高中数学网抛物线的标准方程
2.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线$l(F \in l)$的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线$l$叫做抛物线的准线.
名师点拨抛物线定义中的定点$F$不在定直线$l$上,否则点的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.
2.抛物线的标准方程
方程$y^{2}=2 p x(p>0)$叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在$x$轴的正半轴上,坐标$\left(\frac{p}{2}, 0\right)$
它的准线方程是$x=-\frac{p}{2}$,其中$p$是焦点到准线的距离.
【做一做】若抛物线的焦点坐标为$(1,0)$,则抛物线的标准方程为( )
$A \cdot y^{2}=x \quad$ B. $y^{2}=2 x$
$\mathrm{C} \cdot y^{2}=4 x$ D.无法确定
解析:因为焦点(1,0)在x轴的正半轴上,
所以抛物线的标准方程为$y^{2}=4 x$.故选C.
答案:C
抛物线是双曲线的一支吗?
剖析:虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”,但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支.
当抛物线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与对称轴近似平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与渐近线近似平行;抛物线没有渐近线;从方程上看,抛物线方程与双曲线方程有很大差别.
抛物线的标准方程
【例1】 已知焦点在$x$轴正半轴的抛物线$C$经过点$(2,-4)$,求抛物线的标准方程.
分析:已知抛物线的焦点在$x$轴正半轴,设出标准方程$y^{2}=2 p x(p>0)$,将点$(2,-4)$代入求解即可.
抛物线定义的应用
【例2】过抛物线$x=4 y^{2}$的焦点作直线交抛物线于$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$两点,若$x_{1}+x_{2}=5$,求线段$A B$的长.
分析:先把方程化为标准方程,即$y^{2}=\frac{1}{4} x$,再由抛物线的定义得到答案.
反思
过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦,焦点与抛物线上的点的连线叫焦半径.已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上的点$M\left(x_{0}, y_{0}\right)$,则过该点的焦半径为$x_{0}+\frac{p}{2}$根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程
【例3】已知抛物线的方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:
$(1) y^{2}=8 x ;(2) x=a y^{2}(a>0)$.
分析:先将所给方程化为标准形式,求出$p$,再结合图形,求出焦点坐标与准线方程.
真题
1.抛物线$y^{2}=a x(a>0)$的焦点到其准线的距离是( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } \frac{a}{4}} & {\text { B. } \frac{a}{2}} \\ {\text { C.a }} & {\text { D. } 2 a}\end{array}$
2.抛物线$x=4 y^{2}$上的一点$M$到焦点的距离为1,则点$M$的横坐标是( )
A. $\frac{17}{16} \mathrm{B} \cdot \frac{15}{16}$
C. $-\frac{15}{16} \mathrm{D} .-\frac{17}{16}$
3.以抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为fun88网上娱乐网上娱乐心,且过坐标原点的fun88网上娱乐网上娱乐的方程为( )
A. $x^{2}+y^{2}+2 x=0$
B. $x^{2}+y^{2}+x=0$
C. $x^{2}+y^{2}-x=0$
D. $x^{2}+y^{2}-2 x=0$
4.抛物线$y^{2}=2 x$上的两点$A, B$到焦点的距离之和是5,则线段$A B$的中点到$y$轴的距离是_________.
5.已知点$P(1,-2)$在抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上,求点$P$到抛物线焦点的距离.
分析:由点$P$在抛物线上可求得$P$值,再结合定义求得点$P$到焦点的距离.
