椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质
2.掌握椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程中a,b,c,e的几何意义及其之间的相互关系.
焦点在$x$轴、$y$轴上的椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质与特征的比较:
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
$\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
范围
$-a \leq x \leqslant a, \\ -b \leqslant v \leqslant b$
$-a \leq v \leqslant a, \\ -b \leq x \leq b$
顶点
$A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$
$B_{1}(0,-b), B_{2}(0, b)$
$A_{1}(0,-a), A_{2}(0, a)$
$B_{1}(-b, 0), B_{2}(b, 0)$
轴长
长轴长为2$a$,短轴长为2$b$
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦距
2$c\left(c^{2}=a^{2}-b^{2}\right)$
对称性
对称轴为$x$轴,$y$轴,对称中心为原点
离心率
$e=\frac{c}{a} \in(0,1)$,其中$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$
名师点拨(1)判断曲线关于原点,x轴,y轴对称的方法.
若把方程中的$x$换成$-x,y$换成$-y$,方程不变,则曲线关于原点对称.
若把方程中的$y$换成$-y$,方程不变,则曲线关于$x$轴对称.
若把方程中的$x$换成$-x$,方程不变,则曲线关于$y$轴对称.
(2)椭fun88网上娱乐网上娱乐的顶点是它与对称轴的交点.
【做一做1】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{36}=1$的长轴长为( )
A.5 B.3 C.6 D.12
解析:由椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程可知长半轴长$a=6$,所以长轴长$2a=12$.
答案:D
【做一做2】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率为_________.
答案:$\frac{4}{5}$
椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率
剖析:(1)椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦距与长轴长的比,称作椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率.记作$e=\frac{c}{a}$
(2)因为$a>c>0$,所以离心率$e$的取值范围是$0 < e < 1$.
离心率的大小对椭fun88网上娱乐网上娱乐形状的影响:
①当$e$趋近于1时,$c$趋近于a,从而$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$,因此椭fun88网上娱乐网上娱乐越扁平;
②当$e$趋近于0时,$c$趋近于0,从而$b$趋近于$a$,因此椭fun88网上娱乐网上娱乐越接近于fun88网上娱乐网上娱乐.
椭fun88网上娱乐网上娱乐与fun88网上娱乐网上娱乐是两种不同的曲线,因此椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率满足不等式$0 < e < 1$.
当$e=0$时,曲线为fun88网上娱乐网上娱乐.
利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程研究其几何性质
【例1】 分别求出椭fun88网上娱乐网上娱乐$25 x^{2}+16 y^{2}=400$的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.
分析:把椭fun88网上娱乐网上娱乐方程写成标准形式,求出基本元素$a, b, c$,即可求出答案.
反思
已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,找准$a$与$b$,求出$c$,才能正确地得出椭fun88网上娱乐网上娱乐的有关性质.利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质求椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程
【例2】 已知 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+y 2=1(a>0, a \neq 1)$表示离心率为$\frac{1}{2}$的椭fun88网上娱乐网上娱乐,求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
分析:椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点不知在哪个坐标轴上,故需要分两种情况来讨论,再由$e=\frac{1}{2}$即可求得.
反思在求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程时,首先要分清焦点在哪个坐标轴上,然后利用条件求出$a^{2}$.本题所给方程中的$a$与椭fun88网上娱乐网上娱乐标准方程中的a不同.
椭fun88网上娱乐网上娱乐几何性质的应用
【例3】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的中心在原点,离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}, F$,F为左焦点,A为右顶点,B为短轴一顶点,求$\angle A B F$的余弦值.
分析:已知离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$a=\sqrt{2} c$.再由$a,b,c$的关系可得$b=c$.在$\Delta A B F$中,由余弦定理可求得结果.
真题
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐$6 x^{2}+y^{2}=6$的长轴的端点坐标为( )
A. $(-1,0),(1,0)$
B. $(-6,0),(6,0)$
C. $(-\sqrt{6}, 0),(\sqrt{6}, 0)$
D. $(0,-\sqrt{6}),(0, \sqrt{6})$
2.椭fun88网上娱乐网上娱乐 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$与椭fun88网上娱乐网上娱乐 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}=1$有( )
A.相同的短轴 B.相同的长轴
C.相同的离心率 D.坐标相同的两个顶点
3.已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的对称轴是坐标轴,离心率为$\frac{1}{3}$,长轴长为12,则椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程是( )
A. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{6}=1 \quad$ B. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1$
$\mathrm{C} \cdot \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1$或$\frac{y^{2}}{36}+\frac{x^{2}}{32}=1$ $D \cdot \frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{36}=1$
4.已知$P$是椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上的一动点,且$P$与椭fun88网上娱乐网上娱乐长轴两顶点连线的斜率之积为$-\frac{1}{2}$,则椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率为( )
A. $\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{C} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$
5.已知椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$,则$m$的值为__________.
6.已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点在坐标轴上,且椭fun88网上娱乐网上娱乐过点$(3,0)$,离心率$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$,求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.