高中数学网双曲线的几何性质
2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
$\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
图形
性
质
范围
$x \geqslant a$
或$x \leqslant-a, y \in \mathbf{R}$$x \in \mathbf{R}, y \leqslant-a$
或$y \geq a$对称性
对称轴:坐标轴
对称中心:原点
对称轴:坐标轴
对称中心:原点
顶点
顶点坐标
$A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$
顶点坐标
$A_{1}(0,-a), A_{2}(0, a)$
标准方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>0, b>0)$
性
质
渐近线
$y=\pm \frac{b}{a} x$
$y=\pm \frac{a}{b} x$
离心率
$e=\frac{c}{a}, e \in(1,+\infty)$,其中$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
实
虚
轴
线段$A_{1} A_{2}$叫做双曲线的实轴,它的长$\left|A_{1} A_{2}\right|=2 a$;线段$B_{1} B_{2}$叫做双曲线的虚轴,它的长$\left|B_{1} B_{2}\right|=2 b ; a$叫做双曲线的实半轴长,$b$叫做双曲线的虚半轴长.
$a, b, c$的关系
$c^{2}=a^{2}+b^{2}(c>a>0, c>b>0)$
名师点拨与椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程相比较,在双曲线的标准方程中,a,b只限制$a>0, b>0$,二者没有大小要求.若限制$a>b>0$或$a=b>0$或$0 < ab>0$时,$1 < e<\sqrt{2}$,当$a=b>0$时,$e=\sqrt{2}$(亦称等轴双曲线),当$0 < a\sqrt{2}$.
【做一做1】 已知双曲线的方程为$2 x^{2}-3 y^{2}=6$,则此双曲线的离心率为( )
$\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$ $\mathrm{C} \frac{\sqrt{15}}{3} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{3}$
解析:$\because$双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$,
$\therefore a=\sqrt{3}, c=\sqrt{5}, \therefore e=\frac{\sqrt{15}}{3}$.
答案:C
【做一做2】 已知双曲线的离心率为2,焦点是$(-4,0),(4,0)$,则其标准方程为_________.
解析:$\because \frac{c}{a}=2, c=4, \therefore a=2, b=2 \sqrt{3}$,
$\therefore$
又双曲线的焦点在x轴,
故双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$.
答案:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
1.对有共同渐近线的双曲线系方程的理解
剖析若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{\prime 2}}-\frac{y^{2}}{b^{\prime}}=\pm 1$有相同的渐近线,即两对直线$\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$与$\frac{x}{a^{\prime}} \pm \frac{y}{b^{\prime}}=0$分别重合,则必有$\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{1}{k}(k>0)$.故$a^{\prime}=k a, b^{\prime}=k b(k>0)$.
反之,易求得双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$有相同的渐近线$y=\pm \frac{b}{a} x$,故与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$有相同的渐近线的双曲线系方程为$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$,上述方程可简化为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$.因此在已知渐近线方程的情况下,利用双曲线系$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$求双曲线方程较为方便.
2.已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率的方法
剖析:设双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$,其中$y=\frac{b}{a} x$的倾斜角为$\theta$.若双曲线的焦点在x轴上,则$e=\frac{1}{\cos \theta}$,若双曲线的焦点在y轴上,则$e=\frac{1}{\sin \theta}$,显然$a, b, c$可以看成一个直角三角形的三条边.
已知双曲线方程求其几何性质
【例1】 求双曲线$9 y^{2}-4 x^{2}=-36$的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.
分析:将双曲线方程变为标准方程,确定$a, b, c$后求解.
反思求双曲线的几何性质必须先把方程化为标准形式,作几何图形时,应先画出两条渐近线和两个顶点.
已知双曲线的几何性质求双曲线的方程
【例2】 已知双曲线的渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3} x$,且过点$M(1, \sqrt{15})$,求双曲线的方程.
分析:应先根据渐近线方程设出双曲线的方程,再代入点的坐标求解.
反思
要注意在已知渐近线方程的情况下双曲线方程的设法,即已知渐近线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$或$y=\pm \frac{b}{a} x$时,设双曲线方程为$\left(y+\frac{b}{a} x\right)\left(y-\frac{b}{a} x\right)=m(m \neq 0)$.与双曲线的渐近线有关的问题
【例3】 双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$的渐近线方程为_________.
反思
求双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的渐近线方程,一般有两种方法:①求出$a, b$,代入$y=\pm \frac{b}{a} x$得渐近线方程.
②令$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0$,得$\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$,即$y=\pm \frac{b}{a} x$.
求双曲线的离心率
【例4】 双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点分别为$F_{1}, F_{2}$,如图,以$F_{1} F_{2}$为边作等边三角形$M F_{1} F_{2}$.若双曲线恰好平分三角形的另两边,交$M F_{1}$于点H,交$M F_{2}$于点N,则双曲线的离心率为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } 1+\sqrt{3}} & {\text { B. } 4+2 \sqrt{3}} \\ {\text { C. } 2 \sqrt{3}-2} & {\text { D. } 2 \sqrt{3}+2}\end{array}$
反思因为双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$,所以要求离心率,只要找到$a, b, c$三者之间任意两者的关系即可.
真题
1.双曲线的方程为$x^{2}-2 y^{2}=1$,则它的右焦点坐标为 ( )
A. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \quad$ B. $\left(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) \quad$ C. $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right)$ D. $(\sqrt{3}, 0)$
2.已知双曲线$C : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的焦距为10,点$P(2,1)$在$C$的渐近线上,则$C$的方程为( )
A. $\frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{5}=1 \mathrm{B} \cdot \frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{20}=1$
C. $\frac{x^{2}}{80}-\frac{y^{2}}{20}=1 \mathrm{D} \cdot \frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{80}=1$
3.双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{16}=1$的离心率是( )
A. $\frac{3}{5} \mathrm{B} \cdot \frac{5}{3}$
C. $\frac{\sqrt{41}}{5} \mathrm{D} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}}$
4.若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线方程为$\frac{x}{3}+y=0$,则此双曲线的离心率为____________.
5.已知以原点$O$为中心,$F(\sqrt{5}, 0)$为右焦点的双曲线$C$的离心率$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$.求双曲线$C$的标准方程及其渐近线方程.
分析:由题意可知焦点在$x$轴上,所以可设方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,再由离心率知 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,又因为$c=\sqrt{5}$,从而可求得$a, b$,即可求得双曲线$C$的标准方程及其渐近线方程.
