杨辉三角
2.掌握二项式系数的性质并会应用.
1.杨辉三角
关于$(a+b)^{n}$展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下表的形式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为“帕斯卡三角”.
名师点拨解决与杨辉三角有关的问题的一般方法:观察??分析??试验??猜想结论??证明.要得出杨辉三角中数的诸多排列规律,取决于我们的观察能力,观察的方法:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.
【做一做1】 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第____行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3.
解析:由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3,也就是二项展开式的第14项和第15项的二项式系数比,所以$C_{n}^{13} : C_{n}^{14}=2 : 3$,即$\frac{14}{n-13}=\frac{2}{3}$,解得$n=34$.
答案:34
2.二项式系数的性质
从杨辉三角表,可以看出二项式系数具有下面的性质:
(1)表中每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.事实上,设表中任一不为1的数为$\mathrm{C}_{n+1}^{r}$,那么它“肩上”的两个数分别为$\mathrm{C}_{n}^{r-1}$和$\mathrm{C}_{n}^{r}$,由组合数的性质,有$\mathrm{C}_{n}^{0}=1, \mathrm{C}_{n}^{n}=1, \mathrm{C}_{n+1}^{r}=\mathrm{C}_{n}^{r-1}+\mathrm{C}_{n}^{r}$.
(2)每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等.
(3)如果二项式的幂指数n是偶数,那么其展开式中间一项$T_{\frac{n}{2}+1}$的二项式系数最大;如果n是奇数,那么其展开式中间两项$T_{\frac{n+1}{2}}$ 与$T_{\frac{n+1}{2}+1}$的二项式系数相等且最大.
(4)二项展开式的二项式系数的和等于$2^{n}$.
在$(1+x)^{n}= \\ C_{n}^{0} x^{n}+C_{n}^{1} x^{n-1}+C_{n}^{2} x^{n-2}+\ldots+C_{n}^{n} x^{0}$
中,令$x=1$,则$\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1}+\mathrm{C}_{n}^{2}+\ldots+\mathrm{C}_{n}^{n}=2^{n}$.名师点拨性质(4)是各项的二项式系数的和,它表明,若集合$S$含有$n$个元素,那么它的所有子集(包括空集)的个数是$2^{n}$,该性质又可以写成$\mathrm{C}_{n}^{1}+\mathrm{C}_{n}^{2}+\ldots+\mathrm{C}_{n}^{n}=2^{n}-1$.
【做一做2-1】 对于二项展开式$(a-b)^{2 n+1}$,下列结论成立的是( )
A.中间一项的二项式系数最大
B.中间两项的二项式系数相等且最大
C.中间两项的二项式系数相等且最小
D.中间两项的二项式系数互为相反数
解析:因为$(a-b)^{2 n+1}$的幂指数为$2 n+1$,所以展开式共有$2 n+2$项,所以中间两项的二项式系数相等且最大.
答案:B
【做一做2-2】 在$(1-x)^{6}$的展开式中,含$x$的奇数次幂的项的系数和为( )
A.32 B.-32 C.0 D.-64
解析:由$T_{r+1}=C_{6}^{r}(-x)^{r}=(-1)^{r} C_{6}^{r} x^{r}$可知,含$x$的奇数次幂的项的系数和为$-\left(C_{6}^{1}+C_{6}^{3}+C_{6}^{5}\right)=-32$.
答案:$B$
怎样理解二项式系数的性质?
剖析展开式各项的二项式系数顺次是
$C_{n}^{0}=1, C_{n}^{1}=\frac{n}{1}, C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{1 \times 2}$
$C_{n}^{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \times 2 \times 3}$
$C_{n}^{k-1}=\frac{n(n-1)(n-2) \times \ldots \times(n-k+2)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(k-1)}$
$C_{n}^{k}=\frac{n(n-1)(n-2) \times \ldots \times(n-k+2)(n-k+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(k-1) \times k}$
$\cdots$
$C_{n}^{n}=1$
因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间.
当n是偶数时,$n+1$是奇数,展开式共有$n+1$项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为$\mathrm{C}_{n}^{\frac{n}{2}}$.
当$n$为奇数时,$n+1$是偶数,展开式共有$n+1$项,所以展开式有中间两项,这两项的二项式系数相等并且最大,最大为$C_{n}^{\frac{n-1}{2}}=C_{n}^{\frac{n+1}{2}}$.
题型一 杨辉三角的应用
【例1】 在“杨辉三角”中,每行的两端都是1,其余每个数都是它“肩上”两个数的和,“杨辉三角”开头几行如图所示.
(1)利用“杨辉三角”展开$(1-x)^{6}$;
(2)在“杨辉三角”中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是3∶4∶5?
分析运用“杨辉三角”的性质规律可以将二项式系数直接写出来.
题型二 求展开式中系数最大(小)项
【例2】 已知$\left(\frac{1}{2}+2 x\right)^{n}$.
(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;
(2)若展开式前3项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.
分析(1)由条件求得$n$的值,根据$n$的奇偶性确定所求的项.(2)由条件求得n的值,通过解不等式组求所要求的项.
反思
(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时,中间两项的二项式系数最大,n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式(组)的方法求解.
题型三 求展开式中的系数和
【例3】 已知$(1-2 x)^{7}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{7} x^{7}$.
求:$(1) a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}$;
(2) $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$
$(3) a_{0}+a_{2}+a_{4}+a_{6}$
$(4)\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{7}\right|$.
分析本题考查求二项展开式系数和问题,常用赋值法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值.
反思
(1)解决此题,可以根据问题恒等式的特点来用“赋值”法,这是一种重要的方法,它适用于恒等式.
(2)一般地,对于多项式$g(x)=(p x+q)^{n} \\ =a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n} g(x)$
各项的系数和为$g(1)$.$g(x)$的奇数项的系数和为$\frac{1}{2}[g(1)+g(-1)]$.
$g(x)$的偶数项的系数和为$\frac{1}{2}[g(1)-g(-1)]$.
题型四 易错辨析
【例4】$91^{92}$被100除所得的余数为( )
A.1 $\quad \mathrm{B.81} \quad \mathrm{C.}-81 \mathrm{D} .9^{92}$
真题
1.$(1+x)^{2 n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$的展开式中,系数最大的项是( )
A.第$\frac{n}{2}+1$项
B.第$n$项
C.第$n+1$项
D.第$n$项与第$n+1$项
2.在$(1+x)^{n}$的展开式中,设奇数项系数之和为$A$,偶数项系数之和为$B$,则$A^{2}-B^{2}$等于( )
$\mathrm{A} .2^{n} \quad \mathrm{B} \cdot 2^{2 n-1}$
C.0 D.-1
3.已知$C_{n}^{0}+2 C_{n}^{1}+2^{2} C_{n}^{2}+2^{3} C_{n}^{3}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}=729$,则$\mathrm{C}_{n}^{1}+\mathrm{C}_{n}^{2}+\mathrm{C}_{n}^{3}+\ldots+\mathrm{C}_{n}^{n}$等于( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. } 63} & {\text { B.64 }} \\ {\text { C.31 }} & {\text { D. } 32}\end{array}$
4.若$(2 x-1)^{4}=a_{0} x^{4}+a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x+a_{4}$,则$-a_{0}+a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}=$_________.
5.$\mathrm{C}_{n}^{0}+3 \mathrm{C}_{n}^{1}+5 \mathrm{C}_{n}^{2}+\ldots+(2 n+1) \mathrm{C}_{n}^{n}=$_________.