高中数学网导数的实际应用
2.学会利用导数求解实际问题,感受导数在解决实际问题中的作用.
求实际问题中的最值的主要步骤
(1)列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系$y=f(x)$;
(2)求函数的导数$f^{\prime}(x)$,解方程$f^{\prime}(x)=0$;
(3)比较函数在区间端点和使$f^{\prime}(x)=0$的点的取值大小,最大(小)者为最大(小)值.
名师点拨1.求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考虑,不符合实际意义的理论值应舍去.
2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使$f^{\prime}(x)=0$的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间.
【做一做1】 内接于半径为R的半fun88网上娱乐的周长最大的矩形的边长为( )
$\mathrm{A} \cdot \frac{R}{2}$和$\frac{3}{2} R$ $\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} R$和 $\frac{4 \sqrt{5}}{5} R$
$\mathrm{C} \cdot \frac{4}{5} R$和 $\frac{7}{5} R$ D.以上都不对
解析：设与半fun88网上娱乐中直径垂直的矩形边长为$x$,则另一边长为2$\sqrt{R^{2}-x^{2}}$,周长$l=2 x+4 \sqrt{R^{2}-x^{2}}(0 < x < R) \cdot l^{\prime} \\ =2-\frac{4 x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}$
令$l^{\prime}=0$,得$x_{1}=\frac{\sqrt{5}}{5} R, x 2=-\frac{\sqrt{5}}{5} R$(舍去),
当$0 < x<\frac{\sqrt{5}}{5}>0$;
当$\frac{\sqrt{5}}{5} R < x < R$时,$l^{\prime} < 0$,故当$x=\frac{\sqrt{5}}{5} R$时,$l$取最大值,
即矩形周长最大时边长为$\frac{\sqrt{5}}{5} R$和$\frac{4 \sqrt{5}}{5} R$.
答案：B
【做一做2】 面积为$S$的所有矩形中,其周长最小的是________.
解析：设矩形的一边长为$x$,则另一边长为$\frac{S}{x}$,周长$f(x)=2\left(x+\frac{S}{x}\right), f^{\prime}(x)=2\left(1-\frac{S}{x^{2}}\right)$,
令$f^{\prime}(x)=0$,得$x=\sqrt{S}$,易知当$x=\sqrt{S}$时,$f(x)$有极小值,也就是最小值.
答案：以$\sqrt{S}$为边长的正方形
如何求解实际应用题?
剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题.就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型;再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验,其思路如下:
(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;
(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
注意在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使$f^{\prime}(x)=0$的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
利用导数求实际问题的最小值
【例题1】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:$C(x)=\frac{k}{3 x+5}(0 \leqslant x \leqslant 10)$若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设$f(x)$为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求$k$的值及$f(x)$的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用$f(x)$达到最小,并求最小值.
分析：根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值.
反思
解答一道应用题重点要过三关:事理关(需要读懂题意,知道讲的是什么事件);文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系);数理关(要求学生有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化,进而借助数学知识进行解答).对于这类问题,往往因忽视了数学语言和普通语言的转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.
利用导数求实际问题的最大值
【例题2】
如图,有一块半椭fun88网上娱乐形钢板,其长半轴长为2$r$,短半轴长为$r$,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底$AB$是半椭fun88网上娱乐的短轴,上底$CD$的端点在椭fun88网上娱乐上,记$C D=2 x$,梯形面积为$S$.
(1)求面积$S$以$x$为自变量的函数关系式,并写出其定义域;
(2)求面积$S$的最大值.
分析：建立坐标系,求出椭fun88网上娱乐方程,表示出梯形的面积,应用导数求最值.
反思
本题的关键是建立平面直角坐标系,得到椭fun88网上娱乐方程$\frac{x^{2}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{4 r^{2}}=1(y \geq 0)$,进而得到梯形面积$S=2(x+r) \cdot \sqrt{r^{2}-x^{2}}$.利用导数法解决实际问题,当遇到在定义区间内只有一个点使$f^{\prime}(x)=0$的情形时,若函数在这一点有极大(小)值,则不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.易错辨析
易错点:在运用导数解决实际问题的过程中,常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误.解决问题的主要措施为:在准确理解题意的基础上正确建模,在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解.
【例题3】 某厂生产一种机器,其固定成本(即固定投入)为0.5万元.但每生产100台,需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售收入(单位:万元)函数为
$R(x)=5 x-\frac{1}{2} x 2(0 \leqslant x \leqslant 5)$,其中x是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润$y$表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
真题
1.将8分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( )
A.2和6 B.4和4
C.3和5 D.以上都不正确
2.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
3.某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋,现有砖只够砌20 m长的墙壁,则应围成长为________.m,宽为________.m的长方形才能使小屋面积最大.
4.做一个容积为256的方底无盖水箱,当它的高为________时,最省材料.
