高中数学网实数系--复数的概念
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念,例如:虚数单位、复数、虚数、纯虚数等,掌握复数相等的充要条件.
1.实数系
实数就是小数,它包括有理数(有限小数和无限循环小数)和
无理数(无限不循环小数).
实数的性质有:①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数;②0与1的性质为$0+a=a+0=a, 1 \cdot a=a \cdot 1=a$;③加法和乘法都适合交换律、结合律,乘法对加法满足分配律.实数系和数轴上的点可以建立一一对应关系.
【做一做1】 数系扩充的脉络是:_________→_________→_________,用集合符号表示为__________
________
_________. 答案：自然数系 有理数系 实数系 $\mathbf{N} \quad \mathbf{Q} \quad \mathbf{R}$
2.虚数单位的性质
$i^{2}=-1$.
名师点拨显然$i$是-1的一个平方根,即$i$是方程$x^{2}=-1$的一个解.
【做一做2】 关于$x$的方程$x^{2}+1=0$的解是( )
A.1B.i
$\mathrm{C} \cdot \pm \mathrm{i}$D.无解
解析：$\because i^{2}=-1, \therefore(-1)^{2}=-1, \therefore \pm i$都是$x^{2}+1=0$的解.
答案：C
3.复数的概念
(1)设$a,b$都是实数,形如$a+b i$的数叫做复数,复数通常用小写字母$z$表示,即$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$,其中$a$叫做复数$z$的实部,$b$叫做复数$z$的
虚部,i称作虚数单位.
当$b=0$时,复数就成为实数;除了实数以外的数,即当$b \neq 0$时,$a+bi$叫做虚数.而当$b \neq 0$,且$a=0$时,$bi$叫做纯虚数.
(2)全体复数所构成的集合叫做复数集.复数集通常用大写字母$C$表示,即$\mathbf{C}=\{z | z=a+b i, a \in \mathbf{R}, b \in \mathbf{R}\}$.
显然,实数集$R$是复数集$C$的真子集,即
.【做一做3-1】 设$C=\{$复数},$A={$实数$}$,$B={$纯虚数},全集$U=C$,则下面结论正确的是( )
A. $A \cup B=C$
B. $C_{U} A=B$
$\mathrm{C} \cdot A \cap C_{U} B=\varnothing$
D.B $\cup C_{U} B=C$
解析：$\because\{$实数$\} \cup\{$虚数$\}=\{$复数$}$,$C_{U} A=$选项A不正确.由以上分析知$C_{U} A=${虚数}.$C_{U} A=$选项B不正确.$\because C_{U} B$中会有实数,$C_{U} A=$选项$C$不正确.
答案：D
【做一做3-2】 若$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$,则下列结论正确的是( )
A.若$a=0$,则$z$是纯虚数
B.若$b=0$,则$z$是实数
C.若$a+(b-2) i=5+3 i$,则$a=5, b=2 \mathrm{i}$
D.$z$的平方不可能为-1
解析：若z是纯虚数,则$a=0$,且$b \neq 0 ; \because a+(b-2) i=5+3 i, a, b$均为实数,$\therefore a=5, b=5$;当$a=0, b=1$时,$z=i$,其平方为-1.
答案：B
4.复数相等
如果两个复数$a+b i$与$c+di$的实部与虚部分别对应相等,我们就说这两个复数相等,记作$a+bi=c+di$.
这就是说,如果$a,b,c,d$都是实数,那么
$a+b \mathbf{i}=c+d i \Leftrightarrow a=c$,且$b=d$;
$a+b i=0 \Leftrightarrow a=0$,且$b=0$.
【做一做4-1】 已知实数$x,y$满足方程$(x+y)+(2 x-y) i=5+4 i$,则$x=$_________,$y=$_________.
解析：由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5} \\ {2 x-y=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=2}\end{array}\right.$
答案：3 2
【做一做4-2】 若复数$\left(m^{2}-5 m-6\right)+\left(m^{2}+4 m+3\right) i$等于零,则实数$m$的值是( )
A.-3或-1 B.6或-1
C.-3 D.-1
解析：由复数相等的定义可得,$\left\{\begin{array}{l}{m^{2}-5 m-6=0} \\ {m^{2}+4 m+3=0}\end{array}\right.$
解得$m=-1$.
答案：D
如何理解“两个复数(不全为实数)只能说相等或不相等,不能比较大小”?
剖析：(1)根据复数相等的定义,知在$a=c, b=d$两式中,只要有一个不成立,则$a+b i \neq c+d i$.
(2)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必都是实数(即虚部均为0).
(3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小.“不能比较大小”的确切含义是指:不论怎样定义两个复数之间的一个关系,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质:
①对于任意实数$a, b$来说,$a < b, a=b, b < a$这三种情况有且只有一种成立;
②若$a < b, b < c$,则$a < c$;
③若$a < b$,则$a+c < b+c$;
④若$a < b, c > 0$,则$a c < b c$.
复数的分类
【例题1】 实数$k$为何值时,复数$\left(k^{2}-3 k-4\right)+\left(k^{2}-5 k-6\right) i$分别是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?
分析：根据定义求解.
复数相等
【例题2】 已知$x,y$是实数,且满足$(3 x-10)+i=2+(2-y) i$,求$x$与$y$的值.
分析：根据复数相等的充要条件求解.
反思
一般利用复数相等的充要条件,可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组,从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.
复数与实数之间的关系
【例题3】 已知$m \in \mathbf{R}, z_{1}=m^{2}-\left(m^{2}-3 m\right) \mathrm{i},\\ z_{2}=\left(m^{2}-4 m+3\right) \mathrm{i}+10$,若$z_{1} < z_{2}$
,求实数$m$的取值范围.分析：由$z_{1} < z_{2}$,可知$z_{1}, z_{2} \in \mathbf{R}$,故$z_{1}, z_{2}$的虚部为0.
易错辨析
易错点:本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念,忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致做题错误,避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系.
【例题4】 下列命题:
①两个复数不能比较大小;
②若$z=a+b i$,则仅当$a=0, b \neq 0$时,$z$为纯虚数;
③$x+y i=1+i \Leftrightarrow x=y=1$;
④若实数$a$与$ai$对应,则数集与纯虚数集一一对应.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
真题
1.若复数$\left(a^{2}-3 a+2\right)+(a-1) i$是纯虚数,则实数$a$的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
2.若$z_{1}=\sin 2 \theta+i \cos \theta, z_{2}=\cos \theta+\mathrm{i} \sqrt{3} \sin \theta, \\ \theta \in \mathbf{R}$
,当$z_{1}=z_{2}$
时,$\theta$为( )$\mathrm{A} . k \pi \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\pi}{3}+2 k \pi$
$\mathrm{C} \pm \frac{\pi}{3}+2 k \pi \mathrm{D} \cdot \frac{\pi}{6}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$
3.已知复数$z=\sqrt{3 x-1}-x+(x 2-4 x+3) \mathrm{i}>0$,则实数$x=$_________.
