$\mathbf{u}=(-2,2,5), \mathbf{v}=(6,-4,4)$分别是平面$\alpha, \beta$的法向量,则$\alpha$与$\beta$的位置关系是______________.
6.求证:在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$\overrightarrow{D B_{1}}$是平面$A C D 1$的法向量
