锐角三角函数与射影定理好
2.掌握正射影(即射影)的概念,会画出点和线段的射影.
3.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
1.锐角三角函数
2.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 线段$MN$在直线$l$上的射影不可能是 ( )
A.点 B.线段
C.与$MN$等长的线段 D.直线
解析:当$M N \perp l$时,射影是一个点;当$MN$与$l$不垂直时,射影是一条线段;特别地,当$M N / / l$或MN在l上时,射影与$M N$等长,线段MN的射影不可能是直线.
答案:D
3.射影定理
文字
语言
在直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
符号
语言
在$\mathrm{Rt} \Delta A B C$中,$A C \perp C B, C D \perp A B$于点D,则$A C^{2}=A D \cdot A B : B C^{2} \\ =B D \cdot B A ; C D^{2} \\ =B D \cdot A D$
图形
语言
作用
确定成比例的线段
名师点拨(1)勾股定理:
$A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}, \\ A D^{2}+C D^{2}=A C^{2}, \\ B D^{2}+C D^{2}=B C^{2}$
(2)面积关系:$A C \cdot B C=A B \cdot C D=2 S_{\Delta A B C}, \\ \frac{S_{\Delta A C D}}{S_{\Delta C B D}} \\ =\frac{A D}{B D}=\frac{A C^{2}}{B C^{2}}$
【做一做2-1】 如图所示,在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A C \perp C B, C D \perp A B$于点D,且$C D=4$,则$A D \cdot D B$等于( )
A.16 B.4
C.2 D.不确定
解析:$\because A C \perp C B, C D \perp A B$,
$\therefore A D \cdot D B=C D^{2}$.
又$C D=4, \therefore A D \cdot D B=4^{2}=16$.
答案:$A$
【做一做2-2】 如图所示,在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A C \perp B C$,点$C$在$AB$上的正射影为$D$,且$A C=3, A D=2$,则$AB=$_________.
解析:$\because A C \perp C B$,
又$D$是$C$在$AB$上的正射影,
$\therefore C D \perp A B . \therefore A C^{2}=A D \cdot A B$.
又$A C=3, A D=2$,
$\therefore A B=\frac{A C^{2}}{A D}=\frac{9}{2}$
答案$: \frac{9}{2}$
用射影定理证明勾股定理
剖析如图,在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$A C \perp C B, C D \perp A B$于点$D$,则由射影定理可得$A C^{2}=A D \cdot A B, B C^{2}=B D \cdot B A$,
则$A C^{2}+B C^{2} \\ =A D \cdot A B+B D \cdot B A=(A D+B D) \cdot A B \\ =A B^{2}$,即$A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简捷明快,比用面积法要方便得多.
题型一 与射影定理有关的计算问题
【例1】 已知$CD$是$\mathrm{Rt} \triangle A C B$斜边AB上的高,$A B=25, A C=20$,试确定$DB$和$CD$的长.
分析先用射影定理求出$AD$,从而求出$DB$,再用射影定理求出$CD$.
反思
1.本题也可先用勾股定理求出$BC$,再用射影定理求出$BD$,最后用勾股定理求出$CD$;此外还有其他方法.2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角三角形的其他性质相结合来综合求解.如本题中,直角三角形中的六条线段$AC,BC,CD,AD,DB,AB$,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.
题型二 与射影定理有关的证明问题
【例2】 如图,在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$\angle B A C=90^{\circ}, A D \perp B C$于点$D, B E$平分$\angle A B C$交$AC$于点$E, E F \perp B C$于点F.求证:$E F : D F=B C \therefore A C$.
分析先由射影定理得$A C^{2}=C D \cdot B C$,即 $\frac{A C}{C D}=\frac{B C}{A C}$,再由$E F / / A D$得$\frac{A E}{D F}=\frac{A C}{D C}$,最后利用$E F=A E$进行代换,即可得证.
反思
利用射影定理证明比例式成立的问题在本部分中比较常见,在解题过程中,应先弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例的基本性质加以灵活运用.
真题
1.如图,在$\mathrm{Rt} \triangle M N P$中,$M N \perp M P, M Q \perp P N$于点$Q, N Q=3$,则$MN$等于( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .3 P N} & {\mathrm{B} \cdot \frac{1}{3} P N} \\ {\text { C. } \sqrt{3 P N}} & {\text { D. } 9 P N}\end{array}$
2.在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$\angle B A C=90^{\circ}, A D \perp B C$于点D,若$\frac{A C}{A B}=\frac{3}{4}$,则$\frac{B D}{C D}$等于( )
A. $\frac{3}{4}$ $\mathrm{B} \cdot \frac{4}{3} \quad \mathrm{C.} \frac{16}{9} \qquad \mathrm{D} \cdot \frac{9}{16}$
3.已知$PA$是$\odot 0$的切线,切点为$1 A, P A=2 \mathrm{cm} \cdot A C$是$\odot O$的直径,PC交$\odot O$于点$B, A B=\sqrt{3} \mathrm{cm}$,则$\triangle A B C$的面积为_________$\mathrm{cm}^{2}$.
4.如图,已知$AD$是$\triangle A B C$的高,$D P \perp A B, D Q \perp A C$,垂足分别为$P, Q$.求证:$A P \cdot A B=A Q \cdot A C$.
分析转化为证明$A P \cdot A B=A D^{2}, A Q \cdot A C=A D^{2}$.
5.如图,已知$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$于点$D, D E \perp A C$于点$D, D E \perp A C$于点$F.$求证:$A E \cdot B F \cdot A B=C D^{3}$.
分析分别在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$ Rt $\triangle A D C$ . Rt $\triangle B D C$中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.