高中数学网双曲线的标准方程
2.掌握双曲线的标准方程的定义.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离的差的绝对值等于常数(小于$\left|F_{1} F_{2}\right|$且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
名师点拨在双曲线的定义中,
(1)当常数等于$\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点的轨迹是以$F_{1}, F_{2}$为端点的两条射线(包括端点).
(2)当常数大于$\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点的轨迹不存在.
(3)当常数等于零时,动点的轨迹是线段$F_{1} F_{2}$的垂直平分线.
(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹就成为双曲线的一支.
做一做1】 已知定点$\mathrm{F}_{1}(-3,0), F_{2}(3,0)$),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,为双曲线的是( )
A. $| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=5$
B. $| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=6$
C. $\| P F_{1}|-| P F_{2}| |=7$
$\mathrm{D} .\left|P F_{1}\right|^{2}-\left|P F_{2}\right|^{2}=\pm 6$
解析:因为$\left|F_{1} F_{2}\right|=6$,所以与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离的差的绝对值应小于6,故选A.
答案:A
2.双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
$\frac{z^{2}}{2^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
焦点坐标
$F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$
$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$
$a, b, c$的
关系
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
名师点拨(1)由求双曲线标准方程的过程可知,只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才得到双曲线的标准方程.
(2)在双曲线的标准方程中,若$x^{2}$的系数为正,则焦点在x轴上;若$y^{2}$的系数为正,则焦点在y轴上.
【做一做2-1】 双曲线$\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦距为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A.3 } \sqrt{2}} & {\text { B.4 } \sqrt{2}} \\ {\text { C.3 } \sqrt{3}} & {\text { D. } 4 \sqrt{3}}\end{array}$
解析:由已知得$c^{2}=a^{2}+b^{2}=10+2=12$,
$\therefore c=2 \sqrt{3}$,故双曲线的焦距为4$\sqrt{3}$.
答案:D
【做一做2-2】 若双曲线的焦点在$x$轴上,且经过$(2,0),(4,3)$两点,则双曲线的标准方程为_________.
解析:设双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}=1(a>0, b>0)$,由题意知a=2,则$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,将点(4,3)代入得$\frac{16}{4}-\frac{9}{b^{2}}=1$,解得$b^{2}=3$,故双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$.
答案:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐与双曲线有哪些不同?
剖析:
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
椭fun88网上娱乐网上娱乐
双曲线
$\left|M F_{1}\right|+\left|M F_{2}\right|=2 a$
$\left|M F_{1}\right|-\left|M F_{2}\right|=\pm 2 a$
因为$a>c>0$,所以令$a^{2}-c^{2}=b^{2}(b>0)$
因为$c>a>0$,所以令$c^{2}-a^{2}=b^{2}(b>0)$
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$其中a>b>0
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$其中a>0, b>0
2.求双曲线方程的常用方法有哪些?
剖析:
(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数$a, b$的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分类讨论.(2)定义法.
双曲线的定义及应用
【例1】 如图所示,已知定fun88网上娱乐网上娱乐$F_{1} : x^{2}+y^{2}+10 x+24=0$,定fun88网上娱乐网上娱乐$F_{2} : x^{2}+y^{2}-10 x+9=0$,动fun88网上娱乐网上娱乐$M$与定fun88网上娱乐网上娱乐$F_{1}, F_{2}$都外切,求动fun88网上娱乐网上娱乐fun88网上娱乐网上娱乐心$M$的轨迹方程.
分析:可利用双曲线定义来解.
反思
遇到动点到两定点的距离之差的问题时,应联想到能否用双曲线的定义来解,并要注意$x$的范围.求双曲线的标准方程
【例2】 已知双曲线的焦点在$y$轴上,并且双曲线过点$(3,-4 \sqrt{2})$,点$\left(\frac{9}{4}, 5\right)$,求双曲线的标准方程.
分析可根据已知条件,先设方程,再把点的坐标代入即可.
反思
双曲线的标准方程有两种形式
:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0), \\ \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$
,方程$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$表示双曲线的充要条件是$m n < 0$.与双曲线有关的轨迹问题
【例3】 在$\triangle M N G$中,$|N G|=4$,点M是动点,且$\sin G-\sin N=\frac{1}{2} \sin M$,求动点$M$的轨迹方程.
分析:已知角的关系,可先用正弦定理,化角的关系为边的关系,再考虑用定义求轨迹方程.
反思
求轨迹方程时,如果没有平面直角坐标系,那么要建立适当的平面直角坐标系.动点$M$的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点,这种情况一般在求得方程的后面应加以说明,并把说明的内容加上括号.易错题型
【例4】 已知双曲线$4 x^{2}-9 y^{2}+36=0$,求它的焦点坐标.
反思
判断时,需先将原方程化为标准形式,即方程的右边是1,方程的左边是“$x^{2}$”和“$y^{2}$”项的差,再根据“$x^{2}$”与“$y^{2}$”系数的正负判断焦点所在的坐标轴,最后求解.真题
1.已知$F_{1}(-8,3), F_{2}(2,3)$,动点$P$满足$\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=10$,则点$P$的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
2.若双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{144}=1$上一点P到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是( )
$A.P$到左焦点的距离是8
$B.P$到左焦点的距离是15
$C.P$到左焦点的距离不确定
$D.$这样的点$P$不存在
3.已知方程$\frac{x^{2}}{k-3}+\frac{y^{2}}{2-k}=1$表示焦点在$y$轴上的双曲线,则$k$的取值范围是___________.
4.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)$a=4,c=5$,焦点在$x$轴上;
(2)$a=b$,经过点$(3,-1)$.
