反证法

【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用(　　)

①结论的相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.

A.①②  B.①②④

C.①②③  D.②③

答案：C

【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,假设正确的是(　　)

A.假设三角形的内角中至少有一个钝角

B.假设三角形的内角中至少有两个钝角

C.假设三角形的内角中没有一个钝角

D.假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角

解析：“至多有一个”的反面为“至少有两个”.

答案：B

【例题1】 已知函数$f(x)=a^{x}+\frac{x-2}{x+1}(a>1)$

(1)证明函数$f(x)$在$(-1,+\infty)$内为增函数;

(2)用反证法证明方程$f(x)=0$没有负数根.

分析：应用增函数定义证明第一问;第二问的结论是否定型的,适合用反证法.

【例题2】 已知$a,b,c$都是小于1的正数,求证:$(1-a) b,(1-b) c,(1-c) a$中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$

分析：命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时,应用直接方法证明时难度很大,根据正难则反的思想,应用反证法证明.本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”,然后由假设入手,应用均值不等式证明.

【例题3】 求证:过直线外一点只有一条直线与它平行.

分析：本题属唯一性的证明问题,用反证法证明.

【例题4】 用反证法证明命题“$a, b$为整数,若$ab$不是偶数,则$a,b$都不是偶数”时,应假设_________. 

1.反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾.这个矛盾可以是(　　)

①与已知矛盾;②与假设矛盾;③与定义、定理、公理、法则矛盾;④与事实矛盾.

A.①②  B.①②④

C.①②③  D.①②③④

2.命题“在$\triangle A B C$中,若$\angle A>\angle B$,则$a>b$”的结论的否定应该是(　　)

$A . a < b \quad$ B. $a \leq b$

C. $a=b \quad$ D. $a \geq b$

3.“$M$不是$N$的子集”的充要条件是(　　)

A.若$x \in M$,则$x \notin N$

B.若$x \in N$,则$x \in M$

C.存在$x_{1} \in M \Rightarrow x_{1} \in N$,又存在$x_{2} \in M \Rightarrow x_{2} \notin N$

D.存在$x_{0} \in M \Rightarrow x_{0} \notin N$

4.设实数$a, b, c$$a+b+c=1$,则$a, b, c$中至少有一个数不小于_________.　

5.用反证法证明命题“若$a^{2}+b^{2}=0$,则$a,b$全为$0(a,b$为实数$)$”时,应假设　._________.