高中数学网二项式定理
2.理解通项的意义,并会灵活运用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的一些简单的问题.
二项式定理
(1)二项式定理:
展开式的第r+1项(通项)为
(其中$0 \leq r \leq n, r \in \mathbf{N}, n \in \mathbf{N}_{+}$),其中$\mathrm{C}_{n}^{r}(r=0,1,2, \ldots, n)$叫做二项式系数.(2)对于通项,要注意以下几点:
①它表示二项展开式中的任意项,只要$n$与$r$确定,该项也随即被确定;
②通项表示的是第$r+1$项,而不是第$r$项;
③通项中$a,b$的位置不能颠倒,它们的指数和一定为$n$.
名师点拨(1)展开式中第$r+1$项的二项式系数$C_{n}^{r}$与第r+1项的系数,在一般情况下是不相同的.
(2)在通项中共含有$a, b, n, r, T_{r+1}$这5个元素,只要知道其中4个元素,便可求出第5个元素的值.在有关二项式定理的问题中,常常会遇到:知道这五个元素中的若干个(或它们之间的关系),求另外几个元素的问题.这类问题一般是利用通项,把问题归结为解方程(组)或不等式(组),这里要注意$n$为正整数,$r$为非负整数,且$r \leq n$.
【做一做1-1】$(a+b)^{2 n}$的二项展开式的项数是( )
A.2n B.n+1
C.2n+1 D.2n-1
解析:因为$(a+b)^{2 n}$中的指数为2n,
所以展开式有$2 n+1$项.
答案:C
【做一做1-2】 化简:$C_{n}^{0}(x+1)^{n}-C_{n}^{1}(x+1)^{n-1}+\ldots \\ + (-1)^{r} C_{n}^{r}(x+1)^{n-r}+\ldots+(-1)^{n} C_{n}^{n}=$
_________.解析:逆用二项式定理,原式$=[(x+1)-1]^{n}=x^{n}$.
答案:$x^{n}$
二项式中各项的幂指数有何规律?
剖析二项式$(a+b)^{n}$的展开式有$(n+1)$项,各项的幂指数状况如下:
①各项的次数都等于二项式的幂指数n.
②字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项加1直到n.
注意:
通项是对$(a+b)^{n}$这个标准形式而言的,如$(a-b)^{n}$的二项展开式的通项是$T_{r+1}=(-1)^{r} \mathrm{C}_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}$(只需把-b看成b代入二项式定理),这与$T_{r+1}=C_{n}^{r} a^{n \cdot r} b^{r}$是不同的,在这里对应项的二项式系数是相等的,都是,但项的系数一个是$(-1)^{Y} C_{n}^{r}$,一个是$\mathrm{C}_{n}^{r}$,可看出二项式系数与项的系数是不同的概念.
题型一 二项式定理的应用
【例1】 用二项式定理展开$\left(3 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{4}$.
分析本题可以直接利用二项式定理展开再化简,也可以先化简再展开.
反思 当二项式较复杂时,可先将式子化简,再展开.
题型二 求二项展开式中的特定项
【例2】 若$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}\right)^{n}$的展开式中前3项系数成等差数列,求:
(1)展开式中含$x$的一次幂的项;
(2)展开式中所有含x的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通项求特定项.
反思
①求二项展开式中的特定项的关键在于会运用通项,也就是由题设确定通项中的指数或项数,从而求出其项.
②通项$T_{r+1}=C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}$是展开式的第$r+1$项,而不是第r项.r的范围是$0 \leq r \leq n$,且$r \in \mathbf{N}$.
③常数项要求变量字母的指数为0,有理项要求变量字母的指数为整数.
真题
1.在$(x-y)^{n}$的二项展开式中,第r项的二项式系数为( )
$\mathrm{A} \cdot \mathrm{C}_{n}^{r} \quad$ B. $\mathrm{C}_{n}^{r+1}$
$\mathrm{C} \cdot \mathrm{C}_{n}^{r-1} \qquad \mathrm{D.}(-1)^{r-1} \mathrm{C}_{n}^{r-1}$
2.在$(x-\sqrt{3})^{10}$的展开式中,含$x^{6}$项的系数是( )
$\mathrm{A} .-27 \mathrm{C}_{10}^{6} \quad \mathrm{B.} 27 \mathrm{C}_{10}^{4}$
$\mathrm{C} .-9 \mathrm{C}_{10}^{6} \quad \mathrm{D.9} \cdot \mathrm{C}_{10}^{4}$
3.设$P=1+5(x+1)+10(x+1)^{2}+10(x+1)^{3} \\ +5(x+1)^{4}+(x+1)^{5}$
,则$P$等于( )$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot x^{5}} & {\mathrm{B} \cdot(x+2)^{5}} \\ {\mathrm{C} \cdot(x-1)^{5}} & {\mathrm{D} \cdot(x+1)^{5}}\end{array}$
4.如果$\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{n}$的展开式中存在常数项,那么n可能为 ( )
$\begin{array}{llll}{\mathrm{A.6}} & {\mathrm{B.7}} & {\mathrm{C.} 8} & {\mathrm{D.} 9}\end{array}$
5.在二项式$\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$的展开式中,含$x^{4}$项的系数是_________.
