反证法
反证法
一般地,由证明$p \Rightarrow q$转向证明:$\neg q \Rightarrow r \Rightarrow \cdots \Rightarrow t$与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定$\neg q$为假,推出$q$为真的方法,叫做反证法.
名师点拨1.反证法适宜证明“存在性,唯一性,带有‘至少有一个’或‘至多有一个’等字样”的一些数学问题.
2.应用反证法证明数学命题的一般步骤:
(1)分清命题的条件和结论;
(2)做出与命题结论相矛盾的假设;
(3)由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果;
(4)断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.
常见的主要矛盾有:①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾;
②与临时假设矛盾;
③与公认的事实矛盾或自相矛盾等.
【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.
A.①② B.①②④
C.①②③ D.②③
答案:C
【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,假设正确的是( )
A.假设三角形的内角中至少有一个钝角
B.假设三角形的内角中至少有两个钝角
C.假设三角形的内角中没有一个钝角
D.假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角
解析:“至多有一个”的反面为“至少有两个”.
答案:B
如何理解反证法?
剖析:反证法证题的特征:通过导出矛盾、归结为谬误,而使命题得证.
反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.
反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确,即证明命题的逆否命题成立.否定结论:对结论的反面要一一否定,不能遗漏;否定一个反面之反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法.要注意用反证法解题,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.
用反证法证明不等式,常用的否定形式有:“$\geqslant$”的反面为“$<$”;“$\leqslant$”的反面为“$>$”;“$>$”的反面为“$\leqslant$”;“$<$”的反面为“$\geqslant$”;“$\neq$”的反面为“=”;“=”的反面为“$\neq$”或“$>$”及“$<$”.
反证法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中:第一个否定是指“否定结论”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.
反证法不是直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的正确性.
命题的结论是否定型
【例题1】 已知函数$f(x)=a^{x}+\frac{x-2}{x+1}(a>1)$
(1)证明函数$f(x)$在$(-1,+\infty)$内为增函数;
(2)用反证法证明方程$f(x)=0$没有负数根.
分析:应用增函数定义证明第一问;第二问的结论是否定型的,适合用反证法.
反思
在解题过程中提出假设,分类讨论等都是在合理地增设条件,为解题提供帮助.
命题的结论涉及至多、至少及存在型
【例题2】 已知$a,b,c$都是小于1的正数,求证:$(1-a) b,(1-b) c,(1-c) a$中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$
分析:命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时,应用直接方法证明时难度很大,根据正难则反的思想,应用反证法证明.本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”,然后由假设入手,应用均值不等式证明.
反思
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立,反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般表现形式是:或者是A,或者是非A,即在同一讨论过程中,A和非A有一个且仅有一个是对的,不能有第三种情形出现.
唯一性命题的证明
【例题3】 求证:过直线外一点只有一条直线与它平行.
分析:本题属唯一性的证明问题,用反证法证明.
易错辨析
易错点:运用反证法时,第一步否定结论易错.因为有些结论的对立面不易确定,从而导致错误.
【例题4】 用反证法证明命题“$a, b$为整数,若$ab$不是偶数,则$a,b$都不是偶数”时,应假设_________.
真题
1.反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾.这个矛盾可以是( )
①与已知矛盾;②与假设矛盾;③与定义、定理、公理、法则矛盾;④与事实矛盾.
A.①② B.①②④
C.①②③ D.①②③④
2.命题“在$\triangle A B C$中,若$\angle A>\angle B$,则$a>b$”的结论的否定应该是( )
$A . a < b \quad$ B. $a \leq b$
C. $a=b \quad$ D. $a \geq b$
3.“$M$不是$N$的子集”的充要条件是( )
A.若$x \in M$,则$x \notin N$
B.若$x \in N$,则$x \in M$
C.存在$x_{1} \in M \Rightarrow x_{1} \in N$,又存在$x_{2} \in M \Rightarrow x_{2} \notin N$
D.存在$x_{0} \in M \Rightarrow x_{0} \notin N$
4.设实数$a, b, c$$a+b+c=1$,则$a, b, c$中至少有一个数不小于_________.
5.用反证法证明命题“若$a^{2}+b^{2}=0$,则$a,b$全为$0(a,b$为实数$)$”时,应假设 ._________.