利用导数判断函数的单调性

时间:2019/9/9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解可导函数单调性与其导数的关系,会用导数确定函数的单调性.
2.通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性.
知识点
  • 用函数的导数判定函数单调性的法则

    1.如果在$(a, b)$内,$f^{\prime}(x)>0$,则$f(x)$在此区间是增函数,$(a, b)$为$f(x)$的单调增区间;

    2.如果在$(a, b)$内,$f^{\prime}(x) < 0$,则$f(x)$在此区间是减函数,$(a, b)$为$f(x)$的单调减区间.

    名师点拨

    1.在$(a, b)$内,$f^{\prime}(x)>0( < 0)$只是$f(x)$在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件.

    2.函数$f(x)$在$(a, b)$内是增(减)函数的充要条件是在$(a, b)$内$f^{\prime}(x) \geqslant 0( \leqslant 0)$,并且$f^{\prime}(x)=0$在区间$(a,b)$上仅有有限个点使之成立.

    【做一做1】 已知函数$f(x)=1+x-\sin x, x \in(0,2 \pi)$,则函数$f(x)$(  )

    A.在$(0,2 \pi)$内是增函数

    B.在$(0,2 \pi)$内是减函数

    C.在$(0,\pi)$内是增函数,在$(0,2 \pi)$内是减函数

    D.在$(0,\pi)$内是减函数,在$(0,2 \pi)$内是增函数

    解析:$f^{\prime}(x)=1-\cos x$,当$x \in(0,2 \pi)$时,$f^{\prime}(x)>0$恒成立,故$f(x)$在$(0,2 \pi)$内是增函数.

    答案:A

    【做一做2】 设$f^{\prime}(x)$是函数$f(x)$的导数,$f^{\prime}(x)$的图象如图所示,则$f(x)$的图象最有可能是(  )

    blob.png

    解析:由$f^{\prime}(x)$的图象知,$x \in(-\infty, 0)$或$x \in(2,+\infty)$时,$f^{\prime}(x)>0$,故$f(x)$的增区间为$(-\infty, 0),(2,+\infty)$.同理可得$f(x)$的减区间为$(0,2)$.

    答案:C

重难点
  • 1.函数的单调性与其导数有何关系?

    剖析:(1)求函数$f(x)$的单调增(或减)区间,只需求出其导函数$f^{\prime}(x)>0$(或$f^{\prime}(x) < 0 )$的区间.

    (2)若可导函数$f(x)$在$(a, b)$内是增函数(或减函数),则可以得出函数$f(x)$在$(a, b)$内的导函数$f^{\prime}(x) \geqslant 0$(或$f^{\prime}(x) \leqslant 0 )$.

  • 2.利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么?

    剖析:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题时只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.

    (2)在对函数划分单调区间时,要注意定义域内的不连续点和不可导点.

    (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“$U$”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.

例题解析
  • 求函数的单调区间

    【例题1】 求下列函数的单调区间:

    $(1) f(x)=x-x^{3} ; \quad \\ (2) f(x)=x \sqrt{a x-x^{2}} \quad(a>0)$

    分析:先求$f^{\prime}(x)$,再解不等式$f^{\prime}(x)>0$得单调增区间,解不等式$f^{\prime}(x) < 0$得单调减区间.

    反思    
    运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点:(1)确定函数的定义域,解决问题时,只能在函数的定义域内,通过讨论函数导数的符号,来判断函数的单调区间;(2)在对函数划分单调区间时,要注意定义域内的不连续点和不可导点;(3)在某一区间内$f^{\prime}(x)>0$(或$f^{\prime}(x) < 0$是函数$f(x)$在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.

  • 根据函数的单调性求参数的取值范围

    【例题2】 已知函数$f(x)=2 a x-\frac{1}{x^{2}}, x \in(0,1]$.若$f(x)$在$x \in(0,1]$上是增函数,求$a$的取值范围.

    分析:函数$f(x)$在$(0,1]$上是增函数,则$f^{\prime}(x) \geqslant 0$在$(0,1]$上恒成立. 

    反思    
    函数$f(x)$在区间M上是增(减)函数,即$f^{\prime}(x) \geq 0( \leq 0)$在$x \in M$上恒成立.

  • 证明不等式

    【例题3】 已知$x>1$,求证:$x>\ln (1+x)$.

    分析:构造函数$f(x)=x-\ln (1+x)$,只要证明在$x \in(1,+\infty)$内$f(x)>0$恒成立即可.

    反思    
    利用可导函数的单调性证明不等式,是不等式证明的一种重要方法,其关键在于构造一个合理的可导函数.

  • 易错辨析

    易错点:应用导数求函数的单调区间时,往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误,因此在求函数的单调区间时需先求定义域.

    【例题4】 求函数$f(x)=2 x^{2}-\ln x$的单调减区间.

  • 真题

    1.在区间$(a, b)$内,$f^{\prime}(x)>0$是$f(x)$在$(a, b)$内为增函数的(  )

    A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

    C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

    2.函数$y=x \cos x-\sin x$在下面哪个区间内是增函数(  )

    A. $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) B \cdot(\pi, 2 \pi)$

    $C \cdot\left(\frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right) D \cdot(2 \pi, 3 \pi)$

    3.若函数$f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$为增函数,则一定有(  )

    $\mathrm{A} \cdot b^{2}-4 a c \leqslant 0 \quad$ B. $b^{2}-3 a c \leqslant 0$

    $\mathrm{C} \cdot b^{2}-4 a c \geq 0 \quad \mathrm{D} \cdot b^{2}-3 a c \geq 0$

    4.若函数$f(x)=-x^{3}+b x(b$为常数$)$在区间$(0,1)$内是增函数,则$b$的取值范围是_________. 

    5.函数$y=-\frac{1}{3} x 3+x 2+5$的单调增区间为_________. ,单调减区间为

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